第三章泛函分析初步课件.ppt

第三章 泛函分析初步•§3.1 线性空间•§3.2 线性子空间•§3.3 距离空间•§3.4 Banach空间 •§3.5 Hilbert空间 •§3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 1§3.1 线性空间•线性空间：设W≠Ø（W为非空集合） –(1) W中元对“+”构成交换群，即对  X X,Y Y,ZZ W,有ⅰ.ⅱ.ⅲ.ⅳ.ⅴ.2§3.1 线性空间–(2)对  X,Y W，  α,β C（复数域）有： ⅵ. ⅶ. ⅷ. ⅸ. 称W为线性空间；若 α,β C ，则W为复线性空间；若α,β R，则W为实线性空间3§3.1 线性空间• • • 4§3.1 线性空间•线性空间W上的算子L为线性算子•零状态线性系统系统算子为线性算子5§3.2 线性子空间•线性子空间：设 Ø ≠V  W， V是W的线性子空间•直和：设6§3.3 距离空间（度量空间——Metric Space）•距离空间：设W≠Ø ，称W为距离空间，指在W中定义了映射： （包 括0），  X X,Y Y W 满足以下三条公理： • 称为W上的距离， 为度量空间。

7§3.3 距离空间•例：•例：8§3.3 距离空间•例：9§3.3 距离空间－收敛•收敛：•定理：在 中，每个收敛点列有唯一的极限点 10§3.3 距离空间－完备度量空间•柯西序列——Cauchy Sequence–例：11§3.3 距离空间－完备度量空间• 中任意收敛序列是柯西序列• 中的柯西序列未必收敛到 中–例：12§3.3 距离空间－完备度量空间•完备度量空间——Complete Metric Space 称为完备度量空间，指其中所有柯西序列都收敛–极限运算在完备时可行–如何完备化？–W不要求线性空间13§3.4 巴拿赫（Banach）空间 14§3.4.1 赋范线性空间•赋范线性空间：设W≠Ø是线性空间，若对  X X W，  ‖X X‖ 满足：称为X X的范数（Norm），定义了范数的线性空间称为赋范线性空间，记为 15§3.4.1 赋范线性空间•（广义）长度的推广：–例1： 16§3.4.1 赋范线性空间•（广义）长度的推广：–例2：17§3.4.1 赋范线性空间•Minkowski不等式： 18§3.4.1 赋范线性空间• 19§3.4.1 赋范线性空间•例 20§3.4.1 赋范线性空间•强收敛：•弱收敛：依泛函收敛。

–注：强收敛弱收敛21§3.4.1 赋范线性空间•度量空间与赋范线性空间的关系：– –例 22§3.4.2. Banach空间 •Banach空间：完备的 称为Banach空间 • 是Banach空间•在 中，取 完备• 23§3.4.2. Banach空间•定理：若–Hölder不等式：–证明思路：24§3.5 Hilbert空间 25§3.5.1 内积空间 •内积：设W≠Ø为实或复线性空间，若对   X X,Y Y,ZZ∈ ∈W,λ∈ ∈C，均有一个实数或复数与之对应，记为〈X X,Y Y〉，满足： 则称〈X X,Y Y〉为X X与Y Y的内积，定义了内积的空间为内积空间 26§3.5.1 内积空间•注：– – – •例子：– 27§3.5.1 内积空间•例子：– – – 28§3.5.2 Hilbert空间•定义欧氏范数 ，则内积（线性）空间成为赋范线性空间 •Hilbert空间：依欧氏范数 完备的内积空间称为Hilbert空间。

•有限维内积空间必完备： 完备• 完备，定义内积 •H空间是能量有限信号的集合29§3.5.2 Hilbert空间•Cauchy-Schwarz不等式：W为内积空间，   X X,Y Y∈ ∈W，有 •注：–1.在Hölder不等式中，取 ，就成为Cauchy-Schwarz不等式 –2.在 空间中，有Cauchy不等式：–3.在 空间中，有Schwarz不等式： 30§3.5.3 线性泛函 •算子—Operator：X,Y为线性空间，算子： 其中， 为定义域， 为值域 31§3.5.3 线性泛函•泛函—Functional：值域是实／复数域的算子为泛函 –注：定积分，距离，范数，内积， 函数（第三种定义），（普通）函数均为泛函•线性算子： X,Y为线性空间， ，若对 ，有： 则T为线性算子32§3.5.3 线性泛函•线性泛函：线性算子T的值域为实／复数集。

–距离、范数是泛函，但非线性泛函–连续线性算子T–线性算子：有界连续–内积为连续线性泛函–积分算子33§3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 34§3.6.1 正交—Orthogonal •正交：在内积空间W中，若 ，满足： ，则称 正交，记为： 其中k为常数， 为Kronecker符号－ •正交（子）集： 中任意两个元正交 35§3.6.1 正交•集正交：若 •正交补： •规范正交完备集V：–1. （完备性）–2. （规范正交） 36§3.6.1 正交•定理：Hilbert空间存在规范正交完备集•定理：W是Hilbert空间， ，V是W的正交子集37§3.6.2正交投影—Orthogonal Projection •正交投影： W是Hilbert空间， 在V上的正交投影或投影，记为： 。

–注： 的距离最小，即正交投影使均方误差最小化 38§3.6.3 广义傅里叶展开 •广义傅里叶展开：设 是H空间W的规范正交完备集，则对 为广义傅里叶系数 –注： 是Hilbert空间W的规范且完备的一组基 是 X 在 上的投影39§3.6.3 广义傅里叶展开•Parseval等式：设 ， 则•物理解释：信号的总能量＝各个分量的能量的和•几何解释：广义勾股定理40§3.6.3 广义傅里叶展开•用N项广义傅里叶展开逼近X： 设 是Hilbert空间W的规范正交完备集， X在 上的投影： 这里 规范正交，但不完备。