线性代数(经管类)课堂笔记-红字重点.pdf

自考高数线性代数笔记第 一 章 行 列 式1 .1行列式的定义（ 一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号4 = M叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：同 = 见注意：性代数中，符目T不是绝对值例如 忸 =5, J -5 | = -5.a b3 = A（ 2）定义：符号 °d叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：a b=ad - beC d 所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差 （ 主对角线减次对角线的乘积）1 23 4= 1x4 — 2x3 = -2例如乌=（ 3）符号ai瓦q出 b2 c203 bze3叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为b\ 45c2A C3%«2= a也q + 型蛉1+ 4 P le 2_ a * 2 c l - a也c? - a& b1c M1 2 34 5 6例如 7 8 9|_ 1x5x94-4x2x3+7x2x6-7x5x3-4x2x9-1x6x2=0三阶行列式的计算比较复杂， 为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式， 我们可以采用卜面的对角线法记忆= 也弓+ 色 自 弓+&2&C1 4- a也 2 — ” 2自 心方法是：在一给行列式右边添加」给行列式的第一列、第二列。

我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线， 把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和例如：(1 )I44 > 64 '户 晨 猫, —7 3 ?=1X5X9+2X6X7+3X4X8-3X5X7-1X6X8-2><4X9=0(2 )% % C ,o W】G, b" b/3/卜 a1'xb2 x c3 x O + q x O x O - q x % x O - / x q x O-瓦 XOX Q— a也 々c?(3)fi, o o I la( o o Q i o= a jx i j x c3 +0 x 0 x a3 + 0 x a2 -O x Z >2x a3 一/x O x i j - O x a ? x q—a1B2c3(2 )和(3)叫三角形行列式，其 中(2 )叫 上 三角形行列式， (3)叫下三角形行列式,山(2 ) (3)可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对加线的三个数之积，其余五项都是0 ,例如2 1 30 3 1 = 2 x 3x (-2 ) = — 1 20 0 - 23 0 01 -2 0 = 3x (-2 ) x 4 =-2 42 3 42 0 00 3 0 = 2 x 3x (-1 ) = -60 0 - 1=0例1 a为何值时，3 4［ 答疑编号1 0 0 1 0 1 0 1 ：针对该题提问］2 a=8 - 3 a解 因 为3 4o 2 a= a - - w 4=0所以 8-3a = 0 , 3时 3 4x -1-2例2当x取何值时，44 2x x > 02 1［ 答疑编号1 0 0 1 0 1 0 2 ：针对该题提问］解：.=(x -l)x -1 + 4 - x -4 + 2 - (-2 )- 2-2 x 4-( x-1 ) - x 2 -4 (-2 ) 1=x2- x + 1 6 x -8-8x - 2A3 + 2 x +8= * + 9x=x (9 - x ) > 0= (x -l)x l+4 x -4 + 2 (-2 )-2 -2 x -4-(x -1 )- x- 2 -4 (-2 ) l=x2- x +1 6 x -8-8x - 2 X2 +2 x +8= -x2 +9 x=x (9 -x ) > 0解得 0 < x < 9所以当0〈x < 9时，所给行列式大于0。

二 )n阶行列式5= ： - : ,符号： % ­ ­ - % *它由n行、n列 元 素 （ 共m个元素）组成，称之为n阶行列式其中，每一个数 就称为行列式的一个元素，它的前一个卜标i称为行标，它表示这个数陶. 在第i行上；后一个卜标j称为列标，它表示这个数% 在第j列上所以％在行列式的第i行和第j列的交叉位置上为叙述方便起见，我们用⑴ ） 表示这个位置n阶行列式& 通常也简记作k Ln阶行列式2 =昌L也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念 1 )在n阶行列式口 中，划去它的第i行和第j歹九余下的数按照原来相对顺序组成的一个( n -1 )阶行列式叫元素分的余子式，记 作 皎例如，在三阶行列式中，的1的余子式朋\ 读示将三阶行列式Q划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的二阶行列式，所以相似地， 时的余子式肱2 ,表示将三阶行列式Q划去第二行和第三列后，余下的数组成的二阶行列式所以1 3 2乌 =4 7 8例I若 5 6 9,求：( 1 )加1 2［ 答疑编号1 0 0 1 0 1 0 3 ：针对该题提问］⑵ 场1［ 答疑编号1 0 0 1 0 1 0 4 ：针对该题提问］( 3 )加B［ 答疑编号1 0 0 1 0 1 0 5：针对该题提问］( 4 )朋j a［ 答疑编号1 0 0 1 0 1 0 6 ：针对该题提问］4解⑴妁=58=3 6 - 4 0 = -49( 2 )% 】3 2=2 7 -1 2 = 1 56 9( 3 )7=2 4 - 3 5 = -1 16( 4 ) %1 2= 8 - 8 = 04 8( 2 ) 符号4叫 元 素 % 的代数余子式定义：4 = ( -1 ) " ‘力 “ ( 系数其实是个正负符号)例 2 求 例 1 中Q 的代数余子式( 1 ) A a［ 答疑编号1 0 0 1 0 1 0 7 ：针对该题提问］( 2 ) 4 1［ 答疑编号1 0 0 1 0 1 0 8 ：针对该题提问］( 3 ) 4［ 答疑编号1 0 0 1 0 1 0 9 ：针对该题提问］( 4 ) &［ 答疑编号1 0 0 1 0 1 1 0 ：针对该题提问］解：⑴1.阳2 = - 4. . 4 = ( T产 外=( 一 炉 /=( -0 ( -4 ) = 4( 2 ) = 1 54 1 = ( -1 严 Mi =- 场 1 = T5( 3 ) ,「 必=T1： . 4 ? = ( _ 1 ) 1 " 姐 3 = " 1 3 = " " I I( 4 ) = 0: . & = ( T 产 2 M3 2 = - M52 = 0( 如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数，等于原数)a\ \ ai 2 aBZ ?3 = 4 2 1 % 。

2 3例 3 若 3 1 % %3计算为14 1 + 劭 14 1 + & 3 1A l ( 以上两组数相等)［ 答疑编号100101H：针对该题提问］解：“ □A i +% 41 +% &= , 式 -1严 弧 I + % ( - 1产Ml + 3 ］ ( -1产% 1=- 2 1此 1 + 4 1 % 1a32 a33 2 2 以 2 3二白11 （ 町233 —4 2 3 % ） 一221（ 知电3 —知的2）+ 以31（%以23 - 7 1 3 %）="11 以 22以33 +012«23% 1 + 以 13a21々32 —白11“ 23%2一 %如 的3 一，3 0 2 2%由于= «1色湃33 +知 %3%1 +以13a21以32一 以13以 £ 以31 一 知以23%2 ~a12a2la33与例3的结果比较，发现知 a12 a132 = «21 a22 a23 = 々11A 1+ 4 2 1 4 1 + % 1 4 1% 1 % 033这一结果说明：三阶行列 式 ® 等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和，这一结果可以推广到n阶行列式作为定义。

定义：n阶行列式% % 2 …aijt& = = %/ ] + %4 1 + … + < 4 1怎1 % 2 - - %=2%4?=1即规定n阶行列式口的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和， 上面结果中因为4 =舷口，4 1 = - 此 1，& = 峪 】 , -4 =(- 1严 此1所以有么= 11必1 - %四21 +% 也31 -* 1 严特别情形口3 — <3n-W1 1 - a 2 1 M 21 +31〃31Z \ = 4 1 1朋1 1 - % 舷21+31M乳 -a 4 lM ji例4计算下列行列式an0f( 1) °以22 «23 024° e 3 “ 340 0 a4 4［ 答疑编号1 0 0 1 0 H 2 ：针对该题提问］0 0 0 以4 4二々11A 1 + 4 2 1* 2 1 + 以3 1 j 3 1 + ^ 4 1 A 1= 勺1 41 +0乂41 + 0义 & +0 X41= 4 1 1 M H以2 2 0 2 3 %=al l 0 a3 3 % 40 0 a 4 4=臼 /33%由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积= 内1的2%资4 4%ai 2a1 3%4ai 50a22。

23%叼5口5 =00a33%的5000以44，5( 2 )0000a55［ 答疑编号10010113 ：针对该题提问］%“ 12%3%4ai 50“ 22a g,324叼52 = o0a33的4的5000a»4 50000a55二«114 1 +% 41 +31 & + “ 4 14 1 + “ 5 14 1= ,]4]+ 0 + 0 + 0+ % ] 瓶] ] + 0 + 0+0 + 0«23 a24 a25生 3 % a350 a4 4 a4 50 0 a55000="112 2 a 3 3 4 4 45 5可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主: 对角线各数之积的1劭2七3 % 4牝5一般地可推得即任意n阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积… a；同理有1 . 2 行列式按行( 列) 展开在1 . 1节讲n阶行列式的展开时， 是把口按其第一列展开而逐步把行列式的阶数降低以后，再求出其值实际上，行列式可以按其任意•行或按其任意一列展开来求出它的值现在给H I下面的重要定理，其证明从略定 理1. 2 . 1 ( 行列式展开定理)n阶行列式° = 1 % 1育 于它的任意一•行( 列) 的各元素与其对应的代数余子式的乘枳之和，即。

/4 +勾 2 4 + … + ” 4 ( i =l , 2 , . . . , n ) ( 1. 8 )或 a 2 M/ ( j =l , 2 , . . . , n ) ( 1. 9 )其中，4是元素与♦ 在D中的代数余子式定 理1 21 ( 行列式展开定理)n阶 行 列 式 簿 于 它 的 任 意 一 行 ( 列) 的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 知4 1 + % 4 2 + … + 冬 4s ( i =l , 2 , . . . , n ) ( 1. 8 )或7 ) =州4+ ( j =l , 2 , . . . , n ) ( 1. 9 )其中，4是元素餐在D中的代数余子式 1 . 8 )式称为D按第i行的展开式，( 1 . 9 )式称为D按第j列的展开式，这里i , j =l , 2 , …上述展开定理也可以表示成£ )= (-1严 对 ％ + ( -W& 跖2+ … + ( - W &M * ( i =l , 2 , . . . , n )口 =( 一 严 % 后 +(T严% / + … + ( 一1严% % ( j =l , 2 , . . . , n )这两个展开式中的每一项都由三部分组成： 元素因. 和它前面的符蜕,以及它后面的余子式命％, 三者缺一不可！特别容易忘掉的是把元素. （ 特别 是 % = 一 1）抄写下来。

根据定理1 2 1 知道，凡是含零行（ 行中元素全为零）或 零 列 （ 列中元素全为零）的行列式，其值必为零特别情形（ 1）an an ai3口3 = a2l 以2 2 a2以31 % 与3=以 1 1 4 1 + 0 3 M31=工12 + « 2 2 *^ 2 2 + ] 支4 2=+以2 3工2 3 +/4=+以 口4 ？ + ^ 1 3 ^ 3= « 2 1*2 ] + 4 2 2 *2 2 + 以 i s d ?=以3 1 4 1 +如4? +以?3 43(2 )D4 ==以1 1 4+ % 1 41 + % 1 41 + 41 41— « 12工12 + ^ 2 2 -^ 2 2 + + 以 424=+«2 3 As + % 3 4 +以4 3 4 3= ， 4 4 14 + «羽 & + % 444 +々4 444= / M i + 口4 + 阳4 + % 4 u=+白力4 + 73 3 4 +以3 4&二以 2 1 4 1 ^ ^ 2 2 -4J2 + 以 2 34 2 3 + 以 2 4 4公=即41 +以4 2 4 2 + 443 43 + 即44000D =a2 1a2200%%0例 5 计算以4 1a42a43%［ 答疑编号100102 01: 针对该题提问］解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第十■?（ 解题技巧）D = 白1 1 4］ +白匕42 + 71 3 4? + 优 N"14•" an = an =以 14 = °L) = +0+0+0以 22 0 °=a3 2 电 3 0&42 。

43 a44=2 2 a 33 a 4 4可见四阶下三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积= 的1 劭2 a 33a 4 4例 5的结果可推广为口 * =%* 町* *我们称这种行列式为卜三角行列式（ 可任意取值的元素在主对角线的卜 面） 21010— 130A2003例 6 计算 1121［ 答疑编号100102 02 ：针对该题提问］解：由于第2 行含0 最多，所以应按第二行展开口4 ~ 42141 + ^22-^22 ++ 24 4 4. . &21 =22 = 424 = °/. =0+0 + 0 = -1 2 -1= -3 2 0 31 1 1= 一3 (一 点21河21 + 0 —=- 3 { 42141 + 422-^22 + 423^23 }= -3{-2x3-3x(-1))=9例 7 计算0000061 00 20 00 00 00 00 00 03 00 40 00 0000050口6 =［ 答疑编号100102 03：针对该题提问］解：将2按第6行展开得2 = %4 1 + %4 2 + a 6 3 4 3 +/ 4 4 + % 4 5 + ， 6 4I5= - 6xlx2x3x4x5= 一 。

6 M l1 0 0 0 00 2 0 0 0= -6 0 0 3 0 00 0 0 4 00 0 0 0 5= - 61例8计算D= "q（ 1） 4ooa3 4队为0 00 0［ 答疑编号10010204：针对该题提问］解：按第4行展开D — 4 ］ 4 ］ +0 + 0+0二一 M 峪 1—— d] - 00 0 0, 00D= o d2匕为o C2 c3⑵ 4° 000/［ 答疑编号10010205：针对该题提问］解：将D按第一行展开D = /M i + 0 + 0 + "幺”=a“峪i - a”峪 4%—/ c20A 0c3 00 40% od]玩c20qo=（ 力2c3 — AJC2） — a4dl也内—&c?）= （ a，4 - 4 4 ） 323-&々） （ 重新分组后得出）1 . 3 行列式的性质与计算因 为n阶行列式是n!项求和，而且每一项都是n个数的乘积，当n比较大时，计算量会非常大，例如，10!=3628800所以对于阶数较大的行列式很难直接用定义去求它的值，这时利用行列式的性质可以有效地解决行列式的求值问题下面我们来研究行列式的性质,并利用行列式的性质来简化行列式的计算。

1 .3 .1行列式的性质将行列式D的第一行改为第一列，第二行改为第二列……第n行改为第n歹i j ,仍得到一 个n阶行列式，这个新的行列式称为D的转置行列式，记为DT或D 即如果性 质1行列式和它的转置行列式相等，即口= 口］ 或% % flll a2 1 anl根据这个性质可知，在任意一个行列式中，行与列是处于平等地位的凡是对“ 行''成立的性质，对“ 列” 也成立；反之，凡是对“ 列” 成立的性质，对“ 行” 也成立所以只需研究行列式有关行的性质，其所有结论对列也是自然成立的 运用最多） 性 质2用 数k乘行列式D中 某 •行（ 列 ） 的所有元素所得到的行列式等于kD这也就是说，行列式可以按某•行前“11 %D、 = kan kan ••• ka 曝—k% - - 〜证 将左边的行列式2按其第i行展开以后，再提出公因数k ,即得右边的值：A=2 2 =k hvL =也注 意 如果行列式有多行或多列有公因数，必须按行或按列逐次提出公因数I某一按列提出公因数:a1\ % *ail ai2 % =kD% *2 5 56 4 10例1计算行列式：3 6 1 5［ 答疑编号100102 06 ：针对该题提问］2 5 52 5 52 56 4 10 = 2x 3x 3 2 5 =2x3x5 3 2解3 6 151 2 51 2111= 30 (4 +6 +5 -2 -4 -15 )= 30 (-6 ) = -18 0在 例 1 的计算过程中，我们先提出第二行的公因数2和第三行的公因数3 , 得到第一个等号右边的式子，然后提出这个行列式中第三列的公因数5 , 把行列式中各元素的绝对值化小以后，再求出原行列式的值。

a ba ca eb d-c dd e例 2b fc fy［ 答疑编号100102 07 ：针对该题提问］-a b a cb d -c db f c fd e = a d f b -ce — 1 1e - a b c d e f 1 -1-e 1 111— 1因为=(-1)+1+1-(-1)-(-1)-(-1)=4所以原式= 4 a b c d e f这里是把上式第一个等号左边的行列式的第一、二、三行分别提出了公因子a ,d ,f ,第二个等号左边的行列式的第一、二、三列分别提出了公因子b ,c ,e ,化简后再求出其值0 a b-a 0 c例 3计算行列式：一 “Y °在行列式D的每一行中都提出公因数(-1)并用行列式性质1可以得到［ 答疑编号100102 08 ：针对该题提问］0 a b0 -a -bD = -a 0 c= (-以a 0 -c-b -c 0b c 0= - i / = - D因为行列式D是 •个 数 ，所以山D = - D , 可知行列式D = 0 用这种方法可以证明： 任意一个奇数阶反对称行列式必为零 所谓反对称行列式指的是,其中主对角线上的元素全为0 , 而以主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号。

即若D = 是反对称行列式，则 它 满 足 条 件 囹 = 一 ％ = L2…， 乩（ 运 用 最 多 ）性 质3互 换 行 列 式 的 任 意 两 行 （ 列 ） ，行列式的值改变符号即对于如下两个行列式根据这个性质可以得到下面的重要推论:推论 如 果 行 列 式 中 有 两 行 （ 列 ）相同，则此行列式的值等于零因 为 互换行列式D中 的 两 个 相 同 的 行 （ 列 ） ，其 结 果 仍 是D ,但 由 性 质3可知其结果为- D ,因 此D =-D ,所 以D=0性 质4如 果 行 列 式 中 某 两 行 （ 列 ）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零证 设 行 列 式D的 第i行 与 第j行的对应元素成比例，不 妨 设 第j行 元 素 是 第i行元素乘 以k得到的，则山于将行列式D中 第j行 的 比 例 系 数k提到行列式的外面来以后， 余下的行列式有两行对应元素相同，因此该行列式的值为零，从而原行列式的值等于零行列式中某两列元素对应成比例的情形可以类似地证明〃x ) =例4验 算x=3是否是方程122421327356=0的根3X46［ 答 疑 编 号10010209：针对该题提问］/ ( ? )解 ：因为1224213233467356=0（ 第二行与第四行成倍数），x=3是 方 程f（ x） = 0的根。

性 质5行 列 式 可 以 按 行 （ 列 ）拆 开 ，即4a.证 将左边的行列式按其第i 行展开即得D=£ ( % + % ) 4 = 2 2 4 4 + EJ=IJ=I J=I这就是右边两个行列式之和 运用最多）性 质 6把行列式D 的某一行（ 列）的所有元素都乘以同一数k 以后加到另行 （ 列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D 即：例 5证明:1 1 0 0k 1 0= 00 k 2D =0 0 2 k的充要条件是k = l或 k=±2［ 答疑编号10010301：针对该题提问］证 因 为D =11001 0 0k 1 00 k 20 2 k②+ L （ 第一行的数乘与（-1）加到第二行上去）1 1 00 k - 1 10 0 k0 0 201k20 k - 102 = k 2,出—1 ) 、k 2 k = ( ^ - l ) ( ^2- 4 )2 ~ 0k 0所以，D = O的充要条件是k = l或k = ±2 o此题中，为了叙述方便，我们引入了新的记号，将每一步的行变换写在等号上面（ 若有列变换则写在等号下面，本题没有列变换） ，即第一步中的②+ （ - 1 ） * ①表示将第一行的- 1倍加到第二行上，第二步是第一列展开。

根据行列式的展开定理与行列式的性质，我们有下面的定理：定 理1 . 3 . 1 n阶行列式 I e、的任意一行（ 列）各元素与另一行（ 列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即ai l A l + e 2> 2 A , 2 ■ * 加4 = 0 （ i w k ） ,+■ * *- = 0 G发 ） ，（ ［ ］ ［ ）1 . 3 . 2行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法 1 ）利用行列式的性质，把原行列式化为容易求信的行列式，常用的方法是把原行列式化为上三角（ 或下三角）行列式再求值此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（ - 1 ） ,在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k ,（ 2 ）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值,通常是利用性质6在某一行或某一列中产生很多个“ 0 ”元素， 再按包含0最多的行或列展开2 3 104 - 2 - 1 - 1- 2 1 2 1例6计算行列式0110［ 答疑编号1 0 0 1 0 3 0 2 ：针对该题提问］解由于上三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积, 所以我们只要设法利用行列式的性质将行列式化为上三角行列式，即可求出行列式的值。

23100110③ + ( - 4 ) X 200-11④ 坨X ②005 -12310011000-11④+ 5 X ③0004我们在计算例6中的行列式时， 是利用行列式的性质先将它化成上三角行列式后， 再求出它的值，事 实 上在计算行列式的值时，未必都要化成上一三角或卜三角行列式，若将行列式的性质与展开定理结合起来使用, 往往可以更快地求出结果例 7 计算行列式:12100-12321021031口4 =［ 答疑编号1 0 0 1 0 3 0 3 ：针对该题提问］解 观察到行列式的第一行第一列位置的元素aH=b利用这个（ 1 , 1 ）位置的元素1把行列式中第 列的其他元素全都化为0 , 然后按第•列展开，可将这个四阶行列式降为三阶行列式来计算，具体步骤如下：口4 ~1 02 -11 20 32102② + ( - 2 ) X ① 01 1 ③ + ( - 1 ) X ① I 00 2 1-1 -3 -22 -2 23 2 1按第一列展开，得-1 -3 -22 = 2 - 2 23 2 1② + ( - 1 ) X ① - 2 x③+ ( - 3 ) X ①= ( - 1 ) x 2 x1 3 21 -1 13 2 11 3 20 -4 -10 -7 -5口4 =例 8 计算行列式23571-12042321125（ 把最简单的调到第一列或是第一旬）55 31217-526205②+ 5 X Q)170370531 2按 第 二 行 展 开 37 5=81在本例中，记 号 ① 一 ②写在等号卜一面，表示交换行列式的第一列和第二列，②+ 5 x ①写在等号下面，表示将行列式的第一列乘以5 后加到第二列。

3 1 1 11 3 1 11 1 3 1例 9计算行列式：1113（ 例子很特殊）［ 答疑编号1 0 0 1 0 3 0 5 ：针对该题提问］解这个行列式有特殊的形状，其特点是它的每一行元素之和为6 , 我们可以采用简易方法求其值，先把后三列都加到第一列上去, 提出第一列的公因数6 , 再将后三行都减去第一行:31116111111111111311—6311=61311=60200=4811316131113100201113611311130002(32) ?［ 答疑编号1 0 0 1 0 3 0 6 ：针对该题提问］a2 (a+1)2 (a+2)2 (a+3)2b2 (b+1)2 (b+2)2 (b+3)2c2 (c+1)2 (c+2)2 (c+3)2例 10计算行列式：d2 (d+1)2 (d+2> (d+3)2a2- b2= ( a + b ) ( a - b )a2b2c2d2( a + 1 )2 3+2y( a + 3 )2 I l a2( b + 1 )2 ( b + 2 )2 ( b + 3 )2 b2( c + 1 )2 ( c + 2 )2 ( c + 3 )2 c22 2 J ③+ ( - 1 )义②2( d + l ) 2 ( d + 2 )2 ( d + 3 ) 2 | ④ + I ) x① |d2( a + 1 )22 a + 3 6 a + 9( b + 1 )22 b + 3 6 b + 9( c + 1 )22c+36 c + 9( d +产2 d + 36 d + 90a2( a + 1 )22 a + 3 3 ( 2 a + 3 )b2( b + 1 )22 b + 3 3 ( 2 b + 3 )c2( c + 1 )22 c + 3 3 ( 2 c + 3 )W( d + l ) 22 d + 3 3 ( 2 d + 3 )例 1 1 计算n 阶行列式（ n>l） ：a b 0 • • • 0 00 a b 0 0=: : : : :0 0 0 • •• a bb 0 0 ­ • • 0 a［ 答疑编号10010307：针对该题提问］解将行列式按第一列展开，得^ = «ii4i + 0+ -- + 0+ H i （ 简化的过程就是消阶，次方也应减少，为 （ N -i）等a b0 a0 00 00 00 0b 0a ba b 0 00 a(L— i产 0 00 00 0b 0a b,=a -+ ( - 1 ) 6 . bxA = / + ( — I ) / % *1 1 1匕 =X 1 x3/ X2 X2例 1 2 计算范德蒙德（ VanderMonde）行列式： 】 2 3［ 答疑编号10010308：针对该题提问］ （ 第一行乘 （ -X P 加到第二行上；第二行乘（ -XP加到第三行上）匕1 1再 N2 2X1 %1均€101到一再1弓一对勺一两 弓一再0 X ?心巧 ）/（ “ 3一玉） 々 （ 弓一再） 弓 （ 弓一过）= 3一 再 ） （ 向 一 再 ）=（ 电一 二 。

