光与物质相互作用的全量子理论.doc

2.3 光与物质相互作用的全量子理论在本节，我们将以量子化辐射场与两能级原子的相互作用为例来阐述光与物质相互作用的全量子理论2.3.1 原子系统与光波场的总哈密顿在半经典理论中，单电子原子与辐射场的相互作用哈密顿为：(2.47)EreHFA其中 和 分别代表无相互作用时的原子和辐射场的能量， 代表电子的位r置矢量， 代表辐射场的振幅当辐射场也被量子化后，我们有：(2.48a)iiiAEH(2.48b)kkFa)2/1((2.48c)jiijjijrer,, (2.48d)kkaE)(其中 和 分别代表光子的产生和湮灭算符， 代表原子跃迁算符，k jij代表电偶极矩阵元， 于是，我们得到全量子理jrieij 2/10)/(VEkk论中的哈密顿：(2.49)jikkijiikk agaH, )(其中 在此，我们已从第一项中略去了零点能/)(kijijkEg对于一个两能级原子，考虑到 ，我们可令 ，于是方babakkg程（2.49）可进一步简化为：(2.50)k kbabakk gEH ))(()( 若我们令 ， ， ，考虑到 和bazabba baE，并略去常数能量因子 ，则方程（2.50）变为：1ba2/)(E(2.51)k kzkk agH))((2在上式中，相互作用能由四项组成。

其中 项描述原子由上能级跃迁至下能k级同时产生一个 模式光子的过程， 项描述与其相反的过程； 项描述kaka原子由上能级跃迁至下能级同时消灭一个 模式光子的过程， 项描述与其k相反的过程注意，在前两个过程中能量是守恒的，但在后两个过程中能量不守恒，因此需将 项和 项略去，这相应于半经典理论中的旋转波近似kak于是，我们有：(2.52)kkzkk agaH)(21下面，我们考虑单模量子场与一个两能级原子的相互作用略去耦合因子的下脚标后，我们有：kg(2.53a)10H(2.53b)2/0za(2.53c))(1g在相互作用图像下求解原子与场的相互作用更为方便，因此下面我们求出相互作用图像下的哈密顿:(2.54))(/1/00 tititiHtiI eage其中 单模场相对于原子跃迁的失谐2.3.2 几率振幅法和旋转波近似在相互作用图象下，系统状态函数 的运动方程为：)(t(2.55)IHti对于一个由两能级原子和单模场组成的系统，若 （ ）表示原子处na,b,于上（下）能级 （ ） ，而光波场有 个光子的状态，则：abn(2.56)nnbatctct ],)(,)([)(,,相互作用能（2.54）可引起系统在 和 间的跃迁，因此我们要考虑na,b,幅度 和 的演化规律。

将（2.54）和（2.56）代入方程（2.56）可得：nac,1,b(2.57a)1,,. nbtinaceig(2.57b)natinbic,1,. 方程（2.57）与我们在半经典理论中求得的（2.27）非常相似，只是在此我们需要将光波场的状态也考虑进来考虑到系统的初始条件，方程（2.57）的一般解为： 2/1,,, sin)0(2sin2cos)0()( tibnnnana ecigtttc  (2.58a) 2/,1,1, sin)0(12sin2cos)0()( tiannnbnb ecigtttc   (2.58b)其中， 如果原子最初位于上能级，即： ，)1(422ngn )0(,nac，则：0)(1,bc(2.59a)2/, sin2cos)( tinna ett (2.59b)2/1, sin12)0() tinnb eigct  方程（2.58）或（2.59）是一组完整的解，因为关于量子化的场和原子的所有信息均可由它们获得。

在 时刻单模场中有 个光子的几率为 ，即：tn 2,2, )()((tctnpnba si4)0(2si2cos)0( 1211,2 tgttnp nnnnnn (2.60)其中， 表示在 时刻单模光波场中有 个光子的几率，即：)0(n0t(2.61)!)(2ecnnn另一个我们需要关注的量是能级间的反转：(2.62)nnbatcttW2,2, )()()(由方程（2-58）和（2-62 ） ，易得：(2.63) 022cos)1(4)()(n nnntgt假如单模场的初始态为真空态（ ） ，则：0)(nn(2.64)tggtW2/1222 )4(cos41)( 显然，即使 ，能级间的反转仍有拉比振荡发生，因为此时有单0)(nn模场导致的自发辐射发生这明显不同于我们在半经典理论中得出的结论：没有驱动场的时候，位于上能级的原子不能跃迁至下能级2.3.3 自发辐射的 Weisskopf-Weigner 理论我们知道，实际上原子的自发辐射是由真空辐射场的众多不同模式导致的，因此有必要考虑模式连续的辐射场与原子的相互作用。

模式连续的辐射场与原子的相互作用哈密顿为：(2.65)ktikI cheargHk.])([)(0*其中 ， 代表原子的位置坐标)xp()(00rikk假定在 时刻，原子处于激发态 ，而辐射场处于真空态 ，则在 t 时t a0刻原子的态矢为：(2.66)kkbatctct 1,)(0,)(,其中 ， 1)(a)(b由薛定谔方程我们可求得几率幅 和 的运动方程：)(tcata(2.67a)kkbtia cergitc)()()(,)(0*. (2.67b))()()((0,. tritaikkbk对方程（2.67b）积分并代入方程（2.67a） ，我们有：(2.68)t atika cedrgtck0')('2. )()( '假定辐射场的不同模式在频率上紧密相连，则我们可以用积分来代替对的求和，即：k(2.69)02023sin)(dkdVk其中 是量子体积考虑到 （ 是 和 之间的夹2020cos)(abkkVrgabk角） ，我们可得：(2.70)t atikaba cedctc k0')('3302. 6)(4) '考虑到辐射光强主要集中在原子跃迁频率 附近，我们可以用 代替 并33k将 的积分下限扩展至 。

此时，k(2.71))(2)(2)(0''')(0'' ' tcttdedtc at atiktak 于是，我们得到：(2.72a))(2)(. tctaa(2.72b)exptta其中， 为弛豫常数32041cab下面，我们计算在自发辐射过程中辐射场的状态我们首先计算系数将 的解代入方程（2.67b） ，得：)(,tckb)(ta(2.73a) 2/)(1))()( /(002/)(',. '' iergedtrigt ktiktikkb kk (2.73b)kkktiritbaet k/)(,)( 2/(2/下面，我们引入辐射场的状态函数：(2.74)kkkrieg12/)(0显然，当 时，我们有 ，这是具有不同波矢的单光子态1t 0b的线性叠加。