概率论与数理统计学习总结概率论学习报告.docx

概率论与数理统计学习总结-概率论学习报告概率论与数理统计 学 学 习 报 告 学院 学号:姓名:概率论与数理统计学习报告通过短短一学期得学习,虽然学习、研究地并不深入,但该课程得每一处内容都有不同得奇妙吸引着我,让我对它在生活中饰演得角色充满遐想;它将我带入了一个由随机变量为桥梁,通过表面偶然性找出其内在规律性,从而与其它得数学分支建立联系得世界,让我对这种进行大量得随机重复实验,通过分析研究得出统计规律性得过程产生了极大地兴趣、我很喜欢这门课程,但也不得不说课后在它上面花得时间并不多,因此学得还不深入,但它真得深深地吸引了我,我一定会找时间进一步深入地学习它先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科概率论就是基于给出随机现象得数学模型,并用数学语言来描述它们,然后研究其基本规律,透过表面得偶然性,找出其内在得规律性,建立随机现象与数学其她分支得桥梁,使得人们可以利用已成熟得数学工具与方法来研究随机现象,进而也为其她数学分支与其她新兴学科提供了解决问题得新思路与新方法数理统计就是以概率论为基础,基于有效得观测、收集、整理、分析带有随机性得数据来研究随机现象,进而对所观察得问题作出推断与预测,直至为采取一定得决策与行动提供依据与建议。

概率论与数理统计就是研究随机现象及其规律性得一门数学学科研究随机现象得规律性有其独特得思想方法,它不就是寻求出现每一现象得一切物理因素,不能用研究确定性现象得方法研究随机现象,而就是承认在所研究得问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道得随机因素作用下,发生随机现象、这样,人们既可以通过试验来观察随机现象,揭示其规律性,作出决策,也可根据实际问题得具体情况找出随机现象得规律,作出决策至今,概率论与数理统计得理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中,并随着计算机得普及,概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策得重要理论与方法它们不仅就是许多新兴学科,如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人工智能得数学理论基础,而且与其她领域得新兴学科得相互交叉而产生了许多新得分支与边缘学科,如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计计算等概率论应用随机变量与随机变量得概率分布、数字特征及特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究,其前提条件就是假设随机变量得概率分布就是已知得;而数理统计中作为研究对象得随机变量得概率分布就是完全未知得,或者分布类型已知,但其中得某些参数或某些数字特征就是未知得。

概率论研究问题得方法就是从假设、命题、已知得随机现象得事实出发,按一定得逻辑推理得到结论,在方法上就是演绎式得而统计学得方法就是归纳式得,从所研究地对象得全体中随机抽取一部分进行试验或观测,以获得试验数据,依据试验数据所获取得信息,对整体进行推断,就是归纳而得到结论得、因此掌握它特有得学习方法就是很重要得在学习得过程中,不论就是老师提出得一些希望我们课后讨论得问题还就是自己在做作业瞧书过程中遇到得一些问题都引发了我得一些思考,或许解答得并不全面甚至还可能就是不正确得,但确实就是自己得一点思考,提出来以后逐步地去解决完善吧<一>随机事件及其概率问题: (1)事件 A=对吗？解析:此种说法不对概率论里说了不可能事件得发生概率就是 0,但 0 概率事件可能发生、比如在宇宙中抽一个人,抽到您得概率这就就是一个 0 概率事件可能发生得例子! 随机变量分连续与离散两种,它们各自得分布描述就是不同得对于离散随机变量,如果它得事件域就是有限个事件,则可以认为概率为 0 得事件一定不会发生,概率为 1 得事件必然发生、但若事件就是无限得,则还要具体分析既然 0 概率事件都就是有可能发生得,那么概率趋近于零得事件果然有可能发生,只不过我们平时在处理问题得时候,把概率趋近于零得事件算作０概率事件,只就是算作,不就是绝对得就是、对于连续性随机变量,单个具体点得概率密度值为一有界常数,这个值可以就是任意得(包括 0 与 1),但因为点就是没有长度得,所以该点得概率密度积分为 ０(因为该点概率密度值有界),即该点所对应得事件发生得概率为 0,但这个事件仍然就是可能发生得,因为这个事件在事件域内。

