圆锥曲线专题复习第九讲：斜率问题一（解析版）-高考数学二轮复习（全国通用）.docx

第九讲：斜率问题（一）【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线的位置关系的判断，斜率的求解；拓展目标：能够熟练应用点差法推导中点弦公式，并灵活应用中点弦和相关第三定义.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、直线与圆锥曲线的位置关系设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.（1）当时，方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当时，方程为一次方程，若，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.2、圆锥曲线的中点弦问题（1）为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，则所在直线的斜率为，弦的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.（2）AB为双曲线的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.（3）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率.【考点剖析】考点一：位置关系（交点个数）例1．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点 的直线与抛物线只有一个公共点.(1)求抛物线的方程；(2)求直线的方程.【答案】(1)；(2)或或.解析：(1)因抛物线的焦点到准线的距离为，于是得，所以抛物线的方程为.(2)当直线的斜率存在时，设直线为，由消去y并整理得：，当时，，点是直线与抛物线唯一公共点，因此，，直线方程为，当时，，此时直线与抛物线相切，直线方程为，当直线的斜率不存在时，y轴与抛物线有唯一公共点，直线方程为，所以直线方程为为或或.变式训练1：已知O，F分别是抛物线的顶点和焦点，动点M与点O的距离是它与点F的距离的一半．(1)求动点M的轨迹；(2)若过点的直线l与动点M的轨迹有且只有一个交点，求直线l的方程．【答案】(1)点M的轨迹是以为圆心，半径为2的圆；(2)或.解析：(1)设，依题意，，由得：，化简得，即，所以，点M的轨迹是以为圆心，半径为2的圆.(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，因直线l与动点M的轨迹有且只有一个交点，由(1)知，即直线l与圆N相切，由圆心到直线l的距离等于半径2得：，解得，直线l的方程为，当直线l的斜率不存在时，其方程为，显然与圆N相切，所以直线l的方程为或.变式训练2：已知双曲线C：的焦距为4，且过点.(1)求双曲线方程；(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值.【答案】(1)；(2)，．解析：（1）由题意可知双曲线的焦点为和，根据定义有．，又，所以，，．所求双曲线的方程为．（2）因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；由，消去整理得．①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； ②当即时，由，解得，此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意． 综上所述：符合题意的的所有取值为，．变式训练3：在平面直角坐标系中，已知点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程.（2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.解析：（1）由己知得由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，焦距长，长轴长的椭圆.所以，所以曲线的方程是.（2）由得.，因为直线与曲线有公共点，所以，即，解得，或.故实数的取值范围是.考点二：中点弦公式（椭圆：点差法）例1．已知椭圆的离心率为，点在上.（1）求的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【答案】（1）（2）.解析：（Ⅰ）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.（Ⅱ）设直线,,把代入得故，于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线的斜率乘积为定值.变式训练1：已知动点与平面上点，的距离之和等于.(1)求动点的轨迹方程；(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.【答案】(1)；(2)解析：（1）设点的坐标为，，由椭圆定义可知，点轨迹是以，为焦点的椭圆，，，，动点的轨迹的方程为．（2）解：显然直线的斜率存在且不等于，设，，则，，又、在椭圆上，所以，，两式相减得，即所以，即，即，所以直线的方程为，即；变式训练2：已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，点在E上，且．(1)求E的标准方程；(2)若直线l与E交于A，B两点，且AB中点为，求直线l的方程．【答案】(1)；(2)解析：(1)由，可得，解得，所以椭圆方程为：，又点在E上，则有，解得，所以椭圆E的标准方程为：.(2)设，代入椭圆方程中有，变形有，因为AB中点为，所以，，所以，所以直线l的方程为：，即为.变式训练3：已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于点，直线与轴的交点为．