39小知几何学中的三大难题.doc

费尔马数是指形如P=22 +l（n为非负整数）的数，这个以十 七世纪最杰出的法国数学家费马尔（P Bermat, 1601—1665）的名 字而命名的数还有一段很有趣的故事呢！大家都知道，自然数可以分成三类：素数、合数和“1” 这样分类以后，对自然数的性质的揭示和研究就大大地进了一 步最杰出的最有成就的法国数学家费尔马1640年，大胆地提 出了素数的公式：P=22，+l（n为非负整数）费尔马自已也验证 了当n=0、1、2、3、4时，公式P=2~ +l（n为非负整数）所表示 的数分别是：3、5、17、257、65537o这五个数显然都是素数费尔马就是根据这五个数是素数的事实而断言形如P=22 +l（n 为非负整数）所表示的数都是素数其实，费尔马的这个论断是 错误的到十八世纪，数学史上另一个显赫的伟大的瑞士数学家 欧拉（Euler.L.1707 — 1783）就首先指出：当n=5时，即 P= 22"+1=4294967297时能被641整除因此，它不是素数而是 合数而后，欧拉又证明了当n=6、7、8、9、11、12、18、23、36、38> 73时，P=22 +1所表示的数亦不是素数而是合数。

欧拉的发现无疑地证明费尔马所提出的素数公式：P=22，t +l（n为非 负整数）是不成立的费尔马数显然不能成为素数的一般公式 但由于费尔马的大胆设想，引起数学家们的兴趣和进一步的悉心 研究，无形中推动了对素数性质的进一步了解这不能不说是费 尔马的功劳因为在科学的道路上，取得成果固然伟大，而为后 人留下经验教训，使人少走弯路，这同样是十分宝贵的财富费尔马数，还有一个很有趣的特性，就是它的个位数的问题 上面已经指出：n=2、3、4、5时，对应的P是：17、257、65537、 4294967297,这几个数的个位数都是7,那么能否断言：对于所有n〉l的自然数，费尔马数，P=22 +1的个位数都是7 这个断言是正确的现在给予证明证明: 当 n=2 时，P=22\l=222 +1=17 个位数是 7当 n>2 时，P=22\l=222-2n~\l=2^~\l, 设 k=2n29 则 P=24K+1o •••24的个位数是6,A24K= (24) k的个位数也必然是6 •••P二2尔+1的个位数是7即费尔马数P=22，，+l(n>l的自然数)的个位数是74 •几何学中的三大难题早在二千多年前希腊就盛传着下列三个作图题：⑴倍立方问题：作一个立方体，使其体积为一已知立方体的 2倍。

⑵三等分任意角问题：把一个已知任意角三等分⑶化圆为方问题：作一个正方形，使其面积等于一已知圆面 积这三个作图题是著名的古典难题，称为几何三大难题事实 上，这三个问题是仅用尺规经有限次作图步骤不能解决的问题, 然而却绞尽了不少人的脑汁，经过了无数次的尝试，结果都失败 To 1837年凡齐尔(Wantzei)首先证明前二者均属尺规不能问题 1882年，林德曼(Lindemann)证实了 n的超越性，第三个问题的 不可能性也得以确立从此著名的古典难题公案宣告结束李瑞林5・百分数是分数的一种特殊形式它在任何应用中，只能表 示份数，不能表示数量而一个分数在不同的情况下，有时表 示数量，有时表示份数如：“甲数是44,乙数比甲数少它的 1/4”这里“1/4”表示份数若没有“它的”二字， 则“1/4”表示数量这是它们不同的一面；但分数.百分数(小数)在性质与形式上是可以互化的。