后一百） 一 々 ）= n（ 勺一 再）a a2 asb b2 bs2 3C C C例 1 3 计算［ 答疑编号1 0 0 1 0 3 0 9：针对该题提问］a a2 a3 11b b2 bs = abc 1a azb b2 =2c c abc(b-a){c-a)[c-b)( 这是个定律)x aaaaaXaaaaaX aaaaaXa例 1 4 计算aaaaX（ 解题规律：每行或是每列中的和是一样的，故每行或是每列都乘“ 1 " 加到第•行或是第一列上去，再把这个数当公因数提取，形成有行或是列全为“ 1 ”的行列式，然后再化简）［ 答疑编号1 0 0 1 0 3 1 0 ：针对该题提问］x a a a aa x a a aa a x a aa a a x aa a a a x( D - K 2 )①咆( D - H 3 )①遍x + 4a x + 4« x + Aa x + 4a x + 4aa x a a aa a x a aa a a x aa a a a x1 1a x= (x + 4a) a aa aa a1 1 1a ax aa xa aaaaX②+ ( - a ) ①③+ ( ~ a ) ①④+ ( - a ) ①⑤+ (_a ) ①1 1 1 1 10 x-a 0 0 00 0 x-a 0 00 0 0 x-a 00 0 0 0 x-a=( x + 4 a ) ( x - a ) 41 . 4 克拉默法则由定理1 . 2 . 1和定理1 . 3 . 1合并有2，仁吃[ 0 , iwk;, ， ，色，j = k ;aljAk + a 2 M 2 E = 1 n . ,或[U， jw%（ -）二元一次方程组（ 方 程1、2左右同乘以一个数，上下对减）工 汽 + 冬 汽 泡 ①SiXi+a"广瓦②由 a 2 2 * @ -a i2 *②得（ “ 1 1 °2 2 一。

1 2 °2 1 ）西="J J" 一 知5 2由a ” ②-a ?i①得（ 4 1 / 1 2 一 0 1 2町1 ） ， 2 =，也—2自A是常数项耳 ai2 ailb? a2 2 =D] a2 1blb .=口2/ . 当D / O时，二元一次方程组有唯一解X_Ax -A'2 一 万（ - ）三元一次方程组/R+aM z+a1sxi ①< a,iXi+az/z+a器 x「b ? ②>aJ1x1+aaxz+a3 x#瓦③由D中的A u ①+ A2 1 ②+ A3 1③得an an ai3a2 1 a2 2 a2 3=D令a3 1 a3 2 a3 3叫系数行列式b1 a1 2 aBan 瓦 aB an an 瓦b2 a2 2 a2 3 二D1 2 i b ?海=4 a2 i a2 2 瓦=2b3 a3 2 a3 3a3 1 ^ 3 a3 3 a3 1 a3 2 ^ 3（ a “4i+2 1 4 1 +31&）々=441 +$41 + 4 &即 Dx、 = 4由D中的A[2①+A22②+A32③得3 1 2 & +2 2 4 2 +。

32工32）勺 = 自 & + 与4？ + 与4 2即 DXA = D2由D中的A|3①+A23②+A33③得4 3 4 3 + / 3 4 3 +3 3 4 ）兀3 = 自 4 + 小2 4 3 +04即6 = 2. •. 当D / ）时，三元一次方程组有唯一解x _ 口\ x _ 5 x - 4】 一 方 ， 演 一 万 鹏 - 万一般地，有下面结果定 理 （ 克拉默法则）在n个方程的n元一次方程组+ …+ % x==b il321Xl-^a22X2"**""*"c3t2»Xa-^>2.anl\+^ 2+"+V^ \ （1）中，若它的系数行列式an ai2 …aixD =421 a22 …a2 n乐i a»2 a檄8则n元一次方程组有唯一解推论：在n个方程的n元一次齐次方程组allXl + ai2X2+-+ d [bXn= 0（<22 1 X 1+ a2 2x2+-- + a2],xB= 0产 汹 +a显x?+ …+ %网=0 （ 2）中（1）若系数行列式DM ，=方程组只有零解X 1 = 0 , X j — 0 , , x* = 0（ 2 ）若系数行列式D =O0则方程组(2 )除有零解外，还有非零解(不证)例 在 三元一次齐次方程组x^ X j + x^ O< X1+2X2-3XS=02 x. + 3 x2+ a x =0中，a为何值时只有零解，a为何值时有非0解。

［ 答疑编号1 0 0 1 0 4 0 1 ：针对该题提问］1 1 1£ )=1 2 -32 3a解： =2 a -6 + 3 -4 - (-9 ) -a =a + 2(1 ) a齐2时，D # 0 ,只有零解(2 ) a =-2时 ，D =0 ,有非零解本章考核内容小结( - ) 知道一阶，二阶，三阶，n阶行列式的定义知道余子式，代数余子式的定义(二)知道行列式按一行(列)的展开公式& = 〃 4 +%4 + …+ a 前 4A = +2M j(三)熟记行列式的性质，会用展开公式或将行列式化为三角形的方法计算行列式重点是三阶行列式的计算和各行(列)元素之和相同的行列式的计算(四)知道克拉默法则的条件和结论本章作业习 题1 . 11 . (1 ) (4 ) (5 ) (6 )3 . (1 ) (2 )习 题1 . 21、2、3 . (1 ) (2 )⑶ ，4 . (1 )习 题1 . 31 . (1 ) (2 ) (3 )2 . (1 ) (2 )4 . (1 ) (2 )5、6 . (1 ) (2 ) (3 ) (4 ) (5 ) (8) (1 1 ) (1 2 ) (1 4 )习 题1 . 43第 二 章 矩 阵2 . 1矩阵的概念定义2 . 1 . 1 由 m xn 个数 a . (i=l ,al l q 2勾1 & 2/ 22, ..., m； j =l , 2 . . . . n ）排成一个m行 n列的数表- - 如？用大小括号表示称为一个m行 n列矩阵。

矩阵的含义是，这 m x n 个数排成一个矩形阵列其中a . 称为矩阵的第i行第j 列 元 素 （ i=l , 2 , . . . . m; j =l , 2 , n ） , 而 i称为行标，j 称为列标第 i行与第j 列的变叉位置记为（ i , j ） »通常用大写字母A, B , C等表示矩阵有时为了标明矩阵的行数m和列数n, 也可记为A= （ a . ） mxn 或 （ a ”）m*n 或 Am*n当 m = n 时，称 人 =（a ij） n xn 为 n阶矩阵，或者称为n阶方阵n 阶方阵是由r ?个数排成一个正方形表，它不是一个数（ 行列式是一个数） ， 它与n阶行列式是两个完全不同的概念只有一阶方阵才是一个数一个n阶方阵A 中从左上角到右下角的这条对角线称为A 的主对角线n阶方阵的主对角线上的元素a ” ，a22，…，a.称为此方阵的对角元在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元元素全为零的矩阵称为零矩阵用 Omxn或者0 （ 大写字）表示特别，当 m = l 时，称 a = （ aP a2. . . . an）为 n 维行向量它 是 Ixn矩阵'瓦、当 n= l 时，称 l a j 为 m 维列向量。

它是m x l 矩阵向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵例如，（ a , b ,c ）是 3维行向量,0A “ 22A =形如I ° °几种常用的特殊矩阵:L n 阶对角矩阵0 ] 侬0及22“ 海J 或简写为 \的矩阵，称为对角矩阵，对角矩阵必须是方阵 0 ] （ 20 3 0例如，10 0 一 4 是一个三阶对角矩阵，也可简写为'a皿）（ 那不是A ,念 " 尖" ）2. 数量矩阵当对角矩阵的主对角线上的兀素都相同时，称它为数枇矩阵n 阶数量矩阵有如下形式:Z 0 … 0] （a '0 a • • • 0 a、 0 0 - & 1 ^ 或1 / 型 “ （ 标了角标的就是N阶矩阵， 没标就不知是多少的）特别，当 a = l 时, 称它为n 阶单位矩阵 n 阶单位矩阵记为E ” 或 In, 即（\ 0 - - 01 f l 11 …1J 或 \ "在不会引起混淆时，也可以用E或 I表示单位矩阵n 阶数量矩阵常用a En或 叫 表 示 其含义见2 . 2 节中的数乘矩阵运算3 .n阶上三角矩阵与n 阶下三角矩阵形如的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。

对角矩阵必须是方阵一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵4 . 零矩阵0 … 、0 0 00 = .、 0 ° - 0l x„ （ 可以是方阵也可以不是方阵）2 . 2 矩阵运算本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算只有在对矩阵定义了一些有理论意义和实际意义的运算后，才能使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具.2.2.1 矩阵的相等（ 同）定义 2 . 2 . 1 设 A= （ a p mxn，B= （ b y ） k xp 若 m= k , n= l 且 2 , = 与，i = l , 2 , m ； j = l ,2 , n ,则称矩阵A 与矩阵B 相等，记为A = B 由矩阵相等的定义可知，两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而且两个矩阵中处于相同位置（ i , j ）上的一对数都必须对应相等特别，A= （ a y ） mxn= Oe ^ a i j = 0, i = l , 2 , …，m ； j = l , 2 , . . . » n注意行列式相等与矩阵相等有本质区别，例如因为两个矩阵中（ 1, 2 ）位置上的元素分别为0 和 2 。

但是却有行列式等式1 00 11 2 11（ 因为行列式是数，矩阵是表，表要求表里的每一个都一样）2.2.2矩阵的加、减法定义 2 . 2 . 2 设 A =gp ,相加所得到的一个m x n矩阵,A+ B= （ a 0+ b g ） m* n即若m* n 和 B — (b y ) m> : n'是两个m xn矩阵由A i j B的对应元素称为A与B的和，记为A +B ,即A =3勾2a22B'瓦1%如…如… %⑼1A±B••• amn)勾2 …a22 …±A »i如加2…瓦2…%…则勺1 士瓦1士4 19 12 士瓦2a22 ± 如…如2 土瓦?2t i l 士加14 - 2 …Am 土％I)当两个矩阵A与B的行数V列数分别相等时 ; 称它们是同型矩阵只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加例如a 26注意:（ 1）例如3 4、7 8 ,0 1 4 5 ] _ 0 3 7 92 3 0 17 9 7 16矩阵的加法与行列式的加法有不: 大区别2122122< 2ri + 2= 1+ 2[ 1+ 2+ 2 2+ 2 1+ 2 22 + 21+ 12 + 23 + 3、1+ 13 + 3 )2 31 12 3'336、2（ 阶数相同， 所有的行（ 列） 中除某一行（ 列）1J1+3、（21313+2 22 12 22123313333424不相同外，其余的行都一样才可以相加，方法是除了这两个不同的行（ 列）相加外，其它的不变。

）（ 2 ）阶数大于1的方阵与数不能相加 阶数大于1它就是一个表，不是一个数了）若 人 =（ a i j ）为n阶方阵，n> l , a为一个数，则A + a无意义！ 但是n阶方阵A= （ a ” ）n,xn与数量矩阵a E _可以相加：31 +4q 2 - %、A+aEn =叼 -%、* 丽- 他 + / （ 把数转化为数量矩阵a E n就 可 以 想 加 了 》由定义222知 矩阵的加法满足下列运算律：设A , B, C都是m x n矩阵，O是m x n零矩阵，则（ 1）交换律A + B = B + A .（ 乘法没有交换律）（ 2 ）结 合 律（ A + B ） + C= A + （ B + C ）.(3 ) A + O= O+ A = A .( 4 ) 消去律 A + C= B+ C= A = B.2.2.3数乘运算(矩阵与数不能相加，但是可能想乘)定义2 .2 .3 对于任意一个矩阵A = (a i j) m x n和任意一个数k , 规定k与 A的乘积为k A =(k a jj) m x„.(矩阵里的第个原数都乘以数K )山定义2 .2 .3 可知，数 k与矩阵A的乘积只是A中的所有元素都要乘以k , 而数k与行列式Dn的乘积只是用k乘 Dn中某一行的所有元素，或者用k乘 Dn中某一列的所有元素,这两种数乘运算是截然不同的。

根据数乘矩阵运算的定义可以知道，数量矩阵a E n就是数a 与单位矩阵En的乘积数乘运算律( 1) 结 合 律 (k l ) A = k (1A ) = k l A , k和 1为任意实数 2 ) 分配律 k (A + B) = k A + k B, (k + l ) A = k A + l A , k 和 1 为任意实数例 1已知< 2 3 1、A= 0 2-1 3「O S,求 2 A - 3 B’ 1 2 - 1 0'B= 4 -3 1 1J 0 2 5 ,［ 答疑编号：1002 0101针对该题提问］解2 4- 3 8 = 201444仁1062222- 2 60乙2 - 30- 12送一3- 5- 124 - 64 + 94 - 03- 101'35)- 33121 八36 + 3- 2 - 30- 66- 904、J- 3362- 300 、3- 1120、15)9-5-623- 52 - 0 、6 - 310- 15 ,例 2 已知A =勺 0 - 1 2 ,3 8 3 1 ,5 62 4,B3 27 - 1且 A + 2 X = B ,求 X。

［ 答疑编号：1002 0102针对该题提问］1 1/2 6 4 0 1 (1解：X = —公( B -J4 )=2—1. 0 - 4 4 -2)=［03 2 0 ］- 2 2 - 1 1 (注意是乘以矩阵里的每个元素)2. 2 . 4乘法运算定义2 .2 .4设矩阵A = (a p m * k ，B = (b , j) kxn>令C = (c y) m * n是由下面的m' n个元素c f a i i b i j+ a i 2 b 2 j+ …+ a i k b k j (i = l > 2 , m： j= l , 2 , .... n)构成的m行n列矩阵，称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C= A Bo由此定义可以知道，两个矩阵A = (a .)和B =(瓦) 可以相乘当且仅当A的列数与B的行数相等当C =AB时，C的行数= 人的行数，C的列数=8的列数C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和4 0 - P2 1 03 2 - 1,3*A =B例3若0、12 1且A B = C求矩阵C中第二行第一列中的元素C2|［ 答疑编号：1002 0103针对该题提问］解：C2 1等于左矩阵A中的第: 行元素与右矩阵B中第一列元素对应乘积之和； .C 2I= 2X1 + 1x 3 + 0x 0= 5例4设矩阵'1 0 - 1、A= 2 I 03 2 - 1,求AB。

f\ 、B = 3 1 ,< ° 2J (列 行 )［ 答疑编号：qAB= 2解：I31002 0104针对该题提问］0 - 1V 11 0 30、12>’ 1x 1+ 0x 3 + (- 1) x 02 x l + 1 x 3 + 0 x 0^ 3 x 1 + 2 x 3 + (- 1) x 03 x 2 x 1+ (- 1) x 2从9l x 0 + 0x l + (- l ) x 2 ］ (\2 x O + 1 x l + 0 x 2 5这里矩阵A是3 x 3矩阵，而B是3 x 2矩阵，山于B的列数与A的行数不相等，所以B A没有意义4 =电1例5 ⑶儿跄=解：⑴1 + 0 +0= 421+0+01令］+0+00 + + 00+^22 +00 + q 2 +0为2a22%2% 1g l0 + 0 + a13、0 + 0+吃 30 +0 + 令3 ,(2 ) E 3 A 3如和'3 勿3 =力的2 % )［ 答疑编号：1002 0105针对该题提问］(2 )，2为冯 =［ 答疑编号：1002 0106 针对该题提问］由本例可见AJE3=E3 A 3 = A 3 ，并且可以推广有它与代数中的l a = a l = a 比较可见单位矩阵E ” 在乘法中起单位的作用。

例 6 设矩阵求 AB 和 BA［ 答疑编号: 1002 0107 针对该题提问］解产( IX於o j U 认 1 oj 12现在，我们对矩阵乘法与数的乘法作一比较数的乘法有交换律，矩阵乘法没有普遍交换律差别)〃 1[ f l O')设 A - l i i J B =l - i o J1、求(1) A B (2 ) A C解⑴叫熊加0、0,例 7［ 答疑编号：1002 0108 针对该题提问］AC(2 )p 1V 0 1 ](0 O'b " I T厂 I 0,［ 答疑编号：1002 0109 针对该题提问］可见A B= A C众所周知，两个数的乘积是可交换的：a b = b a , 因而才有熟知的公式:(a + b ) 2= a2+ 2 a b + b2, a2- b2= (a + b ) (a - b ) , (a b ) k= akbk.两个非零数的乘积不可能为零因此，当 a b = 0时，必有a = 0或 b = 0当a b = a c 成立时，只要a /) , 就可把a 消去得到6 = 薪(这条只满足数，不满足矩阵)由矩阵乘法及上述例6 、例 7可知：( 1) 单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：EnA = A En= A( 2 ) 数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：(a En) A = A (a En).( 3 ) 在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律，即 • •般A B r B A 。

4 ) 当 A B = O 时，一般不能推出A=O 或 B = O o 这说明矩阵乘法不满足消去律 5 ) 当 A B = A C 时，一般不能推出B = C 消去律)若矩阵A与 B 满足A B = B A , 贝 I 」 称 A 与 B可交换此时，A 与 B必为同阶方阵矩阵乘法不满足消去律， 并不是说任意两个方阵相乘时， 每一个方阵都不能从矩阵等式的同侧消去 在下一节中我们将会看到， 被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式的同侧消 去 例8设矩阵 8 1 J ,求 出 所 有 与A可交换的矩阵 即AB =B A)［ 答疑编号：1 0 0 2 0 2 0 1针对该题提问］( X11 勺2、解 因 为 与A可交换的矩阵必为二阶矩阵，所 以 可 设 一1心1与2 )为 与A可交换的矩阵 ，则e (1 )缶1 /12〕 ( *11 *12 )勺1 芍2X21 x22< 2 1 ；>11+2]12， 2 1 + 2 %由A X = X A ,可 推 出X ［ 2 =0 ，X u=X 2 2 ，且X u，X 2 1可取任意值，即得xn 0V21勺1人 ( 对角线必须一样)P洞「1例9解矩阵方程U 2) ( T U , X为二阶矩阵。

［ 答疑编号：1 0 0 2 0 2 0 2针对该题提问］解 设 -卜21与2人 由 题 设 条 件 可 得 矩 阵 等 式 ：［ 2 1 ］小1 孙 ［f l 2 ］p X u + X2 1 2々2 +与2 ］ =' 1 2、［ 占1 + 2 % x1 2 +2X22J 1 - 1 1 ；由矩阵相等的定义得J 2 * 1 1 + 2 1 = 1 , f 2 x1 2 + x 2 2 = 2,bn + 2 x2i = - l ; 1々2 + 2 * 2 2 =L ( 列出两组方程式)f l 1、X =\解这两个方程组可得X u = l , X 2 1 = - 1 > X ［ 2 =l ，X22 =0 o所以 °) 乘法运算律( 1 )矩 阵 乘 法 结 合 律( AB ) C =A ( B C ) o ( 不改变顺序)( 2 )矩 阵 乘 法 分 配 律( A+ B ) C =AC + B C , A ( B + C ) = A B + A C 3 )两 种 乘 法的结合律k ( AB ) = ( k A) B =A ( k B ) , k为任意实数。

4 ) EmAm x n=Arn x n, Am x nEn=Am x n ( 其中 E m ，E ”分别为 m 阶和 n 阶单位矩阵) 矩 阵 乘 法 的 结 合 律 要 用 定 义 直 接验证( 证略) ，其他三条运算律的正确性是显然的方阵的方幕设A为n阶方阵，由于矩阵乘法满足结合律，所 以 可 以 不 加 括 号 而 有 完 全 确定的意义我们定义= E,^ = = AA,-,^ = A A - AA的 舞 ( 或 称 方 募 ) 为 二 京由定义可知，n阶方阵的方幕满足下述规则:AkA' =Ak + l, ( Ak) ' =Ak l, k , 1 为任意正整数例10用数学归纳法证明以下矩阵等式：( 10 相小⑵( ；证( 1 ) 当 n =l 时， 矩阵等式显然成立 假设当n =k 时, 矩阵等式成立， 即U 1 0 V:'i i、则Iba nf\ k、 0 1a 11 0 1 八 ° 1’ 1 无 + 1 、、 0 1 ；知道，当 好k + l 时，矩阵等式也成立所以对任意正整数n,此矩阵等式成立［ 答疑编号：1 0 0 2 0 2 0 3 针对该题提问］( 2 ) 当 n =lp h* _ 2* _ ! p "时， 矩阵等式显然成立。

假设当n =k 时， 矩阵等式成立， 即I J - J Jp1用仁对I d-中唯刈1则b J b J b J b i儿 J b 2) ［i i)知道，当 n =k + l 时，矩阵等式也成立所以时任意正整数n , 此矩阵等式都成立［ 答疑编号：1 0 0 2 0 2 0 4 针对该题提问］例 11设 n阶方阵A 和 B满足" = 5 ( 8 + E 证明：( 解B平方为多少)/ = 4 = 炉 = 礴［ 答疑编号：1 0 0 2 0 2 0 5 针时该题提问］证 由'= V+E")可推出B =2 A- E ” 再由B2= ( 2 A- En) ( 2 A- En) =4 A2- 4 A+ En( E 等 于 1 呀 )证得炉= E邦 4/ = 4 H = / = A勾瓦+ 阻与+ …+ / 与瓦^nan ,前者是数， 后者是n阶方阵， 两者不相等，即 AB , B A. ( 行乘列为数，列乘行为N阶方阵)［ 答疑编号：1 0 0 2 0 2 0 6 针对该题提问］因为矩阵乘法不满足交换律， 所以对于n阶方阵A 和 B , 有以下重要结论：( 1 ) ( A+ B ) 2= ( A+ B ) ( A+ B ) =A2+ AB + B A+ B2=A2+ 2 AB + B2 AB =B A,( 2 ) ( A+ B ) ( A- B ) =A2-AB+BA-B2=A2-B2C=>AB=BA.,( 3 ) 当 A B = B A 时 必 有 ( A B ) 乜人时. ( 只有两者两等时成立)例如 AB=BA 时，(A B ) 2= (A B ) (A B ) =ABAB=A (B A ) B=AABB= (A A ) (B B ) =A2B2但ABWBA时，则上面结果不成立。

