因式分解的高级方法.docx

因式分解的高级方法一. 双十字相乘法1. 双十字相乘法原理计算(2x - 3y + 5)(3x + y -1)= 6x2 - 7xy - 3y2 +13x + 8y - 5 .从计算过程可以发现，乘积中的二次项6x2 -7xy-3y2只和乘式中的一次项有关，而与常数项 无关；乘积中的一次项13x + 8y，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘 式中的常数项有关系2 .所以运用双十字乘法对Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F型的多项式分解因式的步骤：(1) 用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；(2) 在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右 端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y的一次项的系数E，同是还必须 与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x的一次项的系数D.二. 对称式与轮换对称式【定义1】一个n元代数式f (xi，x2，，七)，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对 于任意的 i，j (1 < i < j < n )，都有 f (x，,，x，•匕 x ,•••，x ) = f (x，,，x ,•••，x，,，x )那么，就称 1 i j n 1 j i n这个代数式为n元对称式，简称对称式。

x + y例如，x + y，xy， ，x2 + y2 + z2，xy + yz + zx 都是对称式xy如果H元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为〃元对称多项式由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式f(X，y，z)中，若有ax3项，贝I必有ay3，az3项；若有bx2 y项，贝I必有bx2 z， by2z，by2x，bz2x，bz2y项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同根据对称多项式的定义，可以写出含h个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母 x，y，z的二次对称多项式的般形式是：a( x 2 + y 2 + z 2) + b( xy + yz + zx) + c( x + y + z) + d【定义2】如果一个h元多项式的各项的次数均等于同一个常数"那么称这个多项式为h元尸 次齐次多项式由定义2知，h元多项式f (x^ x2，， x)是r次齐次多项式，当且仅当对任意实数t有f (tx， tx ,,••，tx ) = trf (x，x，•七 x )n 1 2 n例如，含三个字母的三元三次齐对称式为:a(x3 + y3 + z3) + b(x2y + x2z + y2x + y2z + z2x + z2y) + cxyz。

定义3】一个h元代数式f (x1，xy，x“)，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变 符号，即对于任意的i，j (1 < i < j < h)，都有f (x，,，x，,，x，,，x ) = -f (x，,，x，,，x，,，x )那么就称这个代数式为h元交代式1 i j h 1 j i h例如，x - y，(x - y)(y - z)(z - x)，一^y 均是交代式x + y【定义4】如果一个h交代数式f (x，x ,••，x )，如果将字母x，x ,••，x以x代x，x代1 2 n 1 2 n 2 1 3x ,•••, x代x ，x代x后代数式不变，即f (x，x ,••，x )三f (x，x ,••，x，x )那么称这个代数式2 n n-1 1 n 1 2 n 2 3 n 1为h元轮换对称式，简称轮换式显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式例如，a(x2 + y2 + z2)是对称式也是轮换式；b（x2y + y2z + z2x）是轮换式，但不是对称式对称式、交代式、抡换式之间有如下性质：（1） 两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；（2） 两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式;（3） 同字母的对称式与交代式的积、商是交代式；（4） 两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式；（5） 多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。

定义5】下面n个对称多项式称为n元基本对称多项式z'=1气（X］，b （X，]< i < j < n 的多项式这个结论对解题的指导作用b （X，…b（x1，例如，二元基本对称多项式是指x + y，xy，三元基本对称式是指x+ y + z，xy + yz + zx，xyz当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个n元对称多项式都可以表示为基本对称多项式xn)二•.•x1<]

