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[研究生入学考试题库]考研数学一模拟168一、选择题下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求问题:1. 已知f(x)在x=0某邻域内连续，且f(0)=0，则在点x=0处_f(x)A.不可导B.可导且f'(x)≠0C.取得极大值D.取得极小值答案:D[解析] 等价无穷小． [解题分析] 利用等价无穷小的代换求得f(x)． 由于x→0时，1-cosx～所以令f(x)=x2，则f(x)符合原题设条件．而f(x)在x=0处可导，f'(0)=0，取极小值．则A，B，C均不正确，选D．问题:2. 曲线的渐近线有______A.1条B.2条C.3条D.4条答案:B[解析] 求渐近线． [解题分析] 因 故y=是该曲线的水平渐近线． 又 故x=0是该曲线的垂直渐近线． 问题:3. 设函数f(x)，g(x)在a点的某邻域内二阶可导，且f(a)=g(a)=0；f'(a)＜0，g'(a)＞0，令则______ A．x=a是(x)的极小值点 B．x=a是(x)的极大值点 C．(a，(a))是曲线y=(x)的拐点 D．以上都不对 答案:C[解析] 曲线的拐点． [解题分析] 即 ∴必 故在x=a的左右异号，(a，(a))是曲线的拐点．问题:4. 已知平面π平行于直线及2x=y=z，并与曲面z=x2+y2+1相切，则π的方程为______．A.16x+8y-16z=0B.2x+3y-4z+5=0C.16x+8y-16z+11=0D.8x-3y+4z+7=0答案:C[解析] 法向量、平而方程． [解题分析] 依题可设平面π的法线向量为 又设曲面z=x2+y2+1在(x0，y0，z0)处的切平面法向量为{2x0，2y0，-1}则由 即所求平面π的方程为 亦即 16x+8y-16z+11=0． 问题:5. 若n阶非奇异矩阵A的各行元素之和为2，则A-1+A2必有一个特征值为______． 答案:A[解析] 矩阵的特征值． [解题分析] 由于非奇异矩阵各行元素之和为2， ∴A(1．1，…．1)T=2(1．1，…，1)T． ∴λ=2是A的特征值． 由于A可逆， ∴λ1=是A-1的特征值，且22是A2的特征值． 故A-1+A2有一特征值为 问题:6. 已知α1=(-1，1，a4)T，α2=(-2，1，5，a)T，α3(a，2，10，1)T是四阶方阵A的属于三个不同特征值的特征向量，则a的取值为____．A.a≠5B.a≠-4C.a≠-3D.a≠-3且a≠-4答案:A[解析] 矩阵特征值、特征向量以及线性无关的判定． [解题分析] 因为α1，α2，α3是A的属于三个不同特征值的特征向量，所以它们必线性无关，即秩(α1，α2，α3)=3 由 知，其秩为3时a≠5．故选A． 问题:7. 设X，Y是两个随机变量，且P{X≤1，Y≤1}=，P{X≤1}=P{Y≤1}=，则P{rain(X，Y)≤1)=______． 答案:C[解析] 随机变量的计算． [解题分析] P{min(X，Y)≤1}=P{X≤1∪Y≤1} 问题:8. 设随机变量X的数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，则由切比雪夫不等式，有P{|X-μ|≥3σ}≤______． A． B．1 C．0.5 D．0.2 答案:A[解析] 切比雪夫不等式． [解题分析] 由切比雪夫不等式，对于任意ε＞0，有P{X-E(X)|≥ε}≤因为E(X)=μ，D(X)=σ2，取ε=3σ，有 二、填空题问题:1. 若g(x)=又f(x)在x=0处可导，则{f[g(x)]}|x=0=______．答案:0[解析] 根据极限求导数． [解题分析] 而 问题:2. 函数u=ln(x2+y2+z2)在点M(1，2，-2)处的梯度gradu|M=______．答案:[解析] 梯度的计算． [解题分析] 直接计算，得 问题:3. 已知f(x)在点x=0的某个邻域内可展成泰勒级数，且则f"(0)=______．答案:2[解析] 泰勒级数． [解题分析] 由题设知： 问题:4. 向量场u(x，y，z)=xy2i+yezj+xln(1+z2)k在点P(1，1，0)处的散度divu=______．答案:2[解析] 散度计算公式． [解题分析] 直接由散度计算公式，得 问题:5. 曲线r=3cosθ，r=1+cosθ所围图形的公共部分面积A=______．答案:[解析] 曲线积分． [解题分析] 解方程组 故 问题:6. 已知B*是B的伴随矩阵，则|B*|=______．答案:[解析] 伴随矩阵． [解题分析] 已知|B*|=|B|3，而|B|=|A1|·||=|A1|·|A2|-1．B是4阶矩阵，|B*|=|B|3，而|B|可用拉普拉斯展开式来计算，于是 三、解答题问题:1. 设 答案:[解析] 求定积分。