■4 =例1 3设: olAB =1、<0 0,,BA =( 题2 =; ;B2 =’1001、1,H ；a o ,o .(2 2\=28AB,00:1八1B1 01 0； 0(2 2)J吹 则 有A0 V 2 2]0人2 2厂10 oj(AB)2 "/［ 答疑编号：10020207针对该题提问］因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于n阶方阵A和B ,有以下重要结论:(1)A B =O ,A K )不能推出 B=O ， ， ，H =例如0 10 00 0m 1

0,-Ur1,弋阮;H ； ；)A =则，B1H ：州=E2.2.5矩阵的转置定义2 2 5设矩阵A =aj n 2 …滞x舞把矩阵的行与列互换得3即9的nxm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记 作A T或A ， ，< all a21 "MJH _ 012 叼2 am2、 % a1n •••易见A与 八 丁 互为转置知量三 阵 特别，n维 行 （ 列）向量的转置矩阵为n维 列 （ 行）向［ 答疑编号：1 0 0 2 0 2 1 2 针对该题提问］由本例可见( A B ) T= BRAT , 这一结果有普遍性( 不证)转置运算律( 1 ) ( AT) T= A( 2 ) ( A + B ) T= AT+ BT( 3 ) ( k A ) T= k AT, k 为实数 4 ) ( A B ) T= BTAT, ( A 1 A 2 …A Q士，设 A = ( a. ) 为 n 阶实方阵若 A满足AT=A,也就是说A中元素定乂 226、 “ “ 」晒足：a f, i , j = l , 2 , . . . . n ,则称A为实对称矩阵若 A满足人丁二A,也就是说A中元素满足：aj j = - aj i ， i , j = l , 2, n , 此时必有 a/ 0 , i = l , 2 , n ,则称 A 为实反对称矩阵。

实矩阵指的是元素全为实数的矩阵， 在本课程中， 我们只讨论实对称矩阵和实反对称矩阵，因此，往往省略一个“ 实” 字例如，都是对称矩阵;, 、b -c\［0 b ］, -b 0 e' -b 0)- e ”都是反对称矩阵例 16证明：任意一个实方阵A都可以惟一地表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和［ 答疑编号：1 0 0 2 0 2 1 3 针对该题提问］丘 打 + ^ Y= ^-(A-Ar)证：取 2 2贝 lj A = X + Y>=打+/, = = 1 ( Z + 4 ) = 打 +身尹 c 十」 z z z - A•••X 是对称阵M = ； ( a- / ) r = 3H - ( / ) r) = 夕 / - 用 = - l ( A - Z ) = - F； . Y 是反对称阵 注) 举例证明了下面结论,( A + A 「 )是对称阵( A - AT)是反对称阵对任意方阵A 都有例 1 7 ( 1 ) 设 A为 n 阶对称矩阵，证明：对于任意n 阶方阵P , P^ P必为对称矩阵 2 ) 如果已知PTAP为 n 阶对称矩阵，问 A是否必为对称矩阵？证 ( 1 ) 因为A是对称矩阵，必有A T= A ( 满足这个条件) ，于是必有( PTA P ) T= PTATP = PTA P这说明PTAP必为对称矩阵。

［ 答疑编号：1 0 0 2 0 2 1 4 针对该题提问］( 2 ) 反之，如果P 'A P 为 n 阶对称矩阵：( P , A P ) T=PTAP,则有PTATP=PTAP,但是矩阵乘法不满足消去律，在矩阵等式两边，未必能把pT和 P消去，所以不能推出AT=A, A未必是对称矩阵［ 答疑编号：1 0 0 2 0 2 1 5 针对该题提问］2.2.6 方阵的行列式由 n 阶方阵A的元素按原来的顺序构成的行列式称为方阵A的行列式，记定义227作国或 d e t ( A )o即，如果. 勾1 勾2 …勾 ;为1 勾2 …月A=则顷1 为2 …顷 月Q | = d e t( a= % l % 2 -为““ 加 / 2 '''期MAF l 21 月 一 1 2 _ 2例如， = 1 _3 4 ］ 的行列式为 R 4=一' : 后 ( 1 ) 矩阵是一个数表，行列式是一个数，二者不能混淆，而且行列式记号d * 卜与矩阵记号“( * ) ” 也不同，不能用错 2 ) 矩阵的行数与列数未必相等，但行列式的行数与列数必须相等 3 ) 当且仅当月 = ( % ) 为 n 阶方阵时，才可取行列式D=M = kjL对于不是方阵的矩阵是不可以取行列式的。

易见，上、 F 三角矩阵的行列式等于它的所有对角线元素的乘积口 囹 = 顷 1 % 2…% n特别，呵 卜 火 嗣 = L010, • • 0… 0. . . ]当 =q例 1 8 设 La2 0 3力 与 2 3 」 且令物|= " 求I必 I［ 答疑编号：1 0 0 2 0 3 0 1 针对该题提问］网 =所以ka2 %陶均kc? 物= " ♦正 ♦立% % =^d由本例可见1空上匕上!一般地旧有 必 上 业I方阵的行列式有如下性质：设 A , B为 n 阶方阵，k为数，则⑴ 网 = 凡(2 ) I处 卜 炉 1 4(3 ) 1回 =1刚 切 行列式乘法规则)(1 ), ( 2 ) 的证明可由方阵行列式的定义及行列式性质直接得到F 1 3 1 「 2 5 'J4= B =例 1 9 设1 2 - 2 」 ，［ 3 4 」 ，则的证明从略［ 答疑编号：1 0 0 2 0 3 0 2 针对该题提问］① 如 :J5|= F② P5 ] [ 1 14 = - 21 72AB =③L= 5 6④.网,=1|-12 127于是得| 圆= 网=56, | 朗B|=（-次-7） =56。

例 20设 A , B同为n 阶方阵如果A B = O , 则由［ 答疑编号：1 0 0 2 0 3 0 3 针对该题提问］|AB| = |4|B|=O知道，必有1川 = 或忸卜” 但未必有A = O 或 B = O 例 2 1 证明：任意奇数阶反对称矩阵的行列式必为零[ 答疑编号：10020304针对该题提问]证：设 A 为 2n-l阶反对称矩阵，则有/ ' = - 4 于是根据行列式性质1和性质2 , 得到H卜卜丁卜卜力| = (T 产 11 牛- 国，= > 2|>1| = 0因为国是数，所以必有国=02 .2 .7 方阵多项式任意给定一个多项式“力=4 / + + 一 +乎 +” 环口任意给定一个n 阶方阵A ,都可以定义一个n 阶方阵f (4)= 4 淤 + 4 ." - 1 + - +叼 / +% 与 ，称 f ( A ) 为 A 的方阵多项式注意：在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵如纵而不是常数为方阵多项式是以多项式形式表示的方阵2r 2 -11f(x) = x2-4jr + 3, A =例 22：设 L-3 4 J , 求 f(A )[ 答疑编号：10020305针对该题提问]解：*4>= /-4 幺+3打,2 -1T 2 -Il F 2 -Il fl O'=-3 4 1 -3 4_|- 4[ -3 4 _ | + 3[O 1.J 7 -61.[8 -4L[3 ° 1- 18 19 J [ -12 16 J [ O 3・ 2 -21- -6 6 1例 23：若人= 8 ( , 其 中= & CT = 证明A/ F = A o B C = C B[ 答疑编号：10020306针对该题提问]证：A4r = (B- O(BT - Cr> (B - C)(B+ C) = B2 + BC- CB- CSA = (Br- CT\B-C)=(B + C)(B-C)= B2-BC + CB-由 A4T = J^ A oB1 + B C - C B - C2= B2- BC + C B - C1c ^ B C - C B = -BC + CBo 2BC =2CBo BC =CB2 . 3 方阵的逆矩阵我们知道，对于任意一个数# 0 , 一定存在惟一的数b , 使 ab=ba=l,这个b 就是a 的倒数，常记为b = a - ) 而且a 与 b 互为倒数。

对于方阵A , 我们可类似地定义它的逆矩阵士 “一 设 A 是一个n 阶方阵若存在一个n 阶方阵B , 使得加=西 = % (其 中 & 是 n定乂 2 3 1 阶单位阵)，(2.5)则称A是可逆矩阵(或非奇异矩阵)， 并称方阵B为 A的逆矩阵 A的逆矩阵记为"I S I U'1 =若 满 足 (2 . 5 )式的方阵B不存在，则称A为不可逆矩阵(或奇异矩阵)由逆矩阵的定义可见若B是 A的逆矩阵则反过来A也是B的逆矩阵即若B =则有力= 短可逆矩阵的基本性质 设 A , B为同阶的可逆方阵，常 数 k / 0 ,则( 1 ) 4 1 为可逆矩阵，且(， 1 尸 = 4(2 ) A 4- 1 = S(3 )(幽 - 1 = 斤 】 人1证 ( 现 团 / 】 )=/ 物 - 】 ) 小 = ( 题 小 =AA^ = E( 曲 - 1 = 8 - 9 - 1推广有3 4 …4 尸 =、 式= A 4 - = E证 kL -1 = *i⑸ ( 万 尸 = (4】 /证/ 0 T ) r = 0 4 ”？= (为 了 = E⑹，)* = (# )"(4 - 1 )无 4 上 ={ATXA)k = Ek = E( # 尸 = ( 4 了(7 )若 A可逆且A B = A C , 则有消去律B = C证：• A5= AC' A~\AB)= JT\AC)(JT1A)B = (A-1A)CEP=EC=>B = C如何判定一个给定方阵是否可逆呢？为了回答这个问题，我们先给出下面的概念。

定义2 . 3 . 2 设月=(/%% 4•为 M l 的元素句的代数余子式( i j = l , 2 , …, n ) , 则矩阵4 i 4 n …4 dA 2 出…4Z2- 4 打 4 ? 2 "*称为A的伴随矩阵，记为I 由伴随矩阵的定义可以看出，在构造A的伴随矩阵时，4•必须放在广中的第j 行第i 列的交叉位 置 匕 也 就 是 说 ，M l 的第i 行元素的代数余子式，构成］的第i 列元素由 1 . 4 节中的定理1 4 1 可得现在我们来证明下面的重要定理 这个定理给出了判定一个n阶方阵是否可逆的一个充要条件，以及方阵可逆时，求出其逆矩阵的一个方法宗 理2 3 2n 阶方阵A为可逆矩阵= 国*°证：必 要 性 设 A是 n阶可逆矩阵，则存在n阶方阵B,使 .=% 由方阵乘积的行列式法则，可得孙 忸 卜 国 | = i , 于是必有Mho充分性设工= （ 囹） 为 n阶方阵且M l * ，构造如下n阶方阵:4 11 1 &冈冈：出A i 4 1出, • 4I2当 ? 2 -AIM. o则 山 （ 2 . 9 ）式可得矩阵等式（ # * ” = » * ，=后 即 =E ,/# * ） =百" =白 价山矩阵可逆的定义可知A是可逆矩阵，而且还得到了求逆矩阵公式I _ _ _ _ _ 巴_推论： 设 A , B均为n阶矩阵， 并 且 满 足 / =/ ， 则 A , B都可逆， 且Jr 】 =B, B-l = A.证：由 四 = & , 可 得 I 花 1 = 1川忸1 = 1 , 因此1 刈 #。

且忸卜°, 故由定理2 . 3 . 2 知 A可逆，B也可逆在 .=见两边左乘41,得S”（ 题=TE二（ 4 1 匀8 = A-1，: B = 4 - I在的= 耳两边右乘斤】 ，得（ 幽= ..ABBT1） = ET1, A = B-^这个推论表明，以后我们验证一个矩阵是另•个矩阵的逆矩阵时， 只需要证明一个等式的 = & 或 为 4 = 豆成立即可，而用不着按定义同时验证两个等式AJa .例 1若 L " ,求/ *［ 答疑编号：1 0 0 2 0 4 0 1 针对该题提问］解：A i = M i = | d | = d An = - M2 1 = - | b | = - 2 ?4 ? = = - 1， | = - C ^22 = 2 2 = W = a& ］ = ( 《 - 竹Lb 〔 - c a,( \ 2 、例如：-L 4,(4 - 2 、解： 1 - 3 1 ；A =\a b'例 2设 < 1 , 当 a , b , c , d满足什么条件时，矩阵A是可逆矩阵？当 A是可逆矩阵时，求出41［ 答疑编号：1 0 0 2 0 4 0 2 针对该题提问］解：A可逆0 网 #。

0 出一6# 0当 A可逆时， M l a d -b c \-c a ,例 1 , 例 2的结果可以作为求二阶方阵的逆矩阵或伴随矩阵的公式例如C1 - 1A = 2 - 1例 3判断矩阵 l T 234-4是否可逆，求出它的逆矩阵［ 答疑编号：1 0 0 2 0 4 0 3 针对该题提问］\A\ = 2解 ( 1 ) 由于 - 1- 1 3 ②+ ( - 2 ) X ① 1- 1 4 ③+ 1 X ① 02 - 4 0- 111= 1 #0故矩阵A可逆 2 ) 逐个求出代数余子式和伴随矩阵:= - 1 4 *= - = - 1以 - 1 - 4 . 5 - 1 2- 4 2 - 1人 工 ］=4 - 1 2于是 H I 1 3 - 1 l .o由上例可以看出，当 n* 时，用伴随矩阵求逆矩阵计算量是很大的，特别是当n%时不宜用伴随矩阵来求逆矩阵例 4设 A为 n阶方阵，则卜1=对 :［ 答疑编号：1 0 0 2 0 4 0 4 针对该题提问］证：由”= 国与知道14H卜 同 二 当 如 时,显然有k l =H产 例 5若N - 4 - 3 E = 0 。

求 A的逆矩阵和A + E 的逆矩阵［ 答疑编号：1 0 0 2 0 4 0 5 针对该题提问］解：(1 ) ■ .­Ai- A - ^ E = 0 : 月2 -/ = 3E“ “〜A -( A-E) = EAiA- S) =3 E ［ 3 ， 」A-1 = E)(2 ) '.'yl2-> 1 -3S = 0 J ^ - A - 2 E = E( A+ F) ( A-2K) = E ( A+ E)-1 = A-2E例 6设 A是 3 阶方阵且M l =5, 求 (1 )⑷(2 ) (力 -⑶ (5 力 -1 ⑷ | ◎力［ 答疑编号：1 0 0 2 0 4 0 6 针对该题提问］解：⑴M卜联=时=2 5(2 V.-AA^\A\E G" = E ，⑷ T =(3)=:⑷" = 巳 ④⑷k" '尸 卜 " ，=&月 小 ― 5 = 盘2 . 4 分块矩阵分块矩阵理论是矩阵理论中的堂要组成部分， 在理论研究和实际应用中， 有时会遇到行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常对矩阵采用分块的方法，即用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块( 子矩阵) ，以子块为元素的形式的的矩阵叫分块矩阵。

1 0 0 2 -1010- 1 3X = 0 0 1 -6 40 0 0例如，设 0 0 0’ 1 0A i = o 1令［ o o,0 0 0AY\ =J 1 0 0 02 00 2」，, 2 -10 =与 & = -1 31 」 ， -6 4」 ，'2 O '=& = 0 2 = 2 *2月=则 A的一个分块矩阵为4 1△1& _ /出2E2这样A可以看成由4个子矩阵（ 子块）为元素组成的矩阵，它是一个分块矩阵分块矩阵的每一行称为一个块行，每一列称为一个块列 上述分块矩阵力= （ 4以 2 中有两个块行、两个块列A i % &心勺令… ? =（ &） *m * n 矩阵月= （ 玲） % ■的分块矩阵的一般形式为 1414…4 一对于同一个矩阵可有不同的分块法 采用不同的分块方法得到的是不同的分块矩阵 对于任意一个m x n 矩阵力= （ %） 於* ,常采用以下两种特殊的分块方法：飞一小％行向量表示法 1%」 ，其中生= 9 1 ， 叼 ， …， 前 ） ，i = l , 2 .... m；g列向量表示法4 = （ 房， 为， 一， 房） ，其中 [%」 ，j = l , 2 , no前者也称为将A按行分块，后者也称为将A按列分块。

可分别得到A的行分块矩阵和列分块矩阵：的A = /一 的 一 ，A =（ 瓦 限 园0 3下面我们介绍4种最常用的分块矩阵的运算 需要特别指出的是， 分块矩阵的所有运算仅仅是前面所讲的矩阵运算换了一种形式的表述方法，而并不是另外定义一种新的矩阵运算.把 m x n 矩阵A和 B作同样的分块:2 .4 .1 分块矩阵的加法l < i < r , l < j < s,则A i+Bn &+%1- 4+%A+B=4 1 + 鸟1 出+ 鸟24 1 + ^ 1 4 2 + 玛2 … 4 + 与x例 1设/ = （ %%， 共 3， 助， 8 = （ % % % ， ） 都是四阶方阵的列向量分块矩阵 已知冈 = 1 和忸1 = - 2 ,求出行列式M+用的值［ 答疑编号：1 0 0 2 0 50 1 针对该题提问］解：根据分块矩阵加法的定义知道，4 + 5 = （ 2 的,2%：2 a 3,£ + y ）A+B的 前 三 列 都 有 公 因 数 2, 利 用 行 列 式 性 质 2, 提出公因数后可以求出卜 + 用 = 2 " （ 的,0 ：2 ， 的,小 + 乃|再利用行列式的性质5 , 把它拆开以后，即可求出卜 + 川 = 2 3« 的 ,共 2 ， 的， 。

， ） 卜 次 | （ 的， 共 2 ， 的,为| + 加口2 ， % 加= 8 （ |小 即 -82 .4 .2 数乘分块矩阵数 k与分块矩阵＜二（ 4 % 的乘积为 ［ H i ,2 - % 一2 . 4 . 3 分块矩阵的转置4&…[ 41 4 24月44 1图:41=(%)sxr则其转置矩阵为式中为. = 《 . ，? = l , 2 , - , s j =l , 2 , - zo分块矩阵转置时，不但看做元素的子块要转置，而且每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置，这一现象不妨称为“ 内外一起转, 1 2 ； 3 4 5 '6」 论_ 9 J 0而 9 折 亍6.5 4 ： 3 2 1 _Ai &A=的 引例 2, 1 6 ； 1 0 52 7 ! 9 4-------卜--------3 8 ; 8 34 9； 7 25 1 0 ； 6 1 _蜀 蜀我们发现：不但每个子矩阵的位置作了转置，而且每个子矩阵的内部也作了转置［ 答疑编号：1 0 0 2 0 5 0 2 针对该题提问］例 3设4= （ 品 为 …， 房） 是一个用列向量表示的m x n 阵，其中每个鸟都是m维列向量,z =隹则 A的转置矩阵是 ［ 南 一2 .4 .4分块矩阵的乘法和分块方阵求逆设矩阵力=（ 玲） … ，8 = （ 与） / * 。

利用分块矩阵计算乘积AB 时，应使左边矩阵A 的列分块方式与右边矩阵B 的行分块方式一致，然后把矩阵的子块当做元素来看待，并且相乘时，A的各子块分别左乘B 的对应的子块行行：•行与％…与％…务必111I•马马…乌》加行行行，12vrmmm£篇>>•一出…小网4&:,霸A=设 A , B 的分块方式分别为其 中 & 为 gx % 矩 幽 = 1 , Z…， 雨 = 1 , 2 , …, ） % 为% X % 矩 摩 £ = 1 , 2 , …,= 1 , 2 ， …， 母且AB= C4 , …， 儿的列数分别等于与， 岛 ， …， 玛•的行数，则其中， = 4％ +人声/ +…+A所用分块矩阵计算A Bo［ 答疑编号：1 0 0 2 0 5 0 4 针对该题提问］解：将矩阵A , B 分块如下：以=1 00 10… 00 0C其中2323-1'0r414飞-1DAB =于是得到E C0 -£D+CF因为13E0C一£olB1 23 00 00 0D400-52104001S2_|,0EYD C E ljD ^ C FE ] [ - M -FC-E14'23_|,435212--140915-4O.一以所例5设A为m x k矩阵，B为k x n矩阵，则AB为m x n矩阵。

若 把B采用列向量表示：R = （ 用， 伤， …, 凡） ，则 西 = 附 风 房 ， …， 房） = （ 砌M房, …M房）A =若 把A采用行向量表示:则特别地，当A B = O时，由 加 =（ / 从， / 居 ， …， 火腐） = 0可得为£ / = 0 6 =1 ， 2 , …, n ）［ 答疑编号：1 0 0 2 0 5 0 5针对该题提问］方阵的特殊分块矩阵主要有以卜三类：（ 凡空白处都是零块）44（ 1 ）为方阵形如］4J的分块矩阵称为分块对角矩阵或准对角矩阵，其中44,…， 4均若 对 某个l < i < r , 4与5不是同阶方阵,设a与印（ i W i W r ）是同阶方阵，则则上面的两个分块对角矩阵不能相乘4（ 3 ）准对角矩阵的逆矩阵若44,…， 4都是可逆矩阵，则分块对角矩阵I4JA4可逆，并且L&A-141A-1用分块矩阵的乘法，容易验证上式成立A1 - 11 - 323例6求矩阵124的逆矩阵［ 答疑编号：1 0 0 2 0 5 0 6针对该题提问］A 一4解：将矩阵A分块，得1A1x4其■4=所以A i & &A ] = & "" 4■形如[ A r .4 iA214•^22友- 4 的分块矩阵分别称为准上三角矩阵和准下三角矩阵。

它们都是分块三角矩阵这里，每个主对角块& * 都必须是方阵，但阶数可以不相同我们不加证明地给出以下重要结论： 上述两类特殊分块矩阵的行列式都是它们的主对角线上各子块的行列式的乘积,Y日冏= n 4 卜 阉 ㈤ …⑷即 i - lM =阿 卜 区 卜 | 阕 = ♦ 料例如，例 6中矩阵A 的行列式为㈠C“ I k - 3 B 2 口 =・2 x l x 4 =- 8（E 町 1 （E例 7 ：验证I B）I 0、 A=- B ] 0E J 并 求 I 0 1 2 、1 3 70 1 00 0 1 ^的逆月T［ 答疑编号：1 0 0 2 0 50 7 针对该题提问］式一 为 +BEO(-B)+EEE 00 E(E 町 j E -B}(E-E+O证：⑴【 £ 八 E ) \pE-k-EO0 1 !3 7 (EA= ......i....... =0 51 0 [O E)⑵【 0 0 衿 1 ,E -BO E00, 口0100- 1-310- 2- 701 >2 . 5 矩阵的初等变换与初等方阵2.5.1 初等变换定 义 2.5.1对一个矩阵A= （ a.） mxn施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（ 列）变换，统称为矩阵的初等变换。

i ）交换A 的某两行（ 列） i i ）用一个非零数K乘 A 的某一 行 （ 列） i i i ）把 A 中某一行（ 列）的 k 倍加到另一行（ 列）上必须注意：矩阵的初等变换与行列式的计算有本质区别，计算行列式是求值过程，前后用等号连接，对矩阵施行初等变换则是变换过程，除恒等变换以外， 一般来说变换前后的两个矩阵是相等的，因此，我们用箭号" t ” 连接变换前后的矩阵，而且不需要将矩阵改号或提取公因数定 义 25 1若矩阵A 经过若干次初等变换变为B, 则称A 与 B等价，记 为 /三 队矩阵之间的等价关系有以下三种性质 1 ）反身性（ 2 ）对 称 性 若 上 三 队 则8三4（ 3 ）传递性 若4三 氏 8三C. 则 /三 U2.5.2 初等方阵引进方程的目的是想用矩阵乘法描述矩阵的初等变换定 义 2 5 3 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵为初等方阵我们对n阶单位矩阵E施行三种初等变换得到以下三类n 阶初等方阵 I ）交换E的第i ,j 两 行 （ 列）（ 槎j ）得到的初等方阵记为（ I I ）用非零常数k乘 E的第i 行 （ 列 ） ，得到的初等方阵记为i 行(A /0 ).冽（ H I ）将 E的第j 行的k倍加到第i 行 上 （ 或第i 列的k倍加到第j 列上）（ i < j ）得到的初等方阵记为， 列 j列将 E的第i 行的k倍加到第j 行 上 （ 或第j 列的k倍加到第i 列上）（ i < j ） , 得到的初等方阵记为以上这些初等方阵中，空白处的元素均为0 。

