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离散数学王元元习题解答(12) 第十一章 群、环、域 11.1 半群 内容提要 11.1.1 半群及独异点 定义 11.1 称代数结构为半群（semigroups），如果 ? 运算满足结合律．当半群含有关于 ? 运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群． 定理11.1 设为一半群,那么 （1）的任一子代数都是半群，称为的子半群． （2）若独异点的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为的子独异点． 定理11.2 设,是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有 （1）同态象为一半群． （2）当为独异点时，则为一独异点. 定理11.3 设为一半群,那麽 SS （1）为一半群，这里S为S上所有一元函数的集合，○ 为函数的合成运算． S （2）存在S到S的半群同态． 11.1.2 自由独异点 定义 11.2 称独异点为自由独异点（free monoid）,如果有A?S使得 （1）e?A． （2）对任意u?S，_?A,u?_ ? e . 自由独异点（free monoid）,如果有A?S使得 （3）对任意u,v?S，_,y?A,若u?_ = v?y,那么u = v,_ = y． （4） S由A生成,即S中元素或者为e, 或者为A的成员，或者为A的成员的“积”: ai1?a i2???aik (ai1,a i2,?,aik?A) 集合A称为S的生成集．顺便指出，当半群有生成集A＝｛a｝时，称为循环半群（cyclic semigroups）。
定理11.4 设为一自由独异点，A为它的生成集，g:S?A?M→M为一已知函数，m为M中已知元素，那么下列等式组定义了一个S到M的函数f； ??f(e)?m f(w?_)?g(w,_,f(w))?其中w?S,_?A 定理11.5 设和为两个自由独异点，A，B分别为它们的生成集，且 ? A ? = ? B ?，那么和同构 1 ?11.1.3 半群及高斯半群 定义11.3 设为一半群，那么 （l）当 ? 满足交换律时，称为交换半群（commutative semigroups） （2）当S中元素均可约时，称 S为可约半群（cancelable semigroups）． （3）称S中元素a是b的因子（factor），如果有S中元素c，d，使 b = a?c，b＝d?a． （4）在可约交换独异点中，若a是b的因子，同时 b又是 a的因子，那么称a, b相伴（correlate）． 定理11.6 设为可约交换独异点,那么S中相伴关系～为上同余关系． 定理11.7 设为可约交换独异点。
（1）S中元素a，b相伴，当且仅当有可逆元c（c有逆元）,使 a = b?c． （2）S中所有可逆元构成一个相伴类（相伴关系等价类）． （3）S的相伴类具有相同的基数． 定理11.8 可约交换独异点的商半群（～为相伴关系）为一可约交换独异点，且 ?S/～? = ? S ?/?[e]_? 定义11.4 设为可约交换独异点．若a是S中不可逆元素，且除了a及所有可逆元为其因子外没有别的因子，那么称a为既约元，否则称a为可约元． 定义11.5 可约交换独异点称为高斯半群(Gauss semigroup)，如果S中不可逆元素均可分解为若干个（有限个）既约元素的积，且这种分解在相伴意义下是唯一的，即若a有两个分解 a = p1?p2???pr = q1?q2???qs 则r = s,且（适当变换运算次序）总可使pi与qi相伴 习题解答 练习11.1 1． 证明：含么半群的可逆元素集合构成一子半群，即为半群的子半群． 证. 对任意_，y ? inv（S）, 则存在_-1,y-1?S 使___-1=_-1__=e, y_y-1=y-1_y= e 。
又半群中_运算满足结合律，因而 (__y)_(y-1__-1)=__(y_y-1)__-1=__e__-1=___1=e 同理(y-1__-1) _(__y)= y-1_(_-1__)_y= e，于是 (__y)-1=y-1__-1?S ，即inv（S）对_封闭,从而 为的子代数 由定理11.1， 为的子半群 2． 设为一半群，z?S为左（右）零元．证明：对任一_?S,_?z(z?_)亦为左（右）零元 证. 因为z为S的左（右）零元，于是，对任意a ? S,z_ a = z（a_z = z）考虑任一_?S，由于是半群，于是_满足结合律，因而 (__z)_ a=__（z_ a）=__z ， a _ (z __) = （a _z）_ _= z _ _ 故__z(z __)为的左（右）零元 2 3．设为一半群，a，b，c为S中给定元素，证明:若a，b，c满足 a?c = c?a , b?c = c?b 那么，(a?b)?c = c?(a?b). 证. 因为为一半群，于是_运算满足结合律，又由已知a?c = c?a , b?c = c?b，故 (a_b)_c=a_(b_c)=a_(c_b)=(a_c)_b=(c_a)_b=c_(a_b) 4．设为一半群，且a?a = b 证明: （1）a?b = b?a （2）b?b = b 证. (1) 因为为一半群，于是_运算满足结合律，又a_a=b，因而 a_b=a_(a_a)=(a_a)_a=b_a (2) 因为为半群，于是_运算封闭.设b_b≠b 则 b_b=a 。