问题:2. 已知两曲线y=f(x)与y=dt在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限 答案:[解题分析] 由已知条件得f(0)的导数f'(0)=故所求切线方程为y=x．由导数定义及数列极限与函数极限的关系，可得 [解析] 导数定义及数列极限与函数极限．问题:3. 设f(x)为[0，1]上的单调增加的连续函数，证明： 答案:令 类似处理，又有 将①和②相加，并由题设知(x-y)[f(x)-f(y)]≥0， 就有 即I≥0．故命题成立．[解析] 二重积分证明题． 问题:4. 在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．答案:(1) 记曲线y=asinx(x∈[0，π])为La，则 (2) 求I(a)的最小值点． I(a)在(0，+∞)上的最小值点是a=1． 因此所求曲线为y=sinx(0≤x≤π)．[解析] 求曲线积分． 问题:5. 证明方程lnx=在区间(0，+∞)内有且仅有两个不同实根．答案:记＞0，方程化为lnx=-k． 令f(x)=lnx-+k，则f'(x)=由f'(x)=0解得唯一驻点x=e，且f'(x)在此由正变负，x=e是极大点也是最大点，最大值为f(e)=k＞0；又由=-∞，=-∞，知f(x)在(0，e)与(e，+∞)各有且仅有一个零点，即f(x)在(0，+∞)有且仅有两个零点．[解析] 函数最大值的证明．问题:6. 设四阶矩阵 且矩阵A满足关系式 A(E-C-1B)TCT=E． 其中E为四阶单位矩阵，C-1表示C的逆矩阵，CT表示C的转置矩阵．将上述关系式化简，并求矩阵A。

答案:知(AB)T=BTAT，知(E-C-1B)TCT=[C(E-C-1B)]T=(C-B)T． 那么由 A(C-B)T=E知，A=[(C-B)T]-1=[(C-B)-1]T． 由 得 故 [解析] 根据转置矩阵求矩阵．问题:7. 设A，B为同阶方阵． (1) 如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (2) 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立． (3) 当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立． 答案:(1) 若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，故 |λE-B|=|λE-P-1AP|=|P-1λEP-P-1AP| =|P-1(λE-A)P|=|P-1||λE-A||P|=|λE-A|． (2) 令，那么|λE-A|=λ2=|λE-B}． 但A，B不相似，否则，存在逆矩阵P，使P-1AP=B=0，从而A=POP-1=0．矛盾．亦可从r(A)=1，r(B)=0可知A与B不相似． (3) 由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ1，…，λn则有 A相似于B也相似于 即存在可逆矩阵P，Q使 于是(PQ-1)-1A(PQ-1)=B；由PQ-1为可逆矩阵知，A与B相似．[解析] 可逆矩阵的证明． 问题:8. 设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，X的分布密度为： 试用矩估计法估计总体参数θ． 答案: 因为 所以 所以 [解析] 参数估计．问题:9. 设总体X服从(0，θ](θ＞0)上的均匀分布，X1，X2，…，Xn是来自总体x样本，求θ的最大似然估计量与矩阵估计量．答案:(1) 总体X的密函数是 似然函数是 记x(n)=max{xi}，当θ≤x(n)时，L(θ)是单调减小函数，所以，当θ=x(n)=时，L(θ，x1，x2，…，xn)最大．所以是θ的最大似然估计量． (2) 因为 令所以θ的矩阵估计量是[解析] 最大似然估计量．。