例如，当 n =4 时0 11 0%®例 1 . 计 算 若（ 1 ） P | 2 A ， (2 ) A P1 2 (3 ) D | (k ) A, (4 ) AD ( (k )(5) TI 2 (k ) A (6 ) AT2 1 (k )［ 答疑编号：1 0 0 2 0 6 0 1 针对该题提问］解：0bA(k ) A =k b(4 ) Aq (k ) =k C(5)' a + k c b + k d⑹ 吗k ）= O（； ：）((ca++kkdh8 k ) A0 1bb01dd小结例1 的结果，有下面的定理定理2 . 5. 1 P g 左 （ 右）乘 A 就是互换A 的第i 行 （ 列）和第j 行 （ 列）D j （ k ）左 （ 右）乘 A 就是用非零数k乘 A 的第i 行 （ 列） 期 （ k ）左乘A 就是把A 中第j 行的k倍加到第i 行上T y （ k ）右乘A 就是把A 中第i 列的k倍加到第j 列上2.5.3矩阵的等价标准形定 理 2.5.2任意一个m x n 矩 阵 A , 一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的m x n 矩阵E 0'_0 0_这是一个分块矩阵，其中E r 为 r 阶单位矩阵，而其余子块都是零块矩阵。

E 0'称L ° ° 」为 A 的等价标准形'2 0 -1 3-A= 1 2 -2 4例 2 求矩阵 L 0 1 3-1」的等价标准形［ 答疑编号：1 0 0 2 0 6 0 2 针对该题提问］» ② 002 - 2 41 3 - 1 0 (-2) x②⑤KX②15 切新(-3) x® S>|X®L0 0010(2)4«乂①(3> (-6) x① I0 00 015 -9所以A 的等价标准形为（ E3, 0） 因为对矩阵A 施行初等行（ 列）变换相当于用对应的初等方阵左（ 右）乘 A , 而初等方阵都是可逆矩阵，若干个可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵，所以定理2 5 2 可以等价地叙述为定理2 5 2 对于任意一个mxn矩阵A, 一定存在m 阶可逆矩阵P 和 n 阶可逆矩阵Q,使得丞00 0取证 根据定理2 5 2 , 假设对A 施行了 s 次初等行变换和t 次初等列变换，得到了 A 的等价标准形，且对应初等行变换的m 阶初等方阵P” P2, ...Ps, 对应初等列变换的n 阶初等方阵为Qi，Q2…QI,则E 0"0 0Ps...P2P|AQiQ2...Qt=L 」令 P=PS...P2P1. Q =QlQ2...Qt，则 P 和 Q 就是满足定理要求的可逆矩阵。

2 .5 .4 用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵任取n 阶可逆阵A , 由定理2 5 3 知一定存在n 阶可逆矩阵P 和 Q , 使得PAQ= \Er r ]匕 [0 0因为A, P 和 Q 都是可逆矩阵，上式左边取行列式，得\PAQ\=\P\-\A\-\Q\^0应01若 Kn,则必有10 ° 」=0 , 从 而 有 创 = ° , 矛 盾 ，因此必有尸n , 从而有PAQ = En上式说明可逆矩阵An的等价标准形是同阶单位方阵En»定理2.5.4 n 阶方阵A 是可逆矩阵的Q存在可逆矩阵P, Q 使得PAQ-En （ 即 A 等价于单位矩阵) Q A可以写成若干个初等方阵的乘积实际上， 若 A可逆， 则只需对A作一系列行初等变换也有PK...P2P|A=E存在可逆阵P ,使 P A = E ，其中 P=PK...P2 P l其中A 」 = P因此，若 将 ( A , E)看作分块矩阵，则有P ( A , E ) = ( P A , P E ) = ( P A , P )所以当PA=E时，P = A 」 ，故有公式( A , E ) 一 ( E , A '1)上面的公式就是用行初等变换法求A 」的根据，上面公式说明，当分块矩阵( A , E )作行初等变换后，当 A变形为E时，则 E变形为A 」 。

具体方法：用初等行变换把n x 2 n 矩 阵 ( A , En)化 为 ( En, A ］ ) ，当 ( A , En)的左半部分化为单位矩阵E n 时， 右半部分就是A 」了，如果前n列不可能化为单位矩阵，则说明A不是可逆矩阵注意：用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换，而且在求出A 」以后，最好验证式子A A 」 =E n ，以避免在计算中可能发生的错误T - 1 3、力=2 - 1 4例 3 . 求 I / 的逆矩阵［ 答疑编号：1 0 0 2 0 6 0 3 针对该题提问］1 0 0,I② + (-2) x①物1 xQ0 0 1 ---------------------------1 0 0①+ ( - l) x ③ o 1 00 0 1- 4 2 - 14-12 = ( E , A '1)3 - 1 1所以结果正确2 . 5 . 5 用矩阵的初等变换求解矩阵方程最常见的方程有以下两类：( 1 )设 A是 n阶可逆矩阵，B 是 n x m 矩阵，求出矩阵X满足A X = B原理：AX=BM = A jAX = A % .: 解X = A 】B如找到n阶可逆矩阵P使 P A = E n ，则 「 =6| ,而且有P ( A , B) = ( P A , P B) = ( En, A- 1B)卜. 式右边矩阵的最后m 列组成的矩阵就是X o方法：用初等行变换把分块矩阵( A , B )化 成 ( E , A / B ) 即:公 式 ( A , B) — ( E , A- ,B )贝 lJ x = A “ B上式说明，在解矩阵方程A x = B 时，看分块矩阵( A , B )的 A变形为E时,则右边的B 变形为解A “ B 。

即解为：x = A1B 21据此艮阿得：X = 22据此即可得:例 4 . 求解矩阵方程［ 答疑编号：1 0 0 2 0 6 0 4 针对该题提问］1 -1-1 2-2 21 1 32 1 - 4 -0 1 2001 0 00 1 00 0 131 2 42 0 -612 2 -520 -6( 2 )设A是n阶可逆矩阵，B是r n x n矩阵，求出矩阵X满足X A = B解：由方程X A = B =XAA」 = BA "解为x = BA」要注意的是，矩阵方程XA=B的解为x = B A」 ，而不可以写成X= A」B因为x 满足 XA=BQ X T 满足 ATXT=BT从而有XT= ( AT) BT= ( BA- 1) T所以，可以先用上述方法求解A T x T = B \再把所得结果X T转置即得所需的* =8 6、( 方法) ：( AT, BT) T ( E n , ( BA1) T)/ . ( AT, BT) — ( E , XT)先求x1再求X例5. 求解矩阵方程：1 0 0 -5-4-9― 0 1 0 4 5 7 =(E ,X ,)0 0 1 - 2 - 2 - 4- 5 - 4 - 9所以X， = 4 5 7 。

从而- 2 - 2 - 4 _- 5 4 - 2 'X = - 4 5 - 2- 9 7 - 4关于矩阵方程的另一种常用求解方法是： 先求出逆矩阵Al然后， 求出AX=B的解X=A'B,或者XA=B的解X=BA」2 . 6矩阵的秩定义2 . 6 . 1在mx n矩阵A中，非零子式的最高阶称为A的秩，记为r ( A ) ,有时也可用秩( A )表 示A的秩所谓非零子式的最高阶数指的是，在所有的不等于零的那些子式中，阶数最高的子式的阶 数 ，例 如 ，当r ( A ) =3时 ，说 明 在A中至少有一个三阶子式不为零，而所有的阶数大于3的子式都等于零例1 .求矩阵-2 -3 8 2-A= 2 12 -2 12_1 3 1 4_的秩［ 答疑编号：1 0 0 2 0 7 0 1针对该题提问］2 -3解 ：容易计算出二阶行列式I 2 1 2=30x0A是一个三行四列的矩阵，把A的三行全部取出，再从其四列中任取三列就可得到一个三阶子式, 共有四个三阶子式，我们 算 出A的所有三阶子式如下:显 然A不 存 在4阶子式，所 以A的不等于零的最高阶子式的阶数2,因 此r ( A ) = 2工0'例2. 显然，L ° ° 」的 秩 序 为r［ 答疑编号：10 0 20 70 2针对该题提问］我们不加证明地给出以下结论：定 理1：对矩阵施行初等变换，不改变矩阵的秩。

推 论 设A为m x n矩 阵 ，P和Q分 别 为m阶 和n阶可逆矩阵，则r ( P A) = r ( A) , r ( AQ ) = r ( A)证 ：因 为 可 逆 矩 阵P和Q都是若干初等方阵的乘积，用初等方阵乘矩阵就是对矩阵施行初等变换， 而初等变换不会改变矩阵的秩， 所以乘可逆矩阵以后， 矩阵的秩一定保持不变n %例3.设求r阶上三角矩阵的秩［ 答疑编号：10020703针对该题提问］Y［j % = a］2 ■ 一 a, w 0 .. =4/ * * , ， a, w 0解：由假设1即 T 的行列式本身就是它的最高阶非零子式，所以r(T ) = r例 4. 设矩阵求矩阵A B的秩［ 答疑编号：10020704针对该题提问］解：由于' 6 - 1 8 '| A| = 4 2 0 = 16 * 00 0 1所以A 是可逆矩阵，取矩阵B 的全部三行和第一、二、三列，得到的三阶子式' 1 0 3'0 5 9 = 1500 0 3_这显然是B 的一个最高阶非零子式，所以r (B) = 3 , 由定理2 6 1 的推论知r ( B ) =3对于一般的矩阵而言，要确定它的非零子式的最高阶数，并非一件容易的事情，但是,对于被称为阶梯形矩阵来说，它的非零子式的最高阶数却是一目了然的。

定义2 6 2 满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵( 1 ) 如果存在全零行( 元素全为零的行) ，则全零行都位于矩阵中非零行( 元素不全为零的行) 的下方；( 2 ) 各非零行中从左边数起的第一个非零元素( 称为主元) 的列指标j 随着行指标的递增而严格增大，( 即各非零行从左边数起第- 个非零数下方各数全为零)m xn阶梯形矩阵的一般形式是'0…0 |旬 ； …** . . . * * …* -0 - - 0 0 …0a功* * …*- . . .T = 0 ••, 0 0 , 00 … 咄* …*0 - - 0 0 - - 0 0 - - 0 0 00 - ­ • 0 0 - - C0 - - - 0 0 - - - 0其中从直观上看，第 i 个非零行从左边数起的第一个非零元素( 即主元) 为ai m 位于a g , 下面的元素必须全为零，显然，T有最高阶非零子式于是r ( T ) = r= " T 中非零行的个数” 因为我们要找出的是T 中的非零行，所以这种阶梯形矩阵应该称为行阶梯形矩阵，不过为了叙述简洁起见，在本课程中，我们就约定用“ 阶梯形矩阵” ，也可简称为阶梯矩阵或者阶梯阵。

如果对矩阵A 施行初等行变换，得到其阶梯形矩阵后，进一步进行初等行变换，将阶梯形矩阵的主元全化为1 , 且这些主元1所在列的其他元素化为零，得到的阶梯形矩阵称为A 的简化行阶梯形矩阵或称为A 的行最简形矩阵，简化行阶梯形矩阵的••般形式为既然矩阵的初等变换不改变其秩，那么只要用初等行变换把任意矩阵A 化成阶梯形矩阵 T,就可求出它的秩：r ( A) = r ( T ) = " T ” 中非零行的行数定理2. 6 . 2对于任意一个非零矩阵，都可以通过初等行变换把它化成阶梯形矩阵定理的证明略去下面用例子具体说明将矩阵化成阶梯形和简化行阶梯形矩阵的方法1A =1例 5. 把0 - 1 1 02 1 3 44 3 - 3 0化成阶梯形矩阵与简化行阶梯形矩阵［ 答疑编号：10 0 20 70 5针对该题提问］1 0 - 1 1 00 - 1 - 1 - 1 - 2②+ ( - 3) x ① © + ( - 1) x ①x Q )_______________________________ 0 2 2 2 40 4 2 - 2 0③ +2X②④+4X@10000-1001 0-1 -20 0-6 -81 01 2340 0记担记为3上述矩阵B就是A的阶梯形矩阵，它有三个“ 台阶” ，而矩阵C是A的简化行阶梯形矩阵。

从上例可以清楚地看出， 简化行阶梯形矩阵与阶梯形矩阵的区别， 简化行阶梯形矩阵的主元素都是1 ,而且除主元1以外，它所在列的其他元素全部被化成了 0例6. 分别求出矩阵■ 1 2 3A= -1 -1 -43 4 11的秩［ 答疑编号：10020706针对该题提问］解：用矩阵的初等行变换将矩阵化成阶梯形矩阵1 2 3A-> 0 1 -10 - 2 24 12 -> 0-4] |_ 02 31 -10 0420阶梯形矩阵'1 2 3 4'0 1 - 1 20 0 0 0_有两个非零行，可见矩阵A的秩r ( A ) = 2 ,同理- 1 3 00 11 10 4 01 - 1 0 32 -> 0 1 113j [ 004123它有三个非零行，所以r ( B) = 3注在求矩阵 的 秩 时 ，可以只用初等行变换，但也可以用初等列变换而且不必化成简化行阶梯形矩阵关于矩阵的秩，有以下结论1)设 A= (a p m *n ,则 r (A ) < m i n {m ,n } «(2) r (AT) = r ( A), 实际上，A与A '中的最高阶非零子式的阶数必相同3) n阶方阵A为可逆矩阵O网 #0 0 « > 1 ) = "所以，可逆矩阵常称为满秩矩阵。

秩为m的m x n矩阵称为行满秩矩阵，秩为n的m xn矩阵称为列满秩矩阵2 . 7矩阵与线性方程组本节简单介绍用矩阵的初等行变换解线性方程组的方法， 并利用矩阵的秩给出齐次线性方程组有非零解的•个判别条件.设n元线性方程组为1丙 + ，2,2 + …+ %、 =瓦，,21再 +22勺 + …=力2， (2 10)P *] X ] + a冠x ? + …白 泡= 5滤 .记与方程2-10相同，所以方程组2-10也可简写为下面的矩阵方程形式A x= b (2.11)其中A叫系数矩阵，x叫未知列向量，b叫常数向量当b尸b 2= ...b m = 0时，方 程(2-10)叫齐次线性方程组当b ” b 2，…b m中有非0数时，方 程(2-10)叫非齐次线性方程组下面的矩阵n ai2 a]x b ]、A = （A,b）= % % …队" 京2… [MM匕 求 ）叫线性方程组（ 2.10）的增广矩阵例1：解线性方程组XJ-XJ + 2石 -x4 = 0,< 3々 -5五2+10均 -7々= 0, （ 1）网+勺 一 2弓+3% = 0.[ 答疑编号：100208 01针对该题提问]解：先用对线性方程组施行线性方程组的初等变换方法来求解。

x 1 一q + 2应 -x4 = 0,②— ③ 〈 x i + 刍- 2X3 + 3X4 = 0,3X1-5X2 +I O23 -7X4 = 0,X j -% 2 + 2均-x4 = 0,②+ （ - 1） X①< - 4弓+45= 0,③+ （ - 3 ） X ① 一2与 +4弓 一 缶 =0,工1 一 工2 + 2均-彳4 = 0，③+ 1 X ②< 2勺 -4弓+ 4勺 =0,0 = 0,勺一电+ 2弓 -x4 = 0,l x ② （ 与 -2x3+25 = ， （ 2）2 [ 0= 0,x I + /= 0,①+1X ②< % j - 2X3 +2X4 = 0, ⑶0= 0,形 如（ 2）的方程组称为阶梯形方程组，形 如（ 3）的方程组称为简化的阶梯形方程组方 程 组（ 2）和（ 3）都与方程组（ 1）同解，方 程 组（ 3）实际上由两个方程构成，它 含4个未知量， 其中必有两个未知量可以自由取值可以自山取值的未知量叫做自由未知量不妨取X 3/ 4为自由未知数，解出X 1, X 2后有々=(4)x2 = 2X3 - 2 飞每当X 3, X 4任意取定一组值，代人上式就得到方程组的一个解，故方程组有无穷多个解。

卜面用矩阵的初等行变换求解方程组（ 1） ,对系数矩阵施行初等行变换，其过程可与上面的消元过程一一对照q -i③+ 1 X0 0 2f10 02 - 1、-4 40 O,(\ -1 2 - 1、l x ② 0 1 -2 2--0 0 0,(2)’ 1 0①+ 1 X ②0 1(0 00 1、- 2 2 = B (3)0 0,矩阵B对应的方程组为=0 ，X2-2XS+2X4=0A = 一%X2=2XS-2X4它与方程组（ 1）同解，称这个表达式为方程组（ 1）的一般解，其 中 X 3, X 4为自由未知量用消元法求解线性方程组的过程， 实际上就是用线性方程组的初等变换简化方程组的系数的过程，由此达到消去若干未知量的目的，对照上面两种求解方法，我们看出，线性方程组的每一种初等变换恰与其系数矩阵的同一种初等行变换对应， 例如， “ 交换两个方程''的变换对应其系数矩阵“ 交换两个对应行” 的初等行变换，另两种变换也类似另一方面也可看出， “ 阶梯形方程组（ 2） ” 的系数矩阵就是方程组（ 1）的系数矩阵的“ 行阶梯形矩阵（ 2 ） *” ，“ 简化的阶梯形方程组（ 3） ” 的系数矩阵就是方程组（ 1）的系数矩阵的“ 简化行阶梯形矩阵这说明在求解齐次线性方程组时， 可利用矩阵的初等行变换， 将其系数矩阵化为简化行阶梯矩阵，得出易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解。

对于非齐次线性方程组,我们可以利用矩阵的初等行变换把它的增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程的解例 2：解线性方程组：演 4- 2X2 - 2X3 = 4,,2x j -Xj=- 3,X2+3X3=-1.［ 答疑编号：1 0 0 20 8 0 2针对该题提问］解：化线性方程组的增广矩阵为行最简形矩阵：(\x ③一1 0- 2 ： 4、3 ①+ 2 X ③1 ： - l j ② + ( —3)q0< 02 0 ： 2、1 0 ； 20 I f210'1 0 0」2、① + (- 2) X ② 0 1 0 ； 2 = B.------► [o 0 I f山增广矩阵的简化行阶梯形矩阵B 对应的同解方程为为 = - 2x2 = 2. 弓= 一1所以方程组有唯一解X1 = - 2, X2=2, X3= —1例 3：解线性方程组:一 / 一 4X2 + 弓=1- x2- x3 =1网+ 3句- 2/ = 0［ 答疑编号：1 0 0 20 8 0 3针对该题提问］解：把线性方程组的增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵:H 4-^ 0-1、0 0一 ” 一 “ f1- 1 ； 1 7 00: 0 J (o0 £ 3、1 10 。

必由简化行阶梯形矩阵可得等价的方程组:X1 = 一 工 ? - 1取 X3为自由未知量，可知方程组有无穷多个解，上式就是所给方程组的一般解下面利用矩阵的秩给出齐次线性方程组有非零解的充分必要条件定理2.7.1 n 元齐次线方程组Ax=O有非零解的充分必要条件是系数矩阵A= (aij) mxn的秩 r (A)

5 ) 若 A B =E ,贝 I 」 B=A“,A=B”(6 ) 矩阵的三种初等变换：① 某 行 (列 )乘 非 0 数 k② 两 行(列)互换③ 一 行 (列 )加 减 它 行 (列 )的 k 倍初等矩阵，由 E 只做一次初等变换生成的矩阵 7 ) 矩阵的秩：表示A 中不为0 的子式最高阶数 8 ) 若一 初等变筏B就说A 与 B 等价若 ， 初等变换就说^ 是A的等价标准形(矩阵)(二 )重要结论和公式(1) A+B=B+A,但 AB与 BA可能不相等2) AB=O时，有可能A并 且 即 0AB=AC有可能B/C.⑶ AA* = A*A = |A|£“ A|HO 时其中 1工 1 « 4" " Ass .!特别情形① 4 = 卜(A 0 Y1 0、② = ,( 0」(0 B-1)c(E 5 Y1 (E - B ^ f E O Y13 [ o E)={0 E J 及1E\ =( 4 ) 若 y (A) = n ,则有(A 国行初等变换( £ 4 】 )可以用行初等更换求ALf E 0 )-B B)1A.(5) (AB) T=BTAT, (AB) (AT) T=A, (A") ”=A, (kA) -W\AB\=\A\\B\MWIAIM♦ 卜甲W|=|4( 7 ) 矩阵经过初等变换不改变它的秩。

・ «< o j则有 Y (A) =r»(三 )重点(1 )求 A B(2)求 A」(3)解 矩 阵 方 程 A X= B XA = B(Er *'(吁0 0( 4 ) 用矩阵的行初等变换解线性方程组 1 U U ,本章作业教材47 页 习 题 2. 21 . 23. 4. 5 (1 ) 6 . 7 . 8 . 1 0 . 1 1 . 1 2, (1 ) (2) (3) ( 4 ) .5 3页 习 题2. 32. 3. 4提示；若 由A ? = A两边乘A "5 , (1 ) (2) . 7 . 8 . 9. 提示,(A +E) (A - E) = 0 双 方 乘(A +E)6 1页 习 题2. 41 . 2. 3 (1 ) (2) (3)7 0页 习 题2. 51 , (1 ) (2)2, (1 ) (3) (4)(用两种方法)3, (1 ) (2) . . 4 .7 5页 习 题2. 61 , (1 ) (2) (3) (4)37 9页 习 题1 . 71 . (1 ) (2) (3) (4)2. (1 ) (2),第 三 章 向 量 空 间3.1 n 维向量概念及其线性运算3.1.1 n 维向量及其线性运算下面我们给出n维向量的概念。

定 义3. 1. 1由n个 数a 1，a ? ,. . 为组 成 的 有 序 数 组a2, . . . an)称为一个n维向量，数 比称为该向量的第i个 分 量( i = l , 2，…，n )向量的维数指的是向量中的分量个数向量可以写成一 行 :( a p a2, . . . ? an) ；也可以写成一列:D前者称为行向量，后者称为列向量，列向量也可以写成( a ” a 2, …a 0) T的形式今后，我们将用小写黑体字母…来表示向量，用带下标的白体字母却，卜，xi ( y i . . . .来表示向量的分量行向量与列向量是有区别的，一个行向量与一个列向量即使对应的分量相等，也不能把它们等同起来例如，a = (1,2)与尸=是两个不同的向量，另外,2由于向量定义为有序数组，那么向量与数组中数的次序有关例 如(1, 2) # (2, Don维向量还可以用矩阵方法进行定义， 一个n维向量就直接定义为•个" n矩阵a=(a”a2， ..., )°Mb2£ = ：一个n维列向量就定义为一个nxl矩阵既然向量又是一种特殊的矩阵， 则向量相等、 零向量、 负向量的定义及向量运算的定义，自然都应与矩阵的相应的定义一致。