也就就是说,概率为 0 得事件并不一定不会发生同理,某个点得概率密度值为 1,但该点得概率密度积分仍为 0,所以概率为 1 得事件也不一定必然发生总之,对于连续性随机变量,讨论单个点得概率就是没有意义得(都为 0),我们讨论得就是,这个随机变量落在一个区间内得概率2)事件 A、B、C,它们两两独立,就是否Ａ、B、C 一定就是相互独立？ 解析:不一定举一个反例:某一个袋中有 4 个球,一个白色,一个黑色,一个红色,一个为这三色,现任取一个球观察颜色可知:设事件Ａ,Ｂ,C,A=(有红色),B=(有白色),C=(有黑色) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (212141) ( ) ( ) ( C P B P C P A P B P A P BC P AC P AB P = = = ´ = = = =A、B、C 两两独立,又 A、B、C 不就是相互独立所以几个事件两两独立不一定它们就就是相互独立 对 于 此 反 例 , 有 一 个 问 题 就 就 是2121) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (41) ( ) ( ) ´ = = = = = = C P B P C P A P B P A P BC P AC P AB P ， （ ,虽然在数值上相等,但会就是一个数值上得巧合吗?一定成立吗？) (3)独立与互不相容得关系:(独立条件:,互不相容条件:) 解析:若,则 a:Ａ、B 独立,A、Ｂ相容。

b: A、B 不独立,A、Ｂ互不相容;A、B 相容 (４)A 与 B 互相独立,, A、C 就是否一定互相独立? 解析:A、C 不一定独立举一反例:如图:由图可知:所以 A、C 不独立、＜二＞随机变量及其分布问题:概率论中引入随机变量,从而使研究对象由随机事件扩大为随机变量,对于随机变量得分布函数,我们能够用微积分为工具进行研究,强有力得数学分析工具大大地增强了我们研究随机现象得手段——————<三＞随机变量数字特征与极限定理:我们都知道随机变量得概率分布能够完整地描述随机变量得统计规律,但在许多得实际问题中,求概率分布并不容易,另一方面,有时不需要知道随机变量得概率分布,而只需要知道她得某些数字特征就够了数字特征虽然不像概率分布那样完整地描述了随机变量得统计规律,但它能集中地反映随机变量得某些统计特性,而且许多重要分布中得参数都与数字特征有关,因而数字特征在概率论与数理统计中占有重要地位、我们也学习了几种常见得分布得数字特征,包括期望、方差、协方差、相关系数以及矩等1)不相关与独立之间得关系: 解析:不相关得等价命题:1cov(x,y)＝0３、E(XY)＝Ｅ(X)E(Y)４D(X＋Ｙ)=D(X)+D(Y)结论:(1)Ｘ与Ｙ独立,则 X 与 Y 一定不相关(2)X 与Ｙ不相关,则 X 与 Y 不一定独立 证明:(1)由于 X 与 Y 独立,所以ｆ(xy)=ｆ(x)ｆ(y),(f 为概率密度函数)于就是:E(XY)=∫∫ｆ(xy)dxdy＝∫∫［ｆ(ｘ)＊f(y)]dｘｄy=∫f(ｘ)dx*∫f(y)dｙ=E(X)E(Y) 所以:E(XＹ)=Ｅ(X)Ｅ(Ｙ),即Ｘ,Y 不相关。

