用向量方法求空间角.ppt

立体几何中的向量方 法一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义 回到图形）空间间中的角|cos〈a，b〉||cos〈a，n〉||cos〈n1，n2〉|[0，π][小问题·大思维]例1:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD 、DD1的中点， (1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;(2)求二面角F-AE-D的余弦值AA1C1B1DCBD1EFADCA1D1C1B1BFE例2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的 余弦值证证明：(1)证证明：由四边边形ABCD为为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为为正三角形．因为为E为为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA平面⊂PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD.练习2、如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.(1)证明：AP⊥BC；(2)段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．【解题指南】建立坐标系，(1)利用 来证明；(2)假设存在满足条件的点，求出两个半平面的法向量，判断两法向量是否能垂直即可.若垂直，则假设成立；若不垂直，则假设不成立.【规范解答】(1)如图以O为原点，以射线OD，OP分别为y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(0,-3,0),B(4,2,0)，C(-4,2,0),P(0,0,4).∴ 即AP⊥BC.(2)假设存在M，设 其中λ∈［0,1),则 =λ(0,-3,-4)=(0,-3λ,-4λ)．=(-4,-2,4)+λ(0,-3,-4)=(-4,-2-3λ,4-4λ)=(-4,5,0), =(-8,0,0)设平面BMC的法向量n1=(x1,y1,z1)，平面APC的法向量n2=(x2,y2,z2)由即 可取由得可取n2=(5,4,-3).由n1·n2=0,得解得 故AM=3．综上所述，存在点M符合题意，AM=3．aba´b´•onmaba´b´onm•mnnm四、课堂小结1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： lDCBA3.二面角：ll。