定义3 .1 .2所有分量都是零的n维向量称为n维零向量，零向量记作0= (0, 0, ...0)o注意：不同维数的零向量是不相等的［ 把向量a=(ai， a2, an)的各个分量都取相反数组成的向量，称为a的负向量，记作—a= ( 一a］ ，—a2, —an)o定义3.1.3如果n维向量a= (a . a2, an)与n维向量p= (bp b2, ...bn)的对应分量都相等，即3=bi (i=l, 2, n ) ,则称向量a与p相等，记作a=p定义 3.L4 ( 向量的加法) 设 n 维向量 a= (aP a2, ...» an), p= (bp b2, ...bn) ,则 a 与 的和是向量 a+0= (aj+bj» 32+62， ...an+bn)o利用负向量的概念，可以定义向量的减法：a-|3= a+ (-0) = (a］ ・b］ ，az-b2, .. .an-bn) o定 义3.1.5 ( 数与向量的乘法) 设a= (ap a2, an)是一个n维向量，k为一个数，则数k与a的乘积称为数乘向量，筒称为数乘，记作k a ,并且ka= k(a” a2, ...an) = (kapk(X 2，…ka„)。

我们约定：对于任意实数k以及任意的n维向量a ,都有ka=ak以上是就行向量的情形，定义了向量的加法、减法和数乘运算，对列向量的情形可完全类似地定义向量的加法、减法和数乘运算向量的加法运算及数乘运算统称为向量的线性运算，这是向量最基本的运算向量的运算满足下列8条运算律：设a, 0, 丫都是n维向量，k, 1是数，贝U(1) a+B=B+a；( 加法交换律)(2) (a+p) +y=a+ ( P+y)；( 加法结合律)(3) a+ 0= a；(4) a+ (—a) =0(5) lxa=a；(6) k (a+p) =ka+kp；( 数乘分配律)(7) (k+1) a=ka+la；( 数乘分配律)(8) (kl) a=k (la)o ( 数乘向量结合律)3 .1 .2 向量的线性组合L向量的现行组合例 1：设 a= (2, 1, 3), ［3= (―1, 3, 6), y= (2, —1, 4 ) ,求向量 2a+3 一丫 ［ 答疑编号：10030101针对该题提问］解：2a+3 一y=2 (2, 1, 3) +3 (— 1, 3, 6) — (2, —1, 4)= ( 4 , 2, 6 ) + ( -3, 9 , 18 ) - ( 2, -1, 4 )= ( -1, 12, 20)例 2： a = ( 4 , 5 ) , 「 = ( -1, -2) , 求向量 a + 30。

[ 答疑编号：10030102针对该题提问]解：a + 3 忏 ( 4 , 5 ) + 3 ( -1, -2)=( 4 , 5 ) + ( -3, -6 )=(1, -1)， 以11以12… %、例 3 , 矩阵 \awl aw2… 旅J［ 答疑编号：10030103针对该题提问］%A="% ，则 ( 1) A按行分块时，可得 得到一个行向量组a ” a2,JVI1 c(i= (3] p a )2 > … a ] n )， ct 2 ~ (a 2 1 . a 2 2 … ,a2n) , … ， ctm— (a m i ， am2 ， ...amn)o简写作：o t i = ( a i i ，a ：2…，ai n) , ( i = l , 2. . . m )( 2) 矩阵A按列分块时，可得A=( d , 限 …P n ) ，得到一个列向量组d，如…0n ，其%4 =了 ( i = l , -n )简写作 ( 4 J ：定义 向量组 5=( 1, 0, 0, . . . 0) , w=( 0, 1, 0. . . 0) , . . . £n= ( 0, 0, 其中每一个向量只有一个分量为1 , 其余分量为0 ,叫标准单位向量组。

显然，任何一个向量都可以表示为标准单位向量组的线性组合，例如若a = ( a , , a2, . . . an) , 则有a = a 同+ a 23+…斯 知2 . 向量的线性表出关系例 4 ： ( 1 ) 因 为 ( 2, 4 , 6 ) = 2( 1, 2, 3, ) , 所以( 2, 4 , 6 ) 可用 a = ( 1, 2, 3)线性表出：B = 2 a , 但丫= ( 2, 4 , 5 ) 不能用a = ( 1, 2, 3 ) 线性表出［ 答疑编号：10030104 针对该题提问］( 2 ) 因 为 ( 5 , 10, 15 ) = ( 1, 2, 3) + 2 ( 2, 4 , 6 ) , 所 以 尸 ( 5 , 10, 15 ) 可用 a=(1, 2, 3) , 0 = ( 2, 4 , 6 ) 线性表出：y = a + 2 B ［ 答疑编号：10030105 针对该题提问］3 . 线性组合的矩阵表示法为了充分利用矩阵来研究向量之间的关系，我们要引进线性组合的矩阵表示法向量B = ( b ( , b2, . . . an l) , 可用向量组C t ] 一 ( a " ，32] » …a ” [ ) ， • • • ) C tm - ( a i m ，32m , …a n m ，线性表H ；的充分必要条件是存在m个数k| , k 2 ,…％ 使得k]( X [+ k2( X 2 +…km Ol m邛 ( 3 . 1 )利用向量的线性运算，( 3 . 1 )式可以写成如下的m元线性方程组：%丙 + % 芥2 + • • += 瓦 ,＜以 + 白22与+ . • • +% % =瓦＞ 62)再 + ax2^2 + …axjft^w = 4，那么，存在m个数k” k 2 ,…％ 使 得( 3 . 1 )式成立当且仅当方程组( 3 . 2)有解。

构造n x m矩阵A= ( aP a2, 并令x = ( xP x2, . . . xm) T,根据分块矩阵的乘法规则，方 程 组( 3 . 2)可写成矩阵形式：' 再、x i s + x 2a 2+…+ X m Om = ( a p a2, . . . am) \x" / 或简写成 A X邛于是满足( 3 . 1 )式的表出系数k1 , k2, …km就是线性方程组A x = B的解若方程组( 3 . 2)有惟一解，则表明可用8, a 2 , …0m线性表出，且表示法是惟一的.若方程组( 3 . 2)有无穷多解，则表明P可用S，a 2 ,…% , 线性表出，且表示法不惟一.若方程组( 3 . 2)无解，则表明P不能用四，( X 2，…％, 线性表出如果a ” a 2, 和P都 是n维行向量，此忖必须构造n ' m矩阵人=(d，可 ， …片 ) ，即把所给的行向量全部转置成列向量再依次存放构造出矩阵A,则上1%+匕 % +…踪/ = £)^ 1=右d +&o f +… + 底 比 =成 立 Q 工x = 有解与方程组3 . 2相同4. 表出系数求法举例例 5 问 p= ( - 1 , 1 , 5 ) , 能否表示成 a i = ( 1 , 2, 3 ) , ，a2= ( 0 , 1 , 4 ) T, a3= ( 2, 3 , 6 ) 1的线性组合？[答疑编号：1 0 0 3 0 1 0 6针对该题提问]解设线性方程组为XiCti+X2a2+X3(X3=BB能否表示成a ” a 2, a . 3的线性组合，取决于该方程是否有解，对它的增广矩阵施行行初等变换，得(\(j,£ ) = ( % 的 , % £ ) = 2,13H 0T 0 1、 0 4,1 0T 0 110 02( \ o-1； 3 - 00 : 8 j 102(\-1； 3 - 0100100 2-1、1 3： 14 6.；5 )2 ：- r-1； 34：4>0： 1、0； 2 =(T,d).I f显然，xiai+x2a2+ X3a3= p的同解方程组Tx=d就是X ] = 1 ,< x? = 2,工 3=-1.它的惟一的解就是X]=1,X2=2,X3=・1,所 以 P 可以惟一地表示成ai,a2,a3的线性组合，且 p= ai+ 2 a2—a3例 6 问 P= (4,5,5)能否表示成 a1=(1,2,3) ，«2=( -1,1,4), a3= (3,3,2)的线性组合?[答疑编号：10030107针对该题提问]解：考察线性方程组再 用 + x2a[ + x3a[ =用矩阵的初等行变换化简方程组的增广矩阵:d 寓,W E)= 21 34 - 0 34 2:5) [o 73⑷-3：-3-1 3避、(\ -1U -1T 0 10314、 ( \-1：- 1 — > 00 ： 0 J 100 2⑶1 — 1：- 10 0 ； 0;方程组的同解方程组为占= 3-2程x2= -l + x3.取 X3=k,则有 0= (3-2k)四+ (k-1) a2+ka3, k 可任意取值。

3 . 2 线性相关与线性无关定义3 .2 .1 设 a” a2, ...» 5 是 m 个 n 维向量，如果存在m 个不全为零数k], k2,使得 k) ai+ k2a2+...kmam=0o则称向量组卬 2 ,…am线性相关， 称 k], k2,…km为相关系数, 否则, 称向量组四， 2 ,…0m线性无关即只有k|=k2=...km= 0 ,才能使k[ di+ k2a2...kmam= 0 o 就说向量组线性无关根据向量组线性相关性定义，可以直接有下面结论( 1 )含有零向量的向量组一定线性相关例如：m个向量为5 , ( X 2,…，Om . p Oo必有 0 a , + 0 a 2+ . . . + 0 am. | +1 x 0 = 0所以a ” a 2…，a m」 ,0线性相关 2) •个向量生成的向量组a线性相关O a=0证：①充分性，若a线性相关，按定义，存在k# )使ka = o = & = 0②必要性，若a = 0 ,则 有l x a = l /0 = 0••. a = 0必线性相关 3 )两个向量的向量组a , 0线性相关O a与 的分量成比例。

证：①若a与 线性相关设 a = ( a p a2, . . . an) , p= ( b p b 2, . . . bn)则存在k, 1不全为0,有ka + i p= 0 .不 妨 假 设t+ a = - L Bk则有％ = - 匕瓦,a2 = - y b2)- y baK K Kt Z j - k b Y， 容2 = ^^2, a * =则 有3 , a ? , …% )= 后( 自由， …幻:.a = k/3= 0,­, & 与 £ 线 性 相 关例 1 说明标准单位向量组 £ 产( 1 , 0 , 0 , . . . 0 ) , £ 2= ( 0 , 1 , 0 , . . . 0 ) , . . . £ n = ( 0 , 0 , 0 , . .」)一定线性无关［ 答疑编号：1 0 0 3 0 1 0 8针对该题提问］解：若用马+用邑+… + %鼻= 0=的 用 ， …幻 = ( 0 , 0 , …0 )— y = k、 ­ * ■ — = 0… J , 线性无关.例2问向量组6 = ( 2 , 3 , 1 ) , a2= ( 1 , 2 , 1 ) , a3= ( 3 , 2 , 1 )是否线性相关?［ 答疑编号：1 0 0 3 0 1 0 9针对该题提问］解 设 X iO t | +X 2 a 2 +* 3。

3 = 0 ,即X 1 ( 2 , 3 , 1 ) +X 2 ( 1 , 2 , 1 ) +X 3 ( 3 , 2 , 1 ) = ( 0 , 0 , 0 )令等式两边的三个分量分别相等，就可以列出组合系数满足的线性方程组2々+为2 + 3尤3 =, 3 4 +2X2 +2X3 = 0 ,X j 4- x2 4- x3 = 0 .因为它的系数行列式0 .所以此线性方程组只有零解，这 说 明 a2, a 3 线性无关例 3 讨论向量组a 理 ( 1 , 1 , 2 ) , a2= ( 1 , 2 , 4) , a3= ( 2 , 3 , 6) 的线性相关性［ 答疑编号：1 0 0 3 0 1 1 0 针对该题提问］解：设再％+勺％ +看 ％ = 00 x】 (L L 2 )+ 叼( L 2 , 4) + 弓( 2 , 3 , 6) = ( 0 , 0 , 0 )Q (片 +马 + 2看， 再+2马+3号，2公+4今+6马)=( 0 , 0 , 0 )五 +马 + 2弓= 0Q < 再 + 2X2 + 3弓 =02再 + 4々+ 6弓=012) (112、2 3 © +( - 1 ) ( ^ 0 1 10 oj 1 0 0 0 ,.同解方^ 为『 + 药 = , = ［ 々=g + % = 0 ［ 盯 =q =1, — z 百= 一 1, X2 = - 1.所以有所以0V %, % 线性相关例 4若 S , a 2 , a 3 线性无关，证明以下向量组线性无关：p, = a2+a3, p2= a i+a3, p3 = a , +a2［ 答疑编号：1 0 0 3 0 1 1 1 针对该题提问］证 设 1 < 0 +1 < 2 。

2 +1 < 3 3 = 0 , 将已知条件代入得k ］ ( a2+a 3 ) + k2 ( a j+a j) + k y ( ot i+a 2 ) = 0把它整理后可得( k2+ k3) a ［ + ( k j+ k3) «2+( k ］ + k2) 3 = 0因为四, 0 1 2 , 3 线性无关，必有k2+k 3 = 0 , k | +k3= 0 , k i+k2= 0 ,把它们相加得到2 ( k j +k2+ k3) = 0 , 据此得k i= k2= k3= 0 , 这就证明了由， 限仇线性无关两个重要结论:( 1 ) n个 n维 列 向 量 …%，线性无关O 矩阵A = ( a i, a2, . - - an)的行列式1 4 1 ( % % • • 、 / ) 0.因为齐次线性方程组A 传0 只有零解当且仅当国# 0( 2 ) 当 m > n 时，m个 n维列向量a im , …% 一定线性相关这是由于当m > n 时，齐次线性方程组A x = 0 中的变量个数m大于方程个数n , 它必有可以任意取值的自由变量，因此，它必有非零解例 5因为-1 3 12 1 0 = 0 ,1 4 1所以下面的两个向量组都是线性相关组:(-1,3,1),(2,1,0),(1,4,1)和因为2 3 0-1 4 0 = 2 2 ^0 ,0 0 2所以下面的两个向量组都为线性无关组:(2,3,0),(—1,4,0),。

0,2)和这就是说，若方阵的行列式等于零，则它的行向量组和列向量组都线性相关；若方阵的行列式不为零，则它的行向量组和列向量组都线性无关［ 答疑编号：1 0 0 3 0 1 1 2 针对该题提问］例 6 向量组5( 1 , 2 , 1 ) , a2 ( 1 , 1 , 0 ) , a3 ( 1 , 0 , 1 ) , a4 ( 1 , 2 , 3 ) 一定线性无关［ 答疑编号：1 0 0 3 0 1 1 3 针对该题提问］原因是向量个数m > 分量个数n , 其中m = 4, n = 3 , 所以一定线性相关3 . 2 . 3 线性相关性的若干基本定理定理3 2 1m个 n维向量%%％( m 2 2 ) 线性相关= 至少存在某个阳是其余向量的线性组合，即,( m > 2 ) 线性无关= 任意一个，都不能表示为其余向量的线性组合证： < = 设线性相关，则存在不全为零的数月， &， …， ％ ,使月的+无2 % + …+ %a泡= 0不妨设联和，则有4 = - 7- (由“ 1 +…+= 如果存在某个% 是其余向量的线性组合，则存在不全为零的数，使月的 +尢2 % + …+ %% = 0 ,从而％ 叫 …,5 ( m N 2 ) 一定线性相关。

定理3 . 2 . 2如 果 向 量 组 % %/、% 线性无关，而添加一个同维向量£后所得到的向量组% 知 …外,小线性相关，则£可 以 用 % 与， 、% 线性表出，且表示法是惟一的证可表性因为小，%的 ， 、% 为线性相关组，所以存在不全为零的m+ l个 数k ,月， &， …， h 使得后,+ 月+ …+ 4 % = 0如果k = 0 ,则比口号「 'h不全为零，且屁的+无2 % + …+ &a泡 = ° 这与的, 也,…,5为线性无关组的假设矛盾所以必有修0,于是得到线性表出式0=咚 ，々% ----K K 町 ,即小可由向量组% 啊- ) 4线性表出惟一性：如果有两个线性表出式,二月内 + 坛 %+ …+%01 K = 11ai +4a2+…+ 'a m则有( 即- & 泗 +( 3 - 4)叼 + …+ & -5 * = 0因为% % ， …， 5线性无关，必有1-Pq1-1、q0o'q00、（ of, of,城） =1 11 225->000136000100-»001001< 3 30,<003 ；<00b<000;易知方程①仅当％ = & = & =0时成立，从而月的+尢2 & 2 +&的= 0仅当无1 = & =&=0时成立。

定 理3 . 2 . 3设%%…， % 为 线 性 相 关 组 ，则任意扩充后的同维向量组% % …， 时 ，4+1 ， …， ％+，必为线性相关组证 明 因 为 ％ 为线性相关组，所以存在不全为零的数即与， …， 〈 使得月的+尢 2%+ •+ /&；« =0此时，当然有月的 +无2% + …+% % +o a m+1+0-支 M2+...+0- a m+r=0.这说明知 的 ， …，5，％+1，…， 4+＞必为线性相关组我们常把定是3.2.3简述为“相关组的扩充向量组必为相关组” ，或者“ 部分相关，整体必相关“ 它的等价说法是“ 无关组的子向量组必为无关组” 或者“ 整体无关，部分必无关” 定 理 3 2 4 设有两个向量组，它们的前n 个分量对应相等：% =（41，42 4%） ， । = L2,…，m,腐 ■ =（4，1，%?4, 疗 1） ，= L 2,…,m,如果瓦， 伤， …， 房, 为线性相关组，则%%…， % 必 为 线 性 相 关 组证 明 因 为 瓦 ， 伤， …， 热为线性相关组，所以一定存在不全为零的数使得月 瓦 + 历仇+ …+ & A =°写出所有的分量就是月（"11，” 12,…， 不 ， “ 5+1）+ 比 2（“ 21，” 22,…， 的肥 ” 2加 1）+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= （ 0, 0, 0, 0）上 式 中 是 用 ki （ i= l, 2, ...，m）乘右边向量的每个分量后，按列相加。

那么上式等价于下述n+1个等式有非0 解用 &11+%&乳 + …+ = 口| 瓦 口 加 十 %&2行+ …+ 舞=0,［ 从 1 为 或 +1+%&2，?^1+一 •十 号 》 3》 加1 = 0当然减少最后一个方程的线性方程组{M il + % 与 1 + …+无 ㈱ = 0••••••fc1a1„+fc2a2„+ -- + kM£?M„ =0一定有非0 解 ，从 而 % 的 ， 一， ％线性相关我 们把向量组向， 用， …， 为 称 为 向 量 组 % % ， …， %的“ 接 长 ” 向量 组 ；而把向量组%， 叫 …， % 称 为 向 量 组 反 ， 为， …， 热 的 “ 截短” 向量组定理3.2 .4 可以简述为“ 相关组的截短向量组必为相关组” ， 它的等价说法是“ 无关组的接长向量组必为无关组注 意 (1 )扩充是指向量维数(即向量中分量个数)不变，仅是向量个数增减，接长或截短是指向量个数不变，仅是向量维数增减2 )接长或截短必须在相应分量上进行但未必限于首、尾分量，可以在任意相应分量上进行接长或截短，而且增减分量个数也可多于一个例如，(1 , 0 , 0 ), (0 , 1 , 0 ), (0 , 0 , 1 ) 为线性无关的3 维向量组。

则接长向量组(1 , 2 , 1 , 0 , 0 ), (2 , 3, 0 , 1 , 0 ), (4 , 0 , 0 , 0 , 1 ) 也是线性无关向量组3 . 3 向量组的秩3.3.1 向量组的极大线性无关组定义一：若向量组…/｝ ， $ = ｛ 瓦, 防…A｝ , R中每一个向量，都可以由向量组$ = ｛ 房 后 …， 孔｝ 线性表示，反过来，向量组S中每一个向量房都可由向量组夫= 出" 2 一, 『｝线性表示即向量组R与向量组S能互相线性表示，就说向量组R与向量组S等价很明显，若向量组R与向量组S等价，且向量组S与向量组T等价，则向量组R与向量组T等价，即等价有传递性定义二若向量组T存在一个部分组% 与， …% 满足条件(1)线性无关( 2 ) 向量组T中任何一个向量/ 都可由%的 ， …% 线 性 表 示 就说向量组小 %， …% 是 向 量 组 T的一个最(极)大线性无关组例如: 在二维向量空间R⑵中，/=&叽0= 1 )是 R⑵的一个最大线性无关组.的 = (!1 ),%= (0 ,1 )也是它的最大无关组，原因是% % 线性无关，任何一个二维向量,= 3b ) = a a i +@ -a )a 2 ,可见一个向量组的最大无关组可有多种。

若是向量组T 的一个最大无关组，很 明 显 T 中任何一个向量? 均可以由表示， 反过来因为的=%心 =因， …, % =% ， 所以T的最大无关组% 与， …% 也可以由T线性表示所以任何一个向量组均与其最大无关组等价，有下面定理定理：( 1 ) 向量组T与其最大无关组S等价( 2 ) 向量组T的任何两个最大无关组等价下面我们不加证明地介绍定理定理：若向量组R = ｛ a ] © 2 , …， •｝ ， $=｛ 耳, 方…比｝ 满足(1 )向量组R与向量组S都是线性无关组2 )向量组R与向量组S等价则 有r = s本定理证明两个等价的线性无关向量组含有向量个数相等推论：向量组T的任意两个最大无关组包含的向量个数相等3 . 3 . 2 向量组的秩定义：向量组T的最大无关组的向量个数叫向量组T的秩，记作r (T )例如:在全体三维向量组成的向量组R⑶中，£ | = (1 , 0, 0), £ 2 = (O, 1 , 0) e3= (0, 0, 1 )是一个最大无关组，. . . r (R ⑶)= 3又例如：向量组r = (，, % ,内),其中的=(1 , 1 , 0), %= (0, 1 , 1 ) %=(1 , 2 , 1 )中，的+ 叼线性无关，且& 3 = (% + & 2 ), . •/ (T ) = 23 . 3 . 3 矩阵的行秩，列秩'勾1 al2…q " '工 = 叼1 % 2…叼 力若 \ ^ « 1(的)则A按行分块有 也 .其中的=(£ JJ I，, 的 =(° 2 1 ，叼2 …， ” 2 > ! )， * « 加=…当A按列分块时有时定义：矩 阵A的分块行向量组的秩叫矩阵A的行秩矩阵A的分块列向量组的秩叫矩阵A的列秩。

由于矩阵A经过行初等变换后生成的行向量组与原行向量组等价，故秩不变下面不加证明的引进定理定理：矩阵A经过初等变换不改变它的行秩和列秩的大小定理：矩阵的行秩，列秩及矩阵的秩相等，而 矩 阵A的行秩= 矩 阵A的列秩= 矩 阵A的秩 由于矩阵的三种秩大小相同，今后我们不加区别地一律叫矩阵A的秩，记 作r ( A )推 论 若 < %)则有( 1 ) r ( A ) = n时 ，向量组线性无关 2 ) r ( A ) < n时 ，向 量 组 %的 线 性 相 关 证 明( 1 )与r ( A ) = n时 ，A的 列 向 量 组 的 最 大 无 关 组 就 是 % 的 ， …， % 本 身. •. % 因， …， 吗线性无关( 2 )当r ( A ) < n时 ，的最大无关组的向量个数r < n/， 的， …， 吗线性相关3 . 3 . 4求 向量组的， ％， …， 叫的秩的方法引 进 矩 阵 人 = ( % % 、%)*J4— >将A作行初等变换㈤1 00则 r （ %的 ，' ， % ） = r若r = n ,则 知 的 ， …， % 线 性 无 关若r < n ,则%的线性相关的例1若0， 的3“ 、B= 3判 别 知 顼 ， 的 是 否 线 性 无 关 ，并将1 1 1 1表示为丐， 囱，0 ：3的线性组合。