（1）求椭圆的离心率；（2）过点且斜率不为0的直线交椭圆于、点，线段的中点为点，求证：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析.解析：（1）设点，把代入椭圆方程，又有，可得点，或（舍）．因为轴且为线段的中点，则，即，所以离心率．（2）设点，，中点，直线的斜率为，直线斜率为.由（1）知，，则椭圆方程为（*）.方法一：直线的方程为代入椭圆方程（*），整理得．则，所以，代入，可得，则中点．所以直线斜率为，因此.方法二：把点，点分别代入椭圆方程（*），得，（1）－（2）得．也就是．即，又，．因此．考点三：中点弦公式（抛物线：点差法）例1．已知抛物线的焦点为F，第四象限的一点在C上，且.(1)求C的方程和m的值；(2)若直线l交C于A,B两点，且线段AB中点的坐标为，求直线l的方程及线段AB的长.【答案】(1)，；(2)，解析：(1)抛物线的准线方程为，由抛物线定义得，，解得，所以抛物线C的方程为.将代入C的方程得，，解得，因为点P在第四象限，所以.(2)由题意易知直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，，，则有两式作差得，则，因为线段AB中点的坐标为，所以，所以，所以直线l的方程为，即，联立得，则，，所以.变式训练1：已知是抛物线的焦点，直线交拋物线于、两点.(1)若直线过点且，求；(2)若平分线段，求直线的方程.【答案】(1)；(2).解析：(1)设点、，则直线的倾斜角为，易知点，直线的方程为，联立，可得，由题意可知，则，，因此，.(2)设、，若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在，因为、在抛物线上，则，两式相减得，又因为为的中点，则，所以，直线的斜率为，此时，直线的方程为，即.变式训练2：已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.(1)求C的方程；(2)过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.【答案】(1)；(2)解析：(1)由抛物线的定义可知：，解得：，∴C的方程为；(2)设，则，两式作差得，∴直线l的斜率，∵为的中点，∴，∴，∴直线l的方程为，即（经检验，所求直线符合条件）.考点四：中点弦公式（双曲线：点差法）例1．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.【答案】(1)；(2)解析：（1）双曲线的渐近线为，即，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线方程为（2）设，，直线的斜率为，则，，所以，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.变式训练1：已知双曲线C的渐近线方程为，且是双曲线上一点.(1)求双曲线C的标准方程及离心率；(2)过点的直线与双曲线C交于不同的两点A､B，且线段AB恰好被点M平分，求直线AB的方程.【答案】(1)，；(2)解析：(1)因为双曲线C的渐近线方程为，所以设双曲线C的方程为：，又因为双曲线经过点，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为：；(2)设，，因为点为线段AB的中点，所以有，，所以所以，又因为AB的中点M在双曲线内部，所以符合题意所以直线AB的方程为：，即：.变式训练2：．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为.（1）求该双曲线方程.（2）是否定存在过点的直线与该双曲线交于、两点，且点是线段的中点若存在，请求出直线的方程，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.解析：（1）设双曲线方程为：由离心率，焦距为，则，，，则双曲线方程为：；（2）假设存在过点的直线与该双曲线交于，两点，且点是线段的中点．设过的直线方程为：，，两点的坐标为，，，，则，，相减可得，由为的中点，则，，则，即有直线的方程：，即有，代入双曲线方程，可得，，检验判别式为，方程无解．故不存在过点的直线与该双曲线交于，两点，且点是线段的中点．变式训练3：已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值.【答案】（1）；（2）.解析：（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：（2）由得设，则，，所以则中点坐标为，代入圆得，所以.考点五：椭圆的第三定义（推导公式）例1．已知椭圆C：（）的离心率为，并且经过点，(1)求椭圆C的方程；(2)设点关于坐标原点的对称点为，点为椭圆C上任意一点，直线的斜率分别为，，求证：为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析解析：(1)由题意解得，.所以椭圆C的方程为.(2)因为点关于坐标原点的对称点为，所以的坐标为.，，所以，又因为点为椭圆C上的点，所以.．变式训练1：已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析解析：(1)由题意知，，根据得：，故：椭圆C的标准方程为．(2)依据题意可设，，则，．因此，又因为在椭圆C上，满足，即，所以：，得证．变式训练2：已知椭圆：的离心率为，其右焦点到直线的距离为．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线交椭圆于，两点，椭圆右顶点为，求证：直线，的斜率乘积为定值，并求出该定值．【答案】(1)；(2)证明见解析，定值解析：(1)由题意，右焦点，，，，，，椭圆的标准方程；(2)由（1）可得椭圆右顶点，由题意，直线和直线的斜率存在且不为，直线与椭圆联立，可得，不妨设，，，，，直线和直线的斜率的积为，直线和直线的斜率乘积为定值．变式训练3：已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦。