数值分析书本答案.docx

习题一1、取3.14,3.15, 22, 3空作为 的近似值，求各自的绝对误差，相对误 7113差和有效数字的位数解：x1 3.141 .. 2 1 （八13X1 - 10- 1022所以，X有三位有效数字绝对误差：e 3.14，相对误差：er 一起绝对误差限：1 10 2,相对误差限：,- 1031 - 10 222 36x2 3.153.15 0.00840174 0.84074 10 2 0.5 10 10.5 101 2所以，X2有两位有效数字绝对误差：e 3.15，相对误差：er 一三生绝对误差限：1 10 1,相对误差限：r 1 10 126X22272270.0012645 0.12645 100.5 10 20.5 101 3所以，X3有三位有效数字绝对误差：e绝对误差限：22,相对误差：a2 102,相对误差限:22710Xi3551133551130.000000320.3210 60.5 10 60.5 101 7所以，X4有七位有效数字355绝对误差：e绝对误差限:355,相对误差：er1131 10 6,相对误差限:211310 63、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数 的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。

试分别指出它们解:X1*XX1 0.0315,X2 0.3015, X3 31.50, X40.0315 m=-15000X2X3X44、Xi2 10 4 2 1013所以,n=3, %有三位有效数字绝对误差限:0.3015 m=0*X X221041210 4，相对误差:2 1004所以,n=4, 小有四位有效数字绝对误差限:31.50 m=2*X X3310 4，相对误差:21024所以,n=4, %有四位有效数字绝对误差限:5000 m=4*X X4所以,n=4,1002 102，相对误差:1 4 4102X1有四位有效数字绝对误差限:相对误差:121r 2a100 0.5,10 n 1 —10 32 510 212a12a12a计算玩的近似值，使其相对误差不超过0.1%101010i101 -1061 n 1一 102a解：设取n位有效数字，由定理1.1知，r由百0 10 0.3162…，所以，a1 3由题意，应使1 10 n 1 0.1%,即10 10n6所以,n=4,即闻的近似值取4位有效数字近似值x 3.1626、 在机器数系下 F(10,8, L,U)中取三个数 x 0.23371258 10 4 , y 0.33678429 102 , z 0.33677811 102 , 试按 (x y) z和x (y z)两种算法计算x y z的值，并将结果与精确结果 比较。

0.23371258 10 4解. (0.000000233712580.33678452371258(x y) z _2_20.33678429 102) 0.33677811 102 102 0.33678429 102) 0.33677811 102_2 __2102 0.33677811 1020.33678452 102 0.33677811 1020.00000641 x (y z)102 0.64100000 10 30.23371258 10 40.23371258 10 4_2(0.33678429 102 0.336778110.61800000000 10 32102)0.023371258 10 3 0.61800000000 10 30.641371258 10 30.64137126 10 3x y z0.23371258 10 4 0.33678429 102 0.33677811 102 _ _ _20.00000023371258 102 _2 __20.33678429 102 0.33677811 102 __ __20.00000641371258 1020.64137126 10 3所以，x (y z)比(x y) z精确，且x (y z)与x y z相同；因此，在做三个以上的数相加时,需要考虑相加的两个同号数的阶数 尽量接近。

8、对于有效数 x1 3.105, x2 0.001 , 差限y1 x〔 x2 x3, y x#2x3, y3 解：x1 3.105,m=1；*1311 4x x1- 10- 1022/、13所以 (x1)- 10x3 0.100，估计下列算式的相对误X2x3同理( X2 )1—1023 (X3)e(xi)10e「（xi）e(x1)Xi1—102-10 3N——3.1025|r ( X1)10 3e(X2)10er(X1)e(x2)X2e「（X1X2以，er(y1)6（丫2）所以,er ( y3 )10X3)e「（X3）e x1Xie(x3)X3X2X3X2X31 10 20.0011—10 20.100e x1X13-或r(X2)1003-或r(X3)10 3e x2e X3er(X1 X2 X3)0.49975 102X33er(X[X2X3) er(X1X2) 3(X3) er(x) er(X2) 6(X3)e.(y2)x2、er (一)X3所以，er%）0.505164(X2) 4(X3)0.505综合得： r(y1)0.49975 10 3 , r(y2) 0.50516, r(y3) 0.5059、试改变下列表达式，使其结果比较精确〔其中 x 1表示x充分接近0,〔1〕1表示x充分大〕。

ln x2, x1 x2〔2〕〔3〕〔4〕ln X11110且Xx〔5〕1…一 cot X , X X答案:〔1〕ln 土;X2〔4〕法一：用1COSXX31 2—X 2_2X X3 X得出结果为:法一. 1 cosxcosx sin xxCOSX sin xsin xsin x1 COSX1 COSX Xsin x sin x或 1 cosx sin x2sin2(.x tan212、试给出一种计算积分In e1 1xnexdx近似值的稳定性递推算法 n0解：显然，In>0,n=1,2,…当 n=1 时，得，Ii1xex1dx 10e当nA2时，由分部积分可得： 1 n -I n 0 x e dx 1 nl n 1, n=2,3,…另外，还有：I nxnex 1dxxndx ——00 n 1由递推关系In=1-nIn-1,可得计算积分序列｛In｝的两种算法:① In 1 nIn1 n=2,3 …② In1」n 2,3,..., n 下面比较两种算法的稳定性 ~①若已知In 1的一个近似值I n 1,则实际算得的In的近似值为 ~~I n 1 n I n 1 ~~所以，In I n ( n)(In 1 I n 1) ~~I n I n n I n 1 I n 1由此可以看出In 1的误差放大n倍传到了 In,误差传播速度逐步 放大②由 In 计算 In 1 In 1n N,N 1, 1n ~若已知I n的一个近似值是I n,则实际计算的I n 1的近似值为~1 In n~~所以，I n 1 I n 1 (In I n) n~1~I n 1 I n 1— I nI nn由此可以看出In的误差将缩小n倍传到了 In,误差传播速度逐步衰减。

一，・4 4-.1综上可看出，计算积分In e 1 0 xnexdx的一种稳定性算法为1 In1nl ——-n N,N 1,N 2 ,1. n习题二1、利用二分法求方程x3 2x2 4s 7 0 ［3,4］的根，精确到13,即误差-10 3不超过2解：令 f(x) x3 2x2 4x 7f (3)10 0, f(40 9 0,说明在［3,4］有根，利用二分法计算步骤得出 x10 3.632324219, x113.63218359381bn a-x- x10 0.4882181 10 3 - 10 3 满足精度要求2所以，x xn 3.6321，共用二分法迭代11次2、证明1 x sinx在［0,1］有一个根，使用二分法求误差不大于1 10 4的根2证明：令 f(x) 1 x sin xf(0) 1 0; f (1) sin1 0,所以，f(0) f(1) 0由零点定理知，f(x)在［0,1］有一根根据计算得出：x* x150.98283，此时共迭代15次4、将一元非线性方程2cosx ex 0写成收敛的迭代公式，并求其在x0 0.5附近的根，精确到10 2解：令 f(x) 2cosx ex令f(x)=0，得到两种迭代格式xe1 arccos一22 ln(2cosx)①(x)②(x)不满足收敛定理2sin x2cosxtanx2(x0)2(0.5)0.008727 1,满足收敛定理由方程写出收敛的迭代公式为xk 1ln(2cosxk)取初值为x0 0.5，得出近似根为：x* x2 0,693074175、为方程x3 x2 1 0在x。

1.5附近的一个根，设方程改写为下列等价形式,并建立相应的迭代公式：〔1〕x 1迭代公式xk 1 1」； xxk〔2〕x3 x2 1,迭代公式 xk 1(x； 1)1/3〔3〕x2,迭代公式 xk 1 ^-172-x 1(xk 1)解：〔1〕利用局部收敛定理判断收敛性，判断初值x0 1.5附近的局部收敛〔2〕局部收敛〔3〕不满足局部收敛条件但由于I 1(x)|. I 2(x)，所以1(x)比2(x)收敛的慢取第二种迭代格式xk1(xk2 1)1/3取初值x0 1.5,迭代9次得x*x91.4667、用牛顿法求解x3 3x 1 0在初始值x0 2临近的一个正根，要求 xk 1 xk 10 3 o解：令 f (x) x3 3x 1_3由牛顿迭代法知:Xk 1 Xkf(Xk)3Xk12f (Xk) 3(Xk1)迭代结果为:1231.88881.87941.8793。