f （x，y，z） = （x- y）（y - z）（z - x）g（x，y，z）其中 g（x，y，z）是对称式在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用 的齐次对称多项式的一般形式：（1）二元齐次对称多项式一次：a（x + y），二次：a（x2 + y2） + bxy三次：a （x 3 + y 3） + bxy （x + y）(2)三元齐次对称多项式一次：a(x + y + z)二次：a(x2 + y2 + z2) + b(xy + yz + zx)三次：a(x3 + y3 + z3) + b x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y)] + cxyz判定mx + ny + rz是否为多项式f (x,y,z)的因式的方法是：令mx + ny + rz = 0 ,计算 f (x，y，z)，如果f (x，y，z)=0，那么mx+ny + rz就是f (x，y，z)的因式，在实际操作时， 可首先考虑mx+ny + rz的如下特殊情形：x，x + y，x- y，x + y + z，x- y + z三. 拆、添项法将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分 组分解法进行分解因式.例如：x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2 + 2)2 - 4x2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)四. 换元法将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程， 分解后要注意将新字母还原.例如：x 4 - 2 x 2 - 3，设x 2 = y，则原式=y2 - 2y - 3 = (y - 3)(y +1)，最后再换回来就是=y2 - 2y - 3 = (x2 - 3)(x2 +1)五. 主元法当题目中的字母较多、问题较复杂时，我们可以把某一字母作为主元，而将其他字母作为常数 去解决问题.例如：a 2 + b + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc=a 2 + 2ab + 2ac + b + c 2 + 2bc = a 2 + 2a (b + c) + (b + c)2 = (a + b + c)2六：因式定理与待定系数(1) 若x = a时，f (x) = 0,:即f (a)= 0 ］，则多项式f (x)有一次因式x - a ;(2) 若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等.一. 考点：1.双十字相乘法；2.对称式与轮换对称式；3.拆、添项法；4.换元法；5.主元法;6.因式定理与待定系数.二. 重难点：对称式与轮换对称式；拆、添项法.三. 易错点：因式分解过程中计算错误.题模一：双十字相乘法例 1・1・1 (1) 6x2 -7xy-3y2 + 13x + 8y-5 (2) 20x2 + 9xy-18y2-18x + 33y-14【答案】 (1)(2x — 3y + 5)(3x + y —1) (2) (4x — 3y + 2)(5x + 6y — 7)【解析】 (1)先用十字相乘法分解6x2-7xy-3y2，再将常数项-5的两个因数写在第二个十字 的右边，由于第2列与第3列交叉相乘之积的和等于8,再看第1列与第3列交叉相乘之积的和等 于13x，那么原式就可以分解成(2x-3y + 5)(3x + y -1)(2) 20x2 + 9xy-18y2 - 18x + 33y-14 = (4x-3y + 2)(5x + 6y-7)例 1.1.2 (1) 15x2 -20xy-x + 8y-2 (2) 9x2 -16y2 +18x + 40y-16【答案】 (1) (3x — 4y + 1)(5x — 2) (2) (3x — 4y + 8)(3x + 4y — 2)(2) 9x2 -16y2 + 18x + 40y-16 = (3x一4y + 8)(3x + 4y 一2)题模二：轮换对称式法例1.2.1分解因式f (x, y, z) = xy(x2 - y2) + yz(y2 - z2) + zx(z2 -x2)【答案】见解析【解析】 (x- y)(y -z)(z -x)是它的因式。

又因为f (x，y，z)是4次齐次式，所以它还有一个一 次对称式因式 x + y + z 于是， f (x，y，z) 可表示为f (x，y，z) = k (x - y )(y - z )(z - x)(x + y + z ). 令 x = 0, y = 1, z = 2, 得 k = -1 ,f (x, y, z) = -(x - y)(y - z)(z - x)(x + y + z).例1・2・2分解因式f (x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz【答案】见解析【解析】f (x, y, z)是3次齐次对称多项式.令x + y + z = 0，得f (x, y,z) = x3 + y3 -(x + y》+ 3xy (x + y )=x3 + 3xy (x + y )+ y 3-(x + y ) =(x + y ) -(x - y》=0••• x + y + z是f (x, y, z)的一个因式.故它的另一个因式比为二次齐次对称式.所以f (x, y, z)可 表示为 f (x, y, z) = (x + y + z )[A C2 + y2 + z2)+ B (xy + yz + zx)]令 x = y = 0 , z = 1,得 A = 1.再 令x = 0 , y = z = 1,得B = -1 .所以 f (x, y, z) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 — xy — yz — xz).题模三：拆、添项法1例1・3・1【答案】x4 + — y 44(x 2 + 2 y 2+xy)(。