［ 答疑编号：1 0 0 3 0 3 0 1针对该题提问］解 法 一 ：分两步(- ) 第 一 步 判 别 向 量 组 是 否 线 性 无 关/ = ( 的的的)（\1 1、0 22 5 ,a 1 1、0 -1 1< o Q W->' 10、00-102、1->o*0-100、0b' 10、0o100、0b电Vr (A) =3. •. % % 卬 3线性无关（ 二）第 二 步 将£表示为陶与卬3的线性组合设外为+ b 的 + 与 均 = /个1 勺+即⑵0aX ? + 2 133J b,相应的线性方程组的增广矩阵为A =4114、1 0 2 3、 2 2 5 11,1-101 41 -13 3o<01-114、1LJ0 3、0 21 I1、2b0/110o< 0110o*010001/ .X |= l , X2=2, X3=1・ g=的 + 2 % + %从上面的解题过程中可以看出，=（ 4 匕 ） = （ %叼 ， %， ⑸因此可以将两步合并进行解 法 二 取”= 应 必 , 啊 , £ ）4、3 11 o、 2 2'10<01、2*Vr (A) =3125->010001. ・ . % % , 内线性无关 且P=1的 + 2与 +1% = 丐 + 2% + %例 2 求出下面列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量表示为该极大线性无关［ 答疑编号：10030302针对该题提问］解 （ 一） 以所有向量为列向量形成4x4矩阵，然后用初等行变换把矩阵化成简化行阶梯形矩阵。

<=（ 为， 的 ， 的 ， 心 ）111112341491613713->10001123138151261210000100-2326-122610000100-2320-1220由于 r (A) =3,所以% 生, 共3卬4的最大无关组的向量个数为3个由于行列式10U0 -21 30 2它的伸长向量组2#00,所以向量组(- ) 设7 = & 的 + 与 % + % ％@ (-2y1 ,310J UI I 2 J线性无关也线性无关它们对应的向量组% 也线性无关n方程组fcj +后 +%=1即 +2% +4 无3 = 3即+3悠+9坛=7网+4悠+16无3 = 13A =q11123414916137137a00、01123138151、26⑵oo、 口11001326p226」q00<0110013101、21oo, 口110000100、-110,， 100、0010000101、-11/.k |= l, k2=-l, k3=l从上面求解过程中可以看出，在求向量组% % ， %， % 的一个最大无关组并将其余向量表示为这个最大无关组的线性组合时，可以合并为一步完成当%%， 的, % 是列向量组时第 一 步 引 入 矩 阵 人 = （ %%卬3， %）q 口 o *o i o劣J4 T0 0 1 4第二步用行初等变换将A变形化为简化的阶梯形 1 ° 0 0 0 1 时则对应于E3的三个向量% %， 是一个最大无关组，且％ = 年的+ 与 仪 2 + 与与若为,a3a3, J是行向量组时第 一 步引入4 =第二步用行初等变换将A化为简化阶梯形a o o 0、0 1 0J4— >0 0 1I。

° ， 时，则对应于E3 的向量组蜡d W是最大无关组，且“ = 怔 ：+ 与d+与a ；而％生, 我3 是一个最大无关组，且％ = 4的+ 与 代 2 + 与密例 3求出下列向量组的秩和•个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出:c t i= ( 1 , 1 , -2 , 7 ), a 2 = ( -1 , -2 , 2 , -9 ), a j= ( -1 , 1 , -6 , 6 ),0 4 = ( 2 , 4 , 4 , 3 ), c t 5 = ( 2 , 1 ) 4 . 3 )［ 答疑编号：1 0 0 3 0 3 0 3 针对该题提问］解把所有的行向量都转置成列向量形成4 x 5 矩阵以后，再用初等行变换把它化成简化行阶梯形矩阵，即可求出向量组的秩和它的极大无关组，并且可将其余向量用极大无关组线性表出>1000/ = ( 原, 酒, 渡, ， , 公)10000100001000010-1-1011-27228-1 12-18-1 11000-1-22-901002443214331-1-9一1000010000100-1-10T1000010000100-1-10记为( 见为， 隹， 跖 房 ) = B这里，B是 A的简化行阶梯形矩阵，易见B的秩为4,从而A的秩为4,即仔 ,媒 嫉 嫉 引 F 。

从而J阳?国q另外易见：向量组｛ 瓦， 尾 ， 房， 房｝ 的秩为4 , 所以它是B的列向量组的一个极大无关组从而对应的向量组｛ ' ' 城' 原' 或｝ 是 A的列向量组的一个极大无关组，所以（ 药口2, ④, 色｝ 是｛ 对， 为， 色, 囚， 小｝ 的一个极大无关组从 B容易看出后= 0用 + （ - 1 ） 伤 + （ T） 危 + 由于｛ 第 嫉 嫉 城 ， 叫 与 ｛ 瓦 历 历 ， 凡 尼 ｝ 对应部分组有相同的线性相关性，于是可得片=0 # + （ - 1 ） 成 + （ - 1 ） 以 + O af = -a ^ -a 1因此有 5 = -% -&3 最后，关于矩阵的秩有下面定理定理：r （ A B ） < m i n （ r （ A） , r （ B） ）（ 不证）这说明两矩阵之积的秩小于等于每个矩阵的秩3 .4 向量空间3.4 .1 向量空间的概念前面我们学习了有关向量的基本知识， 现在我们从整体上来研究n 维向量的性质， 为此引进向量空间的概念定 义 341 n维实行向量全体（ 或实列向量的全体）构成的集合称为实n维向量空间，记作R%由n 维实行向量全体组成的向量空间与由n 维实列向量全体组成的向量空间在结构上是相同的，都记为R ， 显 然 R1 1中任意两个向量的和向量还是R" 中的向量，R" 中任意一个向量与任一个实数的乘积也是R" 中的向量。

R1 1的很多子集也有这个性质， 我们把Rn的具有这种性质的子集定义为R1 1的子空间，其严格定义如下：定义3 4 2 设 V 是 n维向量构成的非空集合，且满足（ 1 ）若“ ， 尸€/，则a +f” ；（ 2 ）若a€匕小€尺贝I j t ez e V 则称集合V 是 R" 的子空间定义3. 4. 2中的条件（ 1 ）称为V 对向量的加法运算封闭，条 件 （ 2）称为V 对数乘运算封闭上述两个条件可以合并成以下条件:对任意向量a ， 6''和任意常数k , 1 C R , 都有比a +R” 的子集'=｛ 0｝ 是最简单的子空间因为零向量加零向量仍是零向量，零向量乘任意数后仍是零向量称,=｛ 0｝ 为零子空间由子空间的非空性和对加法的封闭性及对数乘的封闭性易见，在任意一个子空间V 中一定包含零向量事实上，由 V 不是空集知道，可以任取& e V ,贝 i」 - a = （ - 1 ） & GA,于是由封闭性知&+ （ - 1 ） a =OGV 为了叙述方便，我们有时也把R0的子空间简称为向量空间例 1验证在R3中，由形如（ 0, a, b）的向量组成的集合S是 Ri 的子空间。

［ 答疑编号：1 0030401 针对该题提问］证：对任一女 = ©， % ㈤ / = （ 0， %与），则有其线性组合月a + 比 29 = 片㈤+ （ 0曲叩马马）= （ 0, 3为 + /W, 用为+ 马马） 的第- 一 个分量仍为0,仍是S的向量，所以S是 R3的子空间例 2 验证在R3中，由形为（ 1 , a, b）的向量组成的集合T不是R3的子空间［ 答疑编号：1 0030402针对■该题提问］证，在 T中任取0 = ， %与）则仪+ 4 =（ 2, 的 + %心 + 与 ） 的第一个分量不是1 , 所以"+£不在T 内，所以T 不是R ?的子空间3.4.2 生成子空间定义: 若向量组％ %…金‘ 州 则 由 %%一， %的 线 性 组 合 皿 1 +3 2+一+ 勾&的全体向量所组成的集合/ =｛ 回& =瓦 的 + %%+ “ - + . ~ ）叫 由 % % ， …， ％ 生成的子空间，记作V=L （ %%、%）例如：在 R 3中，由& | = （ 0, 1, 0） , & 2= （ 0，0, 1）的线性组合的全体组成的集合'= ｛ （ 0, ”切 |£ 3‘艮 " , 用 称 为 由 （ ° , 1, ° , ） ,（ ° , ° , I ）生成的子空间，记作，= z ｛ （ o , L 0） , e , o , i ） ｝ 。

3.4.3 基与维数以及坐标定义3 43 设 V 是 R " 中的一个向量空间，若 V 中的向量组满足：（ 1） % % ， …， 叫线性无关；(2) V 中的任意一个向量%叼， …， %都可由向量组线性表出，即存在常数月# 2 ,…,与' 丑使 得 原 % + 历 修 + “ + % % ，则称向量组% 为 V 的一个基，其中每个/ (， =…,r ) 都称为基向量基中所含向量的个数r 称为V 的维数，记为dimV=ro并称V 为 r 维向量空间由基的定义可知，向量空间V 的一个基，实际上就是向量集合V 中的一个极大线性无关组，V 的维数就是极大无关组中所含向量的个数，也 即 V 的秩因此向量空间的维数是不变的，它不会随基的改变而改变例 3 已知R11中的n 维标准单位向量组£1= ( 1, 0» 0, ...» 0), £2= (0, 1, 0, 0), en= (0, 0> ...0, 1)是线性无关的，且每个n 维向量都可由该向量组线性表出，由定义3.4.3知£2，…, 如是 R"的一个基，于是dimRJn易见，. * = 0 = ，= { 0 } ［ 答疑编号：10030403针对该题提问］如果% % ， …， %是 向 量 空 间 V 的一个基，那么，根据向量组的极大无关组的定义知道，每一个a e V 一定可以惟一地表示成% %的线性组合，于是必有V = / (的, 的, …， 叫) = {a|a =刖6 + 与&2 +••%%}这就是说，任意一个向量空间都是由它的任意一个基(即极大无关组) 生成的。

注 意 (1) V 中每个向量的维数n 是指向量中的分量个数，向量空间V 的维数r 是指V的基中的基向量的个数这是两个不同的概念r 维向量空间V 的任意两个基都是等价的线性无关组，它们都含有r 个向量，且必有En.( 2 ) 若 dim V =r,则V 中 r 个 向 量 的 集 合 …， 叫 ，是 V 的基o/， 电， …， % 为V 中最大线性无关组这是由于受到501丫=「 的限制， 这个 线 性 无 关 组 必 是 V 中的极大无关组 因此，r 维向量空间V 中任意r 个线性无关向量都是V 的基例如，三维向量空间IV中任意三个线性无关向量都是基，它们都可以作为坐标系中三个基向量由定理3.2.2有定 理 3 4 1 设 S： % 是向量空间v的一个基，则 V 中的任意一个向量《都可用% 惟一地线性表出定义：当 & = & 的 + ^ % + …成立时，由 r 个表出系数组成的r 维 向 量 (瓯 / ， …, 号) 称为向量c 在此基S 卜的坐标当然，同一个向量在不同的基下有不同的坐标求坐标的方法就是求出表出系数，也就是解线性方程组例 4 任取a=炉因此必有工| (1,0,0)+22(0,1,0)+23(0,0, 1 ),所以， & 在基 0,0),(0,1,0),(0,0,1))下的坐标就是0 = (% 叼。

这说明& = ( % % ， % ) 在 ，下的坐标就是它本身［ 答疑编号：10030404针对该题提问］例 5 求a = (% 勺0 ) 在基$2 = {(L0,0MLL0), , U)}下的坐标, 并将a 用这个基线性表出•［ 答疑编号：10030405针对该题提问］解 令X ］ ) + / 2 L ) + X? 4,1)= (勾， 叼, ％) 即!勺+ 彳 2 +与=心+总= 为.=电容易解得xi=ara2, x2=a2-a3, x3=a3.所以a = (% 叼 ㈤ 在 基 S?= {(1,0,0),(1,1,0),£1,1)}下的坐标为㈠毋，a?4 , a3) , 且有(ai,a2,a3) = (ara2) (1,0,0) + (a2-a3) ( 1,1,0) +a3 (1,1,1)例 6 证 明 :al = OU.2).«2 =(3,-l,0),tt3 = (2,0,-11)构成 R3 的基. 并求出4 = Q， T ， 7 )在此基下的坐标［ 答疑编号：10030406针对该题提问］解因为由这三个3 维向量拼成的三阶行列式1 1 23 - 1 02 0 -1 1 =11+4+33=48^0,所以，% % , 的线性无关，它们一定构成R3的基，令々丐+ 々叼+ * 3 % = )即 X| (1,1,2) +X2 (3,-1,0) +x3 (2,0,-H ) = (1,-1,7)与它等价的线性方程组为(勺 +3^2 +2/3 = 1々- 2 = -12勺- 11号=7可以用消元法解线性方程. 把前两式相减得4乂 2+2乂 3=2,即X3=1・2X2. 由第二式得X1=・l+X2.5 1 2X》=­ X ］ = — 一 ， 刀 3 = — 一将它们代入第三式即可解出 6 , 从而 6 3 。

于是1 R 2的坐标为( 4推 - 翁所求的 6 6 3例 7 求 R 4 中由向量组生成的子空间的一个基和维数［ 答疑编号：1003 0407 针对该题提问］解 向 量 组 % % ， %， % 的一个极大无关组就是其生成子空间的一个基，%因 ， %， % 的秩就是生成空间的维数2-2-131 01 2 _-1 0 11 10 -1 -1-2 -40 3 05 150 1 52-301510000 10121 0-1-1-30 -11000015 15002-3-3012101-1-3->0-1-1-1-300-1412000力= ( 的的a j )因 此 % % , % 就 是 由 % % ， %， & 4 生成的子空间的一个基，生成子空间的维数为3 考核内容• 、基本概念L n 维向量及其线性运算，零向量，负向量2 .向量的线性组合，向量组之间的线性表出关系及其矩阵表示，等价向量组3 .向量的线性相关性与线性无关性4 .向量组的极大无关组和向量组的秩5 .向量空间的基与维数，一个向量在取定的基下的坐标二、基本结论与公式l .n 维列向量? 能表示成同维列向量组% 的， …， % 的线性组合当且仅当非齐次线性方程组Ax= ? 有解，这里，A =( “ 卜色， …， ％( )为 n x m 矩阵。

2 .向量组% % ， …， % ( m > 2 ) 线性相关当且仅当至少存在某个向量可以表示成其余向量的线性组合3 .n 维列向量组丐， 为， …， 外线性无关当且仅当齐次线性方程组Ax= 0只有零解这里，A= ( & 1， 叼， …， ％ )为 n xm 矩阵4 .单个向量线性相关当且仅当= 0两个向量“ ， £线性相关当且仅当它们的对应分量成比例向量个数大于向量维数的向量组必为线性相关组5 .n个n维列向量组的， 的, …, 以线性相关当且仅当A =( 的， 的， …, ％ ) 的行列式为零，即它为不可逆矩阵6 .线性相关向量组的扩充向量组必为线性相关组线性无关向量组的部分组必为线性无关组线性无关向量组的接长向量组必为线性无关组7 .等价的向量组必同秩三、重点练习内容1 .当一个向量表示成同维向量组的线性组合时，求组合系数2 .判定向量组的线性相关性和线性无关性3 .通过求矩阵的秩来求向量组的秩4 .向量空间的判定，求向量空间的基以及向量在此基下的坐标本章作业教材8 6页 习 题3 .12, 3 ( 1) ( 2) , 4, 6教材9 4页 习 题3 .21. ( 1) ( 2) , ( 4) ( 5 ) ； 2, 3 , 4 ( 2) ( 3 ) , 5教 材103页 习 题3 .31. ( 1) ( 2) ( 3 ) , 2, 3 , 4, 5教 材108页 习 题3 .41 .提示J T)是基2 , 5第四章线性方程组4 . 1 齐次线性方程组4 .1 .1 齐次线性方程组的解在2.7节中，我们已把含有m个方程、n个未知量的齐次线性方程组% 严1 + , 2 9 + …+ q" 物:为 通+ 3 * 2 + …+却 也°m\x\ + am2x2 + '" + amnxn00： 0( 4.1)简写成矩阵形式Ax= 0,其中( 4.1.1)『m la12%2am2并把Ax= O 的 A 称为系数矩阵, x 为 n维未知列向量, 0为 m维零列向量.f仆 、， 2 = 与若 X I = k |, X 2= k 2, ..., X 『k n , 是方程组（ 4.1）的解， 也可写作W 是方程组（ 4.1. 1 ）㈤的解， 若记 1与 人 就 说Xa是齐次线性方程组Ax= 0的解向量， 简称解, 它满足工孑= 0, 今后我们也常用向量形式表示方程组Ax= 0的解.所谓X3是 Ax= 0的解， 指 的 是 满 足 = 0 的 n维 列 向 量 。

它有n 个分量，而且它是列向量n维零列向量0 显然是A x = 0 的解，称为零解A x = 0 的不是零列向量0 的解称为非零解，即其中至少有一个分量不是零容易证明齐次线性方程组Ax= 0的解有下面性质：性 质 1 若需& 是齐次线性方程组A x = 0 的解，则苗+备也是x= 0的解证 因 为 身 &都是A x =0 的 解 ， 必 有 力 或 =嫌 口 工 备 = ° 所 以 必 有< © + &） =力或+ 工易= 0这说明费+曷 是 Ax= 0的解性质2 若J 是齐次线性方程组Ax= 0的解, k 是任意实数, 则上孑也是A x = 0 的解证因为是Ax=0的 解 ， 必 有 “岁= 0 , 所 以 对 于 任 意 实 数 k , 必有M J =兄 x 0 = 0 ,这说明上短也是A x = 0 的解由性质1 、性质2可知，若工= 6与x = 〃若 A x = 0 的解，则有x = & f + 加? 也是A x = 0 的一3一 七=为33 >5- 1 = 困< 1 ；解，即解的线性组合对于齐次线性方程组，我们提出三个问题，第一个问题是，满足什么条件时，它有非零解？第二章的定理2 . 7. 1 己回答了这个问题：齐次线性方程组有非零解当且仅当它的系数矩阵的秩小于它的未知量的个数。

第二个问题是， 当齐次线性方程组有非零解时, 有多少个解？第三个问题是， 当齐次线性方程组有无穷多个解时， 它的所有的解能否用一个简单的表达式表示出来？在本节中，我们将回答后两个问题我们先考察一个实例公+ 2 弓 + 3 升 =0例 1讨论齐次线性方程组1 2 再+ 3与 +% = °的解[ 答疑编号：1 0 0 40 1 0 1 针对该题提问]解用矩阵的初等行变换化简齐次线性方程组的系数矩阵：J12 3] (1 2 3] 6 o P= (2 3 5尸1 0 T T 尸 I 1 1 ;得到同解方程组为+弓 =0 , 与 +弓 =0,即面= , % = _/ ，据此可得它的一般解:身 =- 1如果取自由未知量X 3= l , 就得到一个特殊的解 那么，它的一般解可以写成，k是任意实数在 例 1 中，我们发现以下事实：它有无穷多个解；存在一个特殊的解，使得它的一般解可以用它线性表出；系数矩阵A =的秩显然为r = 2 , 而未知量个数n = 3. 计算n - r (A ) = 3 - 2 = 1 , 它恰好是用来线性表达一般解的特殊解的个数下面我们将对具有如此功能的那些解向量引进如下定义。

定义4. 1 . 1 设(薮易， …为齐次线性方程组A x = 0 的一个解向量集， 如果它满足以下两个条件：( 1 ) 低 ©， … & 是线性无关的向量组；( 2 ) A x = O的 任 意 一 个 解4都 可 表 示 为 耳 ， 如 …4的 线 性 组 合 ， 即1 = 占6+与易T 卜k息,% % ， , • 凡是常数，则称｛ ♦ 上 >. 《 ｝ 是A x = O的一个基础解系由定义可知，A x = O的基础解系，实际上，就是A x = O的解空间V中的一个基，反之，A x = O的解空间V中的任意一个基，一定是A x = O的一个基础解系当A x = O只有零解时，它没有线性无关的解，因而它没有基础解系当A x = O有非零解时,它的解空间V不是零空间｛ 0 ｝ ,也就是说，V一定是有无穷多个向量的向量组，因而V中一定有无穷多个基(也就是向量集合V的极大无关组) 因此只要A x = 0有非零解，那么，它一定有无穷多个基础解系因为A x = 0的基础解系都是A x = 0的解空间V的基，所以它们是等价的线性无关组，因而必有相同个数的向量，这个个数就是向量空间V的维数， 那么， 组成A x = 0的基础解系中的解向量个数s (也就是A x = 0的解空间的维数) 如何确定呢？我们不加证明地给出以下定理。

定理4. 1 . 1在齐次线性方程组Am x nx = 0 ( m表示方程个数，n表示未知数个数)中有：(1 )当r (A ) = n时，(它表示有效的保留方程有n个)= 方程组A x = 0只有一个零解 2 )当r ( A ) r〈n时，( 它表示有效的保留方程有r个且小于未知数个数n )= 方程组A x = 0有非零解，且基础解系的解向量有( n - r )个注意：基础解系必须满足三个条件①基础解系中每一个向量都是A x = 0的解②基础解系的向量个数必须为( n - r )③基础解系的向量组线性无关所以当r ( A ) < n时，方程组A x = 0的 任 何( n —r )个线性无关的解向量组四，a2. . . an.r都是基础解系④若向量组需刍… ， 算中是A x = 0的基础解系则A x = 0的通解为升= 用备+为刍+- - +左1 4 _ ,例2. 设a , , a2, a3是某个齐次线性方程组A x = 0的基础解系, 证明：P ， = a2+a3, p2= al+a3, p3= a 1 +a2,•定是A x = 0的基础解系［ 答疑编号：1 0 0 4 0 1 0 2针对该题提问］证直接验证它们构成基础解系的三个条件，首先，它们的个数与已给的基础解系a ”a 2 , a . 3的个数相同，都为3 ,即n - r = 3 ,其次，显然有A p i = A ( 0 2 +0 3 ) = 0 , A p 2 = A ( 6 +( X3 ) = 0 , A p3= A ( a i +a 2 ) = 0 ,最后，根据题设条件可以写出矩阵等式0 1 1( 青， 为 ， ％) = ( % ， 七 ， %)1 ° 111。