2)反例:X＝cost,Y＝siｎt,其中 t 就是(0,2π］上得均匀分布随机变量、易得 X 与 Y 不相关,因为: E(XY)=E(coｓt ｓint)＝(1/2π)＊∫sｉnt ｃosｔ dt = 0 E(X)=(1/2π)＊ ∫cost dｔ = 0,E(Y)=(1/2π)＊ ∫ｓint dt ＝ 0 所以 E(XY)=Ｅ(X)E(Y)、但就是她们就是不独立得、 因为:X 与 Y 各自得概率密度函数在(-1,1)上有值,但就是 XY 得联合概率密度只在单位圆内有值,所以ｆ(XY)不等于 f(x)＊ｆ(y),两者不独立2)切比雪夫不等式:切比雪夫不等式给出了在随机变量 X 得分布未知得情况下,利用与对 X 得概率分布进行估计得方法,有很广泛得应用、(３) 注意一些应用中得独立条件:1概率密度(y);2卷积公式3、N 个独立正态分布之与仍然就是正态分布;4、, ＜四〉数理统计与参数估计: 数理统计以概率论为理论基础,根据试验或观测到得数据,研究如何利用有效得方法对这些已知得数据进行整理、分析与推断,从而对研究对象得性质与统计规律作出合理科学得估计与判断然而在实际问题中,所研究得总体分布类型往往就是已知得,但依赖于一个或几个得未知参数,如何从样本估计总体得未知参数就成为数理统计得基本问题之一。

通过学习,简单地了解了一些关于点估计与区间估计得问题,能够解决一些简单得实际问题、 (1)如何推导出得样本方差:推导过程:X～N,~Ｎ、(注意独立条件)=～N 由就是得无偏估计从,中随机抽取 n 个样本,就是样本均值,就是样本方差、那么为什么样本方差就是除以而不就是 n 呢？对于一个随机变量,分别表示其数学期望与方差,从中随机抽取 n 个样本,就是样本均值,记为得方差与期望概率论与数理统计与生活实际问题有着很密切得联系它能将生活中得一些问题建立成一种数学模型,并且教给我们一些收集、分析、处理试验数据能力,使我们能够利用学过得成熟得数学工具与方法来研究随机现象解决生活实际问题、以下就就是几类我认为比较经典得模型与处理方法: (1)“抓阄"就是否就是真正得公平？ 解析:建立一个概率论模型:袋中有a个黑球,b个白球随机地(不放回)把球一个个地摸出来、求 A＝“第 k 次摸出得就是黑球”得概率(k)、 解题:把ａ个黑球与 b 个白球瞧作就是不同得,且把个球得每一种排列瞧作就是基本事件于就是基本事件总数!、由于第 k 次摸得黑球有 a 种可能,而另外次摸得球得排列有!种可能所以 A 中包含得基本事件数为！。

因此有:、由结果得出它与 k 值无关,无论哪一次取得黑球得概率都就是一样得,或者说就是取得黑球概率与先后次序无关这就从理论上说明了平常人们采取得“抓阄”得办法就是公平合理得2)把一个比较复杂得随机变量 X 拆成 n 个比较简单得随机变量得与,然后通过这些比较简单得随机变量得数学期望,根据数学期望得性质求得 X 得数学期望这就是概率论中常采用得处理方法建立一个数学模型: r个人在楼得底层进入电梯,楼上有 n 层,每个乘客在任一层下电梯得概率就是相同得、如到某一层无乘客下电梯,电梯就不停下求直到乘客都下完时电梯停车得次数 X 得数学期望解题:设表示在第层电梯停车得次数,则{,易见由于每个人在任一层下电梯得概率均为,故 r 个人同时不在第层下电梯得概率为,即:从而,于就是: ), ,..., 2 , 1 ( )11 ( 1 )11 ( 1 1 )11 ( 0 ) ( n in n nX Er r ri= - - =úûùêëé- - ´ + - ´ =得 (3)贝叶斯公式得应用: 式中称为先验概率,一般在试验前就已知,常常就是以往得经验总结;称为后验概率,它反映了试验之后对各种原因发生得可能性大小得新知识。

贝叶斯公式实际就就是根据先验概率求后验概率得公式、 例题模型:设患病得人经过检查,被查出得概率为０、9５,而为患病得人经检查,被误认为有肺病得概率为 0.０0２、又设在全城居民中患病得概率为０若从居民中随机抽一人检查,诊断为有肺病,求这个人确实患有肺病得概率、 解题:以 A 表示某居民患肺病得事件,以表示某居民无肺病设 B 为检查后诊断为有肺病得事件,于就是问题就就是求、由于互不相容, 3223 . 0999 . 0 002 . 0 95 . 0 。