于是 ①若令a_b = b_a = a ，则 b_b = b_a_a = a_a = b ②若令a_b = b_a = b， 则 b_b = a_a_b = a_b = b 综合①② ，b_b=b 5．代数结构中运算 ? 如表11.1规定． 表 11.1 a b c d ? a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c （1）已知 ? 运算满足结合律，证明为一循环独异点． （2）把{a,b,c,d}中各元素写成生成元的幂． 证.（1）由运算表11.1知，a为代数结构的幺元，又b2=c，b3=b2_b=c_b=d b4=b3_b=d_b=a 故b为其生成元又_运算满足结合律，因此为循环独异点 （2）解：由（1）知，b为其生成元，a=b0, b=b1, c=b2, d=b3， 同理可验证，d也为其生成元，a=d0, b=d3,c=d2, d=d1 6．证明：循环半群必定是交换半群（参阅定义11.3之（1））。
证. 设为循环半群，a为其生成元，则对任意_,y ? S 均有K1，K2 ?N, 使 _ = a K1 , y = a K2 从而__ y = a K1 _ a K2= a K1+ K2= a K2+ K1= a K2_ a K1= y __，因而为交换半群 7．证明：独异点元素可逆当且仅当它是么元的因子（参阅定义11.3之（3）） -1 -1 -1 证. (?)设代数结构为独异点，_? S可逆，则_? S，且_ _ _= __ _ = e，于是_是e的因子 (?)设_ ?S为幺元e的因子，则存在a,b?S使e= a_ _，e= _ _ b ，这说明a,为_的左逆元， 3 b为_的右逆元又的独异点，_满足结合律，由定理10.6 a=b为 _的逆元.，即_可逆 8. 设为一半群，且对任意_,y?S，若_ ? y则_?y ? y?_ . （1）求证S中所有元素均为等幂元（a称为等幂元,如果a?a = a ） （2）对任意元素_，y?S，_?y?_ = _ , y?_?y = y 证.（1）对任意a ? S,假设a_a?a, 则由已知,(a _a)_a ?a_(a_a) 此与半群结合律矛盾, 故a_a= a ，即S中所有元素均为等幂元。
（2）假设 _?y?_ ?_，则由已知，(_?y?_)__?__( _?y?_) ,但 (_?y?_)__=(__y)_(___)= _?y?_，__( _?y?_)= (___)_(y__)= _?y?_, 矛盾，故 _?y?_ ?_ 同理可证y?_?y = y ?9设为一半群,且S中有元素a ,使得对于任意_?S ,均有S中元素u，v满足 a?u = v?a = _ 证明 ：为一独异点提示:考虑_ = a时的 u和v 证. 考虑_ = a时的 u和v由题意知,对元素a ? S,有u a, v a ?S满足：a_u a= v a_ a= a 由题意，对于任意_?S ,均有u_, v_?S满足： a_ u_,= v_ _a=_ 由为半群，运算_满足结合律， 从而有 v a__ = v a_(a_ u_) = (v a_a)_ u_ =a_ u_ = _ _ _ua = (v__a)_ ua = v__(a_ ua ) = v__a = _ 这说明v a，ua分别为的左右幺元，再由定理10.1，有幺元 e = v a= ua ，故 半群为独异点。
10. 问是否为自由独异点？为什么？问是否为自由独异点？为什么？其中S? N(自然数集)归纳定义如下: （1）0,4,6?S. （2）如果_,y?S则_+y?S. （3）S中元素仅此而已. 解. 不是自由独异点，因为只有唯一生成集A={1,-1}，但A不满足自由独异点的条件 也不是自由独异点，因为显然S只有唯一生成集A= {4,6}，但A不满足自由独异点的条件之（3） ?11．设为一由A生成的自由独异点，是一独异点证明：对任一函数h：A→T，均存在唯一的函数H:S→T,使得 （1）对任意_?A,h(_) = H(_)． （2）H为S到T的同态． 证. 对任一函数 h:A→T，设函数H：S→T 满足H（e1）=e2 ∵A生成S， ∴对任意_ ?S 或_ = e1 ,。