_把它记为B = A P ,因为表出矩阵的行列式0 1 1|p|= 1 0 11 1 0 =2和P 是可逆矩阵，所以r (B) =r (A) =3,这说明仇，优，自必线性无关，所以仇，阳 仇必是Ax=O的基础解系当然，我们也可以直接证明本题中的向量组仇，但， 3的线性无关性，设♦ 0 】 + k2P2+ k3p3=0即 ki (012+013) + k2 (ct]+a3)+ k3 (a) +a2)=0,从而(k2+ k3) ai+ (ki+ k3) a2+ (ki+ k2) a3=0因为叫g g 线性无关，所以必有k2+ k3=0, ki+ k3=0, ki+ k2=0o再把它们相力F l得至Uk|+k2+k3=0,于是必有k]=k2=k3=0,仇，®但一定线性无关显然， 通过如此建立的矩阵等式， 并利用矩阵的秩的结论， 来判断向量组的线性无关性，往往显得简洁和直观例 3 设 a im g 是某个齐次线性方程组Ax=0的基础解系，证明：Pi=ai+a2， P2=cti+3a2+2a3， P3=2a) +a2一定是Ax=0的基础解系[答疑编号：10040103针对该题提问]证：根据已知条件可以写出矩阵等式：-1 1 2( 4，为 ， 巧) = (%，为 ， %)1 3 10 2 0记为B = A P,因为表出矩阵的行列式1 1 2\P\= 1 3 1 = 2w00 2 0P 是可逆矩阵，所以r (B) =r (A) = 3 ,这说明仇，仇，仇必线性无关，另外，显然有Api=A (5+(X2)=0Ap2=A ( 四+3。

2+2 3)=0A .=A (2a]+ct2)=0所以，Ax=0的三个线性无关的解仇仇仇一定是Ax=0的基础解系，证毕4.1.2齐次线性方程组的通解的求法2 X] + , - 2与 + 3 , = 03 x j +2 / 2 - b +2彳4 =例4求 卜1 + ' 2 + * 3 - 4 = °的通解［ 答疑编号：1 0 0 4 0 1 0 4针对■该题提问］解 ：可以先调整方程的次序使得系数矩阵的左上角的元素为1 ,然后再用初等行变化成简 化 行 阶梯形矩阵T1 1 1 - 1 1 p 1A = 2 1 — 2 3-0-13 2-12」| _ 0 - 1- 3 44-5=70 0根据这个简化行阶梯形矩阵T,就可以写出原方程组的同解方程组Xj = 3X3-4X4电 =-4X3 +5X4这 里 是 取x3和X4为 两 个 自 由 未 知 量 （ 确 实 有n - r = 4 - 2 = 2 ）取X3 = l , x4= 0 ,代入同解方程组求出x i = 3 , X2= - 4取X3 = 0 , X4 = l ,代入同解方程组求出Xi = - 4 , X2= 5于是可以得到一个基础解系因此，所 需 求 的 通 解 为& = k & + k 2 & , k .和k2为任意实数。

勺注 ：这里用到“ 两 个 线性无关的2维 列 向 量 组 一1 勺_ 0」L 4」L」的 接 长 向 量 组 & 和& 2必线性无关组” 这一重要命题，于 是n - r = 4 - 2 = 2个 线 性 无 关 的 解 言和 & 一 定 是 原 方 程 组 的基础解系 向量接长的方法就是, 将已经取定的自由未知量的值代入已经建立的同解方程组，再求出相应的特殊的解，作为基础解系中的一个成员，因为自由未知量是可以任意取值的，所以对应于自由未知量不同的取值，所求出的是不同的基础解系，对应于同一个齐次线性方程组的基础解系,如果存在的话，必有无穷多个，通常采用最简单的方法：把某个自由未知量的值取成1 ,其余自由未知量的值取成0 ,代入方程组求出基础解系中的某个成员，但必须注意的是，绝对不可以取 零 解 ，也不能取线性相关的解，因 为基础解系•定是由线性无关的解向量组成的为了不改变未知量的下标， 在把系数矩阵化成阶梯形矩阵的过程中，不宜而且也不必作矩阵的初等列变换，只用初等行变换完全可以把原系数矩阵化成简化行阶梯形矩阵彳 ]+ 一 万3 + 2 % + > 5 = ° ，< 勺 +3X4 - 4 = 0 ,2^2 + % - = 0 ,例5. 求的通解。

［ 答疑编号：1 0 0 4 0 1 0 5针对该题提问］解:" 1 2 1 ' ' 11 3 - 1 7 02 1 - 2」［_ 00 5 0 1 F 11 3 - 1 - » 00 - 5 0 00 5 01 3 - 1 70 1 010 0 00 1 0 - 1 =T0 0 1 0< =1 10000100100100同解方程组为再+ 工2 = 0,x5 = 0,即 < x3 = x5% 二o.々=0,分别取X 2 = l , X5= 0和X 2 = 0 , X5= l可得基础解系于是，线性方程组的通解为& = k & + k 2 & 2 ,昌和k2为任意实数例6证明同解的齐次线性方程组的系数矩阵必有相同的秩［ 答疑编号：1 0 0 4 0 1 0 6针对该题提问］证：设A x = 0与B x = 0是两个同解的齐次线性方程组，则它们必有相同的基础解系，其中所含的解向量个数相同，即得n - r ( A ) = n - r ( B ) , r ( A ) = r ( B )例7. 设 矩 阵 ' = 与 ) 出 和 ' 满足A B = 0 ,证明：r ( A ) + r ( B ) < n［ 答疑编号：1 0 0 4 0 1 0 7针对该题提问］证：将B按列分为s块：B=( 阮。

2. 邛s ) ，则由A B = 0 ,得A ( P i ， P i > . . . > =0(A 0I,A02…,A % ) = ( 0 , 0 . . . , 0),从而A p j = 0 ( j = l , 2 , . . . s )即p j都是齐次方程组A x = 0的解当r ( A ) = r < n时，A x = 0存在基础解系，且基础解系山n - r个向量组成，就是说，方程组的解向量组的秩为n - r ,由于向量组瓦近邛s是A x = 0的s个解向量，它的秩当然不会超过 n - r ,由此可知 r( 仇色… . 氏)< n - r ,即 r ( B ) < n - r = n - r ( A ) ,或 r ( A ) + r ( B ) < n4 . 2 非齐次线性方程组4 .2 .1 非齐次线性方程组有解条件在2 . 7节中，已把含有m个方程，n个未知量的非齐次线性方程组0nx i+ 七 *2+ • • + % 心 = ”,a2lxl+a22x2+ -+a2nxn = %,amlxl+am2x2+- +amnxn=bm (42)的矩阵形式为并称A为A x = b的系数矩阵，x为n维未知列向量，b为m维右端常列向量，分块矩阵( A , b )称 为A x = b的增广矩阵，它是m x ( n + 1 )矩阵，有时，就直接用( A , b )代表非齐次线性方程组A x = b。

满足A n = b的n维列向量9称为A x = b的解向量，可简称为它的解因为齐次线性方程组必有零解，所以讨论的是它何时有非零解，有多少个非零解，如何表示通解，而非齐次线性方程组未必有解， 所以首先要讨论是它何时有解， 在确定它有解以后，再讨论它何时有惟一解，何时有无穷多个解，如何表达一般解为了探讨非齐次线性方程组A x = b何时有解，我们把系数矩阵A写成列向量表示法；A=( 阮限… 悦)于是，非齐次线性方程组A x = b可以写成列向量的线性组合形式:X i B + X 2 即+ …Xn 0 n = b实际上，它就是这说明，A x = b有解与b是A的列向量组瓦园… %的线性组合是同一件事据此就可以得到非齐次线性方程组有解的判别定理：定理42 1 A x = b有解=r ( A , b ) = r ( A )iiE：如果A x = b有解，那么，存在常数k ih- . k n使( 4, 3 )式成立：b = k | Pl+ k2p 2+ . . . knpn= O这说明b是A的列向量组由, 彷，… ，诧的线性组合，因此，以下两个列向量组等价:Sl = { P l ， p 2 > . . . » P n , b }» S2 = { P 1 ， p 2 > . . . » B n },因为r ( A , b ) = r ( S, ) , r ( A ) = r ( S2) ,而等价的向量组必定同秩，所以当S1与S2等价时，必有r ( A , b ) = r ( A), 这说明当A x = b有解时，必有r ( A , b ) = r ( A )。

反之，当r ( A , b ) = r ( A )时，必 有r ( S| ) = r ( So ) ,因为用仁心，所 以b 一定 是A的列向量组仇，为，… ，悦的线性组合，这说明A x = b有解因 为( A , b )是在A的 右 边 添 加 •个列向量b构成的，所以，只有以下两种可能性当 r ( A , b ) = r ( A )时，A x = b 必有解当 r ( A , b ) = r ( A ) + 1 时，A x = b 必无解4. 2 . 2非齐次线性方程组的解的结构特别需要注意的是，当 尔0时，A x = b的两个解的和不再是它的解了，它的一个解的倍数也不再是它的解了，事实上，若A i]尸b , A w = b ,则A ( m + 1 ] 2 ) = 2 b / b » A ( k r ] i) = k ( A r ) i) = k b ¥ b其中k为不等 于1的任意实数，这也就是说，A x = b的若干个解的线性组合不再是它的解了，所以，对于非齐次线性方程组A x = b来说，根本不存在解空间和基础解系等概念对于任意一个非齐次线性方程组A x = b， 一定对应有一个齐次线性方程组A x = 0 ,称A x = 0为A x = b的导出组( 又称为相伴方程组) 。

这样就在A x = b和A x = 0之间架设•座桥梁，它们有相同的系数矩阵，希望可借助于A x = 0的基础解系求出A x = b的通解设齐次线性方程组( 4, 1 )是非齐次线性方程组( 4, 2 )的导出组，则它们的解之间具有以下性质：性 质1如果巾，①是非齐次线性方程组A x = b的解，则 口1印2是它的导出组A x = 0的解证：因为小，r ) 2是A x = b的解，必有A w = b和A r ( 2 = b ,所以必有A g= A ( r ) i- r | 2 ) = A r |rA r | 2 = b - b = 0这说明q = n i- r | 2是它的导出组A x = 0的解注意： 性质2如果口是非齐次线性方程组A x = b的解，&是它的导出组A x = 0的解，则 /n必是A x = b的解证 因为r |是A x = b的解，& 是A x = 0的解，必有A &= 0 , An= b ,所以必有A ( 的 )= A g+ A n = 0 + b = b这说明自+9必是A x = b的解这就是说， 非齐次线性方程组的任意两个解的差必是其导出组的解， 非齐次线性方程组的任意一个解与其导出组的任意一个解的和仍是非齐次线性方程组的解。

任取A x = b的两个解1 ]和T] ",令&= r ) - r ) * ,由A r ) = b和A r | * = b知道必有A J = A = b - b = O这说明&= Tr | *必是导出组的解， 于是由&= T| - i] *知道n = r ] * + &,这说明A x = b的任意一个解n 一定可以写成A x = b的任意一个特解r f和其导出组A x = 0的某个解《 之和，而A x = 0的这个解&又可表示成A x = 0的任意一个基础解系的线性组合，于是可以得到A x = b的解的结构定理：在非齐次线性方程组中Am x nx = b 中( 一 ) 若r ( A b ) = r ( A ) = n ,则方程组有解且惟一；( 二 ) 若r ( A b ) = r ( A ) = r < n ,则方程组有解且无限多，并且X = H *+ k & + … kn3 n-r其中n * 是 A x = b 的一个特解 ,《 2 ，…h r 是导出组A x = O 的基础解系 三）若 r （ A b ） # （ A） ,则方程组无解特别情形，若 A为 n阶方阵，则有定理：在方程组人* = 1 ? 中若M l = ° , 则方程组有惟一解且x = A ' b4 .2 .3 非齐次线性方程组的求解方法求已给的非齐次方程组A x = b 的通解的方法是，用初等行变换把它的增广矩阵（ A , b ）化成简化行阶梯形矩阵（ T, d ） ,在 2 . 7 节已证明了人* = 6与丁* = < 1 是同解的非齐次线性方程组，于是Tx = d 的通解就是A x = b 的通解。

例 1求为 +2X2 -X3 + 3 勺 + 勺 =2 ,一々一2 々 + 弓 一 勺 + 3 名 = 4 ,2 再+ 4 为 - 2X3 4 - 6X4 +3X$ = 6 , 的通解［ 答疑编号: 10 0 4 0 2 0 1针对该题提问］(Ab)=解:1-122-24-1 31 -1-2 6-1 30 20 0-1 00 10 0-521-1 00 10 0= (兀 d )133； 2； 4； 6->100200141； 2； 6； 2100200； -7；3；2100200001； 3； -1； 2这 个 （ T , d ）就 是 （ A , b）的简化行阶梯形矩阵，据此得到原方程组的同解方程组K ］ = 3 - 2 ^ 2 + 七< y = T/ 5 = 2常取X2= X3= 0 得到一个特解*7300-12原方程组的导出组的同解方程组为再=-2X2 + 彳3（ q = 0, 勺二01工0和］ ,0分别令可求得基础解系于是求得方程组的解n = n * + k &+ k 2 &2 ,其中k i、k2为任意实数求非齐次线性方程组的特解的方法是任意的，最方便的方法是把自由未知量的值都取为零。

例2当参数a为何值时，非齐次线性方程组q + 5为 - 七 - y = -1,' 1 + 7 为 + 为 + 3 J = 3 ,3刀 ］ +17 Jr 2 一 0 + % = 双 ，彳 ［ + 3 ^ 2 - B q -5 / 4 = -5 ,有解？当它有解时，求出它的通解［ 答疑编号：10 0 4 0 2 0 2针对该题提问］解：先把增广矩阵化简：1 5 -1 -1 ； -1-' 1 5 -1 -1 5 -11 7 1 3 ； 30 2 2 4 ； 4->3 17 -1 1 ； a0 2 2 4 ； a+ 31 3 - 3 - 5 ； -5 ,_ 0 -2 -2 -4 ； -41 5 -10 1 10 0 00 0 0-1200-12s r 10可见( 1 )当 今1时，第三个方程是矛盾方程(等式左边是0而右边不是0 ) ,所以方程组无解 2 )当a = l时，去掉后两个零方程，可把最后一个同解方程组继续化简1 5 -1 -1 ： -1 1 0 -6 -11 ； -11（ 0 1 1 2 ： 2 ） "。

1 1 2 ； 2）得到同解方程组再 -6X3 -11X4 = -11W + 石 + 2X4 = 2据此，令x3= x4=0,可求出特解*2oo原方程组的导Hl组的同解方程组为' 1 _ 6 * 3 _ U， 4 = 0彳2 + 七 + 2 % =K ] = 6 七 +11 %, …3- 2 %于是可求出通解°1 J可求得基础解系*7 = 7 + 々 奇 +%%k ］ k为任意实数例3证明：线性方程组5Z a . = 0有解且仅当i = l '［ 答疑编号：10 0 4 0 2 0 3针对该题提问］证：把增广矩阵的前四行都加到第五行上去，即得1 -111(4 31-1：“ 2：410-110-110100气为a45Z 42 = PZ q = o于是，此线性方程组有解Q i-l例 4 设 Ax=b中未知量个数n=4, r （ A） = 3 ,设 巾，侬 中为A x=b的三个解，已知求 Ax=b的通解［ 答疑编号：10040204针对该题提问］解：因为n・r （ A） =4・3 = 1 ,所以Ax=0的任意•个非零解匕都是它的基础解系，因为中 ,电，H3都是Ax=b的 解 , 所 以 r|i-r|2和都是Ax=0的解，它们的和2§ = （ % — 不 2） + （ /- 啊） = 2 / — （ 啊 + 啊 ） = _1_2_也是Ax=0的非零解，它就是Ax=0的基础解系，因此人乂= 15的通解为n=ni+k&k为任意实数。

注：若巾，耳 2，巾是 Ax=b的解，则有工（ 用力+k 2% +& %） =%"1 +品，% +与的3=k\b + 秘 + k^b =（ & + 舄 +⑴占+ & = 0时, k171 + k 死 + 国 % 是 导 出 组 Ax=0的解⑵ 占 +为 +/ =时km + k m+ k热 是 Ax=b的解例 5. 当参数X为何值时，非齐次线性方程组/Lx1 + x2 + x3 = 1,< 玉 +2X2 + 均 =2,西 + 句 + 2X3 = 22,无解？有惟一解？有无穷多个解？并求出它的通解［ 答疑编号：10040205针对该题提问］解：因为方程个数与未知量个数相同，所以可以考察系数矩阵A 是不是可逆矩阵，计XH =111 1 2+2 2+2 2+2 12 1 = 1 X 1 =(2+2)11 2 1 1 A 11 1 1X 1 = (2 + 2) D1 X 01 1A -l 00 X -l2= (A+ 2)(1-I)2（ 1）当 4 ・2 时，只用初等行变换把增广矩阵简化行阶梯形矩阵:1 1( 4 3 = 1 -2-2 11 -2 ； 4-3 3 ； -60 0 ； 3因为第三个方程是矛盾方程, 所以线性方程组无解。

2 )当入 = 1时，线性方程组是X ] + X 2 + X 3 = l ,它有两个自由未知量，可取特解它的导出组X ] + X 2 + X 3 = 0的基础解系可以取为所以线性方程组的通解为n = n * + k匕 +k 2 $，k ]和k 2为任意实数 3 )当 块1且计-2时，A是可逆矩阵，线性方程组A x = b必有惟一解，为了求出惟一解，可以用初等行变换把增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵，注意到卜1翔 ，U2/0,有1 1 X(月妨= 1 A 1X 1 1吗 1 1%X — > 0 尤 一 1 1 — A1 0 1-2 1-12I2尤 - "1-131 0 X0 1 -10 1 1 + 1-A1 + A + A20 2 + 11 -10 2 + 1I2 + A-A21+ 2 2 + 221T 001 0 1+ 1丸+ 2 w Q 0 1 -10 0 1X + X- A .2UI )「21 0 2 + 1 ； A + A- ^ 0 1 - 1 ； -A0 0 1； a2 + 2 J2 1 0 0 ；(尤一功(尤+1)(这里0 10 ； a -14 + 2 n n 4 -L ° ° 1 ： 0 」 于是求出惟一解为= ( l + l ) ( 2 - d 2 )< = 4 一 %色 =a本章小结一、基本概念1 . 齐次线性方程组与非齐次线性方程组以及它们的解。

2 . 齐次线性方程组的解空间和基础解系以及通解3 . 非齐次线性方程组的通解二、基本结论与公式1 . 齐次线性方程组A x = O 的任意有限个解的任意线性组合必是它的解2 . 在齐次线性方程组A m * n X = O 中，( n 表示未知数，m表示方程个数)①若r ( A ) = r= n , 贝 A m 、 n X = O 只有零解，这时没有基础解系②r ( A ) = r< n , 则 A m * n X = O 有非零解，且基础解系中有( n - r) 个解向量& ，J . & r而且解向量空间中任何( n - r) 个线性无关解都可以作为基础解系，它的通解为：X = k & + k 2 0 + … k n . ^n . r特别情形，当 m = n 时，A m x n 是方阵，则有结论①时，A m * n = O 只有零解② 国 = ° 时，A m * n = O 有非0解( 无穷多个)( 3) 在非零齐次线性方程组Am x n= b 中，若 T ) * 是 Amxn= b 的一个特解看是它的导出组Am x nx = o 的一个解 € 是 A m * n X = b 的解。

4 ) 在非零齐次方程组，A m * n X = b 中，①若r ( A ) 自 ( A , b ) , 则说明方程组，A m * n X = b B 有无解方程，. . . A m , n X = b 无解②若r ( A ) = r ( A , b ) , 则说明方程组，A m * n X = b 中没有无解方程，,A m x n X = b 有解 i) 当 r ( A ) = r ( A , b ) = n ( 未知数个数) 时，说明保留方程与未知数个数相同，所以 Amxnx = b 的解惟一 ii) 当 r ( A ) = r ( A , b ) = r< n ( 未知数个数) 时，说明保留方程的个数r小于未知数个数，所以A m x n X = b 的解有无穷多个，且它的通解：X = n * + k ]& + k 2 & + …k n 君n - r其中，n * 是 A x = b 的一个特解…h r 是它的导出组A m * n = O 的基础解系特别情形，当 m = n 时，则有① 国 0 °时，则有Am x nx = b 有惟一解② 国 =0时，则有A m * n X = b 或者没有解，或者解无限多。

三、重点练习内容L 求齐次方程组A x = o 的通解，只用初等行变换把系数矩阵化成简化行阶梯形矩阵，据此，列出同解方程组，选定n - r ( A ) 个自由变量，求出基础解系和通解2 . 判定非齐次线性方程组A x = b 是否有解3 . 求非齐次线性方程组加刈的通解，只用初等行变换把增广矩阵( A , b ) 化成最简化行阶梯形矩阵，据此，列出同解方程组，求出某个特解中 在其导出组中选定n - r ( A ) 个自由未知量，求出其基础解系5 = { 3, $…L r} , 于是可求出A x = b 的通解n=n*+ k&+ k2^2+...kn.r^n.r,ki, k2,...kn-r为任意实数产r (A)4. 带参数的线性方程组的讨论题， 特别是非齐次线性方程是否有解的判定条件和齐次方程组有非0 解的条件本章作业教 材 116页，习题4.11,2 (1) (2) ,3 (1) (2) (4) (5), 4 (1) (2), 5.125页习题4.21 (1) (2) (3) (5), 2,3 (1) (2)第五章特征值与特征向量在本章中， 我们将应用在第四章中建立的线性方程组的解的理论和求解方法， 给出方阵的特征值和特征向量求法， 研讨方阵化成对角矩阵的问题， 并具体应用到实对称矩阵的对角化问题上。

5 . 1 特征值与特征向量5 .1 .1 特征值与特征向量的定义设 A 为 n 阶方阵，p 是某个n 维非零列向量 一般来说，n 维列向量A p未必与p 线性相关，也就是说向量A p未必正好是向量p 的倍数，如果对于给定的n 阶方阵A , 存在某个n 维非零列向量p , 使得A p正好是p 的倍数，即存在某个数九使得A p H p ,那么，我们对于具有这种特性的n 维非零列向量p 和对应的数X特别感兴趣，因为它们在实际问题中有广泛的应用下面给出方阵的特征值和特征向量的定义定义5.1.1设 A ( a . ) 为 n 阶实方阵如果存在某个数九和某个n 维非零列向量p 满足Ap=Xp,则称九是A 的一个特征值，称 p 是 A 的属于这个特征值人的个特征向量司4例 1. 验算 ')是否是 122切的特征向量［ 答疑编号：10050101针对该题提问］解：①内°•••p是 A 的特征向量，且这时特征值X=5为了给出具体求特征值和特征向量的方法，我们把Ap=^p (Ap=ZEnp ) 改 写 成 (XEn-A)= 0 o 再把入看成待定参数，那 么 P就是齐次线性方程组(XEn- A) x =0 的任意一个非零解。

显然，它有非零解当且仅当它的系数行列式为零：| XEn- A| =O »定义5 . 1 . 2 带参数的九的n阶方阵入 E n -A 称为A 的特征方阵，它的行列式4 E n - A| 称为 A 的特征多项式，称|入 E n —A | = 0 为 A 的特征方程尤一吨2 F限-小F ” "22…一 "根据行列的定义可知有A 的特征多项式为(5 . 1 )所以n阶方阵A 的特征多项式一定是X 的 n次多项式因此有(1 ) A 的特征方程P i E - A| =O , 即2n =0 是一元n 次多项式方程它的n个根储， 入 力 …居就是A 的特征值(根)(2 )对应于每一个特征值为的齐次方程组(XjE —A) x =O , 即的非0 解向量或就是方阵A 关于特征值N的特征向量例 2 . 任意取定A 的一个特征值及 如果p . 和P2 都是A 的属于特征值脑的特征向量， 则对任何km + k2 P 2 # )的实数k| 和 k2, p =ki p i + k2p 2 必是A 的属于特征值解的特征向量［ 答疑编号：1 0 0 5 0 1 0 2 针对该题提问］证由所设条件用定义Ap =A (I q p i + k2 P 2 ) =k1 Ap i + k2 Ap 2 =X()(k〕 p i + k2 P 2 )= X()p .由此可见，A 的属于同一个特征值加的若干个特征向量的任意非零线性组合必是A 的属于特征值3 的特征向量。

在求特征向量时，由于齐次方程组的非零解有无限多个，按习惯我们只取齐次方程组(AE n - A) x =0 的 基 础 解 系 奇 …为特征向量1 22 4A =例 3 设,求出A 的所有的特征值和特征向量［ 答疑编号：1 0 0 5 0 1 0 3针对该题提问］解 （ 1 ）先求特征值X E八 —J4 =A 的特征方阵为p t - 1 - 2 '1 - 2 I,,A 的特征方程为卜力-4| ・.(A -l)(X -4)-4-A2-5 1 -A (l-^ .O它的两个根是% = 0,入 2 = 5 , 这就是A 的两个特征值 2 ）求特征向量用来求特征向量的齐次线性方程组为（ XEn -A ） x =0rl- l - 2 ］（ 4 - 1 ） 勺 - 24=0 ,即1-2丸- 4 儿I ” ］ 飞+（ 尤 川 2 =0 , 属于储7的特征向量满足线性方程一勺- 2 ^ 2 = 0 ,- 2 x j - 4 ^ 2 = 0 ,J1 2 ］由系数矩阵I ： -""I "，同解方程为 X］ + 2 X2 =0 , 取 X2 =l, .•.XI=-2巧#• • • 特征向量 ' ，,全部特征向量为klP 1 （ k| M ）「 % - 2 与 =0 ,属于入 2 = 5 的特征向量满足线性方程组卜" 1 + * 2 = 0 ，I"-A由 系 数 矩 阵 也1） \° °/，同解方程为2X I-X2= 0取 Xi =l则X2=2. •. 特征向量 W，全部特征向量为k2 P 2（ k2 # ） ）无 序 （ "属于储= 0的全体特征向量是m上2 （ 化2 0 0）属于入2 = 5 的全体特征向量是例 4（ 1 ）当| 2 E n - A| =0 时 : 根据特征值的定义知道，2就是A 的特征值。

［ 答疑编号：1 0 0 5 0 1 0 4 针对该题提问］( 2 ) 当| E n + A| =O 时，因为| — E n —A| = ( - 1 ) n| En+ A| =O , 所以，- 1 是 A 的特征值［ 答疑编号：1 0 0 5 0 1 0 5 针对该题提问］例 5 . 设A 为 n阶方阵，但不是单位矩阵如果r (A+ En) + r (A- En) =n ， 问 - 1 是不是A特征值？［ 答疑编号：1 0 0 5 0 1 0 6 针对该题提问］解 因 为 Ar E n ，所以必有A —E _ # O , r (A—E Q >1 ,再根据 r (A + En) + r (A —En) = n 知道，必有 r ( (A+ En) < n即| A+ E n | =0 所以，一1 一定是A 的特征值5 .1 .2关于特征值和特征向量的若干结论命 题 1 三角矩阵的特征值就是它的全体对角元例如，设 A 是上三角矩阵:% * • • •0 • • • *5 =,2<0 ° …丸 一 % - *=口 (4 一 气 )0 0 ••• X~ an贝 1 J =(4 - " 1 )" - " 2 )…(尤- “ H )它的n 个根就是A 的 n个对角元。

命 题 2 一个向量p不可能是属于同一个方阵A 的不同特征值的特征向事事实上，如果Ap =Ap =p p , 则(入小 )p =0 , 因为p # )所以必有九=| i命题3 A 的同一特征值X 的不同特征向量P l, P 2 的线性组合仍是A属于人的特征向量证：若 P l、P 2 都是A 属于入的特征向量，即Ap i =Xp p Ap 2 =1 p 2则有 A (k［ p ］ + k 2 P 2 ) =k］ Ap 】 +k2 Ap 2= k］ 入 p i + kz aP 2 => (ki p i + k2 P 2 )* * - k］ p i + k2 P 2 仍是A 属于入的特征向量此外，还有下面的结论：定理5 . 1 . 1 n 阶方阵A 和它的转置矩阵人丁必有相同的特征值证：由矩阵转置的定义得到矩阵等式限-小卜 % - ④ 卜 卜 二 T I这说明A和 人 丁 必有相同的特征多项式， 因而必有相同的特征值.注意: A和 A ， 未必有相同的特征向量， 即当A p = X p 时未必有ATp = X p ,1 1］ 「 「= ,p = ,2 = 1例如， 取A L° 1」L°j ， 则有~ = ［： : 心 用 卜 " "A =t北H ；卜 ”这说明A 和 A1"的属于同•个特征值的特征向量可以是不相同的.定理5.1.2( 1 ) 若入是A 的特征值，则 小 点A"1的特征值，而且A"1与 A 有同一特征向量。

［ 答疑编号：10050107针对该题提问］( 2 ) 若九是A 的特征值且¥ 0 , 则 X-1是 A」的特征值而且A-1与 A 有相同的特征向量［ 答疑编号：10050108针对该题提问］证：( 1 ) 设入是A 的特征值，a 是 A 关于特征值入的特征向量Aa=XaA2a=A (Aa) =A ( 九 a) =X (Aa) =X2aA3a=A (A%) =A (X2a) =A? (Aa) =KaAma=A (Am-'a) =A (H % ) = ^ ' (Aa) =Xma( 2) Aa=Xa.,.A-1 (Aa) =A'' (Xa)Ea=XA-'a1— a； .A % =41 = 2-1.,.A-1的特征值为兀定理51.3 设 A 为 n 阶 方 阵 , f (x) =a1nxm+ am-ixm"+...+aiX+ao为 m 次多项式,f (A) =amAm+am“AmT+..aA+aoEn为对应的A 的方阵多项式如果A p H p ,则必有f (A) p=f (X) p,这说明f (入) 必是f ( A ) 的特征值，特别，当 f (A)= 0时，必有f (X) = 0 ,即当f (A) = 0时 A 的特征值必然是对应的m 次多项式f ( x ) 的根。

证：设 A 的特征值为入，特征向量为a• ••有 Aa=Xa, Ama=XmaJ f (A) =amAni+am-iAm"+...+a]A+aoE 时，有 f (A) a= (amAm+ an^jA^^.^+aiA+aoE) a= am (A% ) + am.j (Am-Ia) +...+ a 1 (Aa) +a( ) (Ea)= amXma+ am. i Xm-1 a+...+a ] Xa+a( ) a= ( 入 m+dm-次 m ' + .. .a[ 九 + a( ) ) C t=f (X) a・ ・・f ( A ) 的特征值为f ( 九) ，特征向量仍为a当 f (A) =0 时，f (A) a=f (X) a=0Va#) ：,f (X) =0-1 2-例 7.设A=L° 3」，求B=A2-2A+3E2的所有特征值［ 答疑编号：10050109针对该题提问］解：( 1 ) 因为A 是三角形，所以特征值为对角线上的元素，Q = l,入 2=3(2) B=f (A) =A2-2A+3E2的特征值为 f (1) = X2-2X+3V f (Q ) =f (1) =2f (12)= f ( 3) =6.1.B=A2-2A+3E2的特征值为2 和 6。

例 8.求出以下特殊的n 阶方阵A 的所有可能的特征值( m 是个正整数) :(1) Am=0［ 答疑编号：10050110针对该题提问］(2) A2=En［ 答疑编号：10050111针对该题提问］解：设 Ap=Xp,贝 ij A'np=Xmp,p^0( 1 ) 由 A .mp=Amp=Oxp=0 和 p # )知道 X=0( 2 ) 由 X2p= A2p=Enp 和 p#O 知道＞2=］ , 即 X=±l.5 .1 .3 关于求特征值和特征向量的一般方法下面我们通过实例介绍求方阵的特征值和特征向量的一般方法’6 2 4、A= 2 3 2例 9 求出 "2 6) 的特征值和线性无关的特征向量［ 答疑编号：10050201针对该题提问］解：( 1 ) 先求出A 的特征多项式IA-6 -2 -4 I_________ 11-2 -2 -4| 尤 £3 — H | — 2 A — 3 — 2 0 A — 3 — 2I ~4 — 2 A — 6 J |2 - A — 2 A — 611-2 -2 -4 IM x ① I 0 2 -3 -2I 0 -4 2 -lo |按第一列展开 a - 2)[ a - 3 ) ( " 10) -2x4]= ( l- 2 ) ( l2-131 + 22) = (X-2)2(X -ll)因此A 的特征值为X1=X2=2,入 3=11.( 2 ) 再求特征向量，用来求特征向量的齐次线性方程组为'4 - 6(AE3-A)X= -2p①属于入 1 = 入 2 = 2 的特征向量满足:- 4 々- 2 勺- 4 与= 0-2 / - x ? - = 0-4 xx -2x2- 4X3 = 01 4-2山系数矩阵1 -41 2 '0 00 0 ,二保留方程为2 *1 + 七 + 2 3= ° = > 々 = - 2 七- 2 人T 、X1= 1 ,看= Q — — 2令、 叱,0 、为=0 ,方= 1 = 必 = -2T 、A= -2.'A 属于X 1 = X 2 = 2 的特征向量为 I ° >②属于1 3= 1 1 的特征向量 @ 3） 满足方程5 XI - 2x2 -4X3 = 0-2X1+8X2- 2X3 = 0一仇 一 2x2 +5 / = 0系数矩阵卜4 -2 5 ）卜4 -2 %（ 0 -1 8 9 ）（ 0 Q 0 ） （ 0 0-10 ;P 1 - J f 3 = 0.I 同解方程为3 々 - ， 3 = 0令 x 3= 2 , 得 x 1 = 2 ,x 2 = 1 ,定理5 .1 .4 设是n阶方阵' =（ % ） - 的全体特征值，则必有= ?r（ R） ， r i 4 = MlM 2-1 2-1这里，tr （ A）为' = （ %L 中的n 个对角元之和，称 为 A 的 迹 （ trace） , 国 为 A 的行列式。

不证）例 1 0 验证例9 中的特征向量是否满足定理5.1.4的结论［ 答疑编号：10050202针对该题提问］解：⑴小( 4 )= 勾 1 + a?? =6 + 3+ 6 = 153Z 4 = 4 + 4 + 为 =2+ 2+11=15z・ ⑷x (-l),4422 -1口4 = \A\2-1“ 1 1 aUA= an a22例 1 1 设 3 阶方阵 1陶知% 、 2 3生J的每一行元素之和都是a , 验 证 a 一定是A 的特征值，A 属于特征值a 的特征向量［ 答疑编号：10050203针对该题提问］解：用定义二匆二翅； .A 的特征值为a , 特征向量例 1 2 证 明 国 = 0 = 4有特征值0［ 答疑编号：10050204针对该题提问］证： < = 若 A 的特征值中有九=0•特征方程 W - M = °= W I = °= 「 M…T， ： .|止则4, 4中有0例 1 3 若 A 的特征值为入，属于入的特征向量为p证 明 A-aE的特征值为b a , 且等于l a 的特征向量为p［ 答疑编号：10050205针对该题提问］证：已知Ap=Xp(A-aE) p=Ap-aEp=Xp-ap= (X-a) p・・・(A -aE )的特征值为( 九- a ) ,特征向量p 与 A 的特征向量相同。

例 1 4 ,若三阶方阵A 的特征值为1, 2, -2求下列行列式的值⑴田同⑵田2 £ |⑶M + 2 © ⑷|# + 3 4 - 4 司［ 答疑编号：10050206针对该题提问］解：由特征方程慎- '司= °知，特征值是它的根.• . ⑴X=1时，有 心 叫 = °( 2 ) 九 = 2时 , 有 < - 2 司 = 3 ) 入 =-2时 , 有 I " ? 同 = 4) VA2+3A-4E= (A-E) (A+4E). |A2 + 3A — 4^"|= |A — 5||A + 45| = 0例 1 5 若三阶方阵A 满足条件：求W + 止 0,怪 - A |= 0 |2 £ -A\= 0⑴ 忸 I , ⑵陛7| ⑶阳"用［ 答疑编号：10050207针对该题提问］解：特征方程। 九^一月卜° 的根是特征值二由忸- 川= °知 A 的特征值九1=1由怪+止 知 卜 £ 一 止0 ； . A 的特征值X2=-l由［ 2…= 知 A 的特征值入 3=2由公式优卜4 4 …4 得( ] ) | 川= 4 4 4 = lx ( - 1)x2 = - 2(2) 口 £ 一 川的特征值分别为 3-1=2, 3- (-1) =4, 3-2=1.|3 5 -A |= 2 x4 xl = 8(3) V f (A) =A2+A+E 的特征值为 f (k), f (k) =12+X+1若 A 的特征值入1=1时，f ( A ) 的特征值为1+1+1=3若 A 的特征值X2=-l时，f ( A ) 的特征值为若 A 的特征值; 0 = 2 时，f ( A ) 的特征值为4+2+1=7|/(4 )卜 W + 4+ £|= 3 xlx7 = 2 1例 16求 k , 使1是U 11、12'的特征向量。

[ 答疑编号：10050208针对该题提问]解：设 p 是 A 的特征向量，则有：(3 +1)尢 = 12 + 无一2=0'3 + 无、2 + 2兀、 3 + 牝4、kA二( 无 + 2 乂上-1) = 0 二无=-= 15 . 2 方阵的相似变换定义5.2.1设 A 和 B 是两个n 阶方阵，如果存在某个n 阶可逆矩阵p 使得B=p"AP则称A和 B 是相似的，记为A〜B当两个n 阶方阵A和 B之间存在等式B=PHAP时，我们就说A经过相似变换变成了 B同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质：(1 ) 反 身 性 A〜A , 这说明任意一个方阵都与自己相似事实上，有矩阵等式4= = 即AE*( 2 ) 对称性 若 A - B 则 B - A , 这说明A 和 B 相似与B 和 A 相似是一致的由… ， + g = F-1月 0 Q 月=「3尸 =[P-11] BP-'事实上，有 < '( 3 ) 传递 性 若 A〜B, B〜C 则 A〜C P ,这说明当人和8 相似，B 和 C 相似时，A 和 C一定相似事实上，E t l B=P''AP, C=Q」 BQ即可推出C=Q 'P'APQ= (PQ) “A (PQ)定理521相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。

证，设 B WAP,则由样 , —篮-尸“ ” ”小 篮 -小 ，可得到| 明 一 旭 1^( ^-⑷ P卜 「 卜|阳-川恒= 严卜 忸 甲 纥 - 止 |尸 尸 出 纥 -川= 即M T I= p l 纥 - 川注意，此定理的逆定理并不成，具有相同特征多项式的两个方阵未必相似例 1 ：［ 答疑编号：1 0 0 5 0 3 0 1 针对该题提问］(\ O V f l 0 )与IU U 1 J的特征多项式同为(入- 1 ) 2 , 但它们不相似,事实上， 与单位矩阵相似的方阵必为单位矩阵；推论，若 n阶方阵A相似于对角矩阵或三角矩阵:则其中的n个时角无4， 4， …4 就是A的 n个特征值这是由于三解矩阵的特征值就是它的对解元全体，对解矩阵是特殊的三解矩阵例 2,设下述两个矩阵相似：qA= 0、°0011 ,B= 0x) 1 °0 0、y o 句求出参数X 与 y的值［ 答疑编号：1 0 0 5 0 3 0 2 针对该题提问］解：因为国= -L忸卜-y,所以， 根据慎卜团立刻得到U | ］ l + x= ynl+x = l,立刻得到 x =0 y = 1 , 再根据 t r (A ) =t r (B),例 3 , 若 A〜B证明A ?〜B?［ 答疑编号：10050303针对该题提问］证：设 P 可逆B=P 'AP则有B2 = （ 产1取 ） = P-XA （ PP-'） AP= P~l［AE］AP=A2 ~ B2"1 -1 1、A= 1 3 -1例 4 , 求出 U 1 1 J 的特征值和线性无关的特征向量。

［ 答疑编号：10050304针对该题提问］解，先求出特征多项式：A — 1p l/ - 川 =- 1-1-10A — 2A -l 1 -11 |A 1 0= (" 2 )2 1 1 0 p>l>G(2 - 2 n i 1 01 o 1 \ |1 0 1按第三列展开(4_2九 ；1_1)它有三个根： 入1 = 1 ,入 2=入3=2属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 满 足 ，方程组:0 1、1 -1 演= -^ ,x2 = 00 0?P L取T 、1<1 >属于特征值入2=入 3=2的特征向量满足:& +々-可=0,= <一 为 一 工2 + 可 =0 ,= 4 +/ 一 /=0,二个=-x? +可. 一4 _ 2 + /= 0 .分 别 取 （ x2,x3）为 （ 1, 0） ， （ 0, 1）, （ -1、Pi= 0 ， />3= 1可取两个线性无关的解 1 ° ）这三个列向量就是需要求出的线性无关的特征向量"-1 1 0、A-----4 3 0例 5 , 求出 I 1 ° 2 ）的特征值和线性无关的特征向量［ 答疑编号：1 0 0 5 0 3 0 5 针对该题提问］解：计算特征多项式：A+1 -1 0〃£ “ 一看=4 A — 3 0 = （ 几—2） ［ （ 4 +1 乂九-3） +4］- 1 0 A— 2= （ 4 - 2） （入-1 ）它有三个根： ％ =2 , 8 2 =入 3 =1 , 经检验确有：4 + & + 4 = 4 =?广（= 2 = |A|属于特征值X . =2 的特征向量满足3^ - x, = 0,4公-x? = 0,=. 一演=o.大=0X2 = Q，X 3 右?意。

取属于特征值入2 =入 3 =1 的特征向量满足2再一演=0,4%- 2X2 = 0,「 玉 一 /=0. 即 .弓=一再可取解’ 1、Pi - 2、 一 ［ ）比较例4和例5 , 我们发现有一个明显不同的地方，在例4中，对应于二重特征值人尸入3 =2 找到了两个线性无关的特征向量，而在例5中，对应于二重特征值入2 =入3 =1 ,却找不到两个线性无关的特征向量定义522对于方阵A,若有户- 9 P = A （ 对角形矩阵）则说对角形矩阵A是方阵的相似标准形在实际问题中，最有用的是矩阵A与对角阵八相似的问题，为使我们介绍下面的定理:定理5 .2.2三阶方阵A 与对角阵人相似Q A 有三个线性无关的特征向量证：设 A 有三个线性无关的特征向量R,艮，△其中力耳= 4 耳M耳 = 4 月M与= 4 月☆ P = （ PI, 令 P3） V P , , P z, P 3 线性无关，； .P 可逆由P ^AP = A = P〈P ' AP )=P A = AP = P A% 0 0、A = 0 4 0若取1°4 ，4 0 0、4月4 )= (出 月 ) 4 o则有 1°。

么月月=4 6 = %以,AP ^ = 4 鸟本定理说明，若三阶方阵A有三个线性无关的特征向量P ] , P2, P 3.其对应的特征值为加 入2入3a )A = Aj则可取 P = ( P ] , P 2，P3) . I 4 )有P」AP=A若三阶方阵没有三个线性无关的特征向量，则A不能与对角阵A相似本定理可以推广到n阶方阵的情形，证明方法完全类似定理5 . 2. 3设小和s分别是n阶方阵A的两个不同的特 征 值M和L的特征向量， 则P i和P 2必线性无关证，已知&= 4 % % *当如果有列向量等式心1 + ? 2%=0 ----- 1则有从4 P l + ' 29 2 ) = 4 例 +， AP [= MA + 川2P 2 = -----2但另一方面又有4 + 1 2P 1 } =+ 婷2P 2 = ------ 3将上述②式减③式，即得( 入1 -入2 ) 1 1 P 1 =O ,但是入|之入2, P l W O ,于是必有1 1 =0 ,再将它代入①式，并由P 2 r 0 ,又得到了 1 2=0 ,这就证明了 m与P 2线性无关一般地，对A的两两互异的特征值的个数用数学归纳法可以证明：定理5 .2.4设 Q,入2 ,…，儿 是n阶方阵A的两两不同的特征值勘是属于％, i s i w k的特征向量，则P l，P 2, …P k是线性无关组。

我们常把这个事实简述成：属于方阵A的两两不同特征的特征向量组必为线性无关组根据定理5 . 2. 2和定理5 . 2. 4 ,可以得到以下两个重要结论：( 1 ) 任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵：( 2) 对角元两两互异的三解矩阵•定相似于对角矩阵；( 3 ) 若 A 中任一 k 的特征根对应有k 个线性无关特征向量，则 A 一定与对角阵△相似3 -1 -2A= 2 0 -2例 6 ,问 L2 -1 -1 」 是否相似于对角矩阵？若是，则求出其相似标准形［ 答疑编号：1 0 0 5 0 3 0 6针对该题提问］解：A - 3, 男 - 月 卜 -2-22 1 12 = A 1 AA + l 1 122A + l1 2 A 11 1X 0 A-l0 02o = 4 ( 4 - 1 4 = 4 = 1 , 4 = oA - 1属于人产入2=1 的特征向量满足:-2XI+X2+2X3=0,即 X 2=2( X 1 -X 3 )可取两个线性无关的解：P i =2 也0-2n 0 1 、P =( 百 % 用 ) = 2 -2 1于是找到可逆矩阵 1 0 1qP、A P = 1使得 I例 7, I 1 2)( 1 ) 求 P , 使 P ' AP =八； ( 2) 求 A，［ 答疑编号：1 0 0 5 0 3 0 7针对该题提问］解： ( 1 ) 先求A的特征值，将 特 征 方 程 % = °2 -1 0n1 A -2..4 = L 4 =20 0 ( 4 -1)(4 - 2) = 0再求特征向量，可解齐次线性方程组（ 入E-A） x=0求基础解。

g o 润当人产1 时，齐次方程组为U WPi/.xi-X2=0 取( ! )1当入2=2时，齐次方程组为111 0由 I 1 0) \010]㈤«A =取 x2= l得0由本题知，若 p"AP=A则有A=P/\pTAk = pAkpA(\A山对对角八的k 次方容易计算，若A ?4,A则l 动,可以化简N 的计算A例 8 , 若二阶方阵A 的特征值入1 =1 , A 2=2, 对应的特征向量［ 答疑编号：1 0 0 5 0 3 0 8 针对该题提问］解：取cm求 AA =a o>J 「=p 0lo 24 0、、 °则有p-，9 = A A= pKp-xAf l O ' 1 01 001 0U 1 )[0 2 八-1 12人-1 1 )f l Q］t 2>小结求相似更换矩阵P,使 P ' AP =八的步骤第一步，解特征方希1E-川=° ，求特征值Q，九 2 , 2 3第二步，对应于每个特征值为(i = 1 , 2 , 3 )解齐次线性方程组“0 - A ) x = ° 的基础解小就是特征向量(i = 1)2, 3 )注意k 垂特征应用有k 个基础解向量。

第三步，令相似变换矩阵p = (P | ， P 2 ， P 3 )(\p - 1月 尸 =A =有45 .3向量内积和正交矩阵为了引进正交矩阵这一类重要的方阵我们先介绍两个向量内积的概念5. 3 . 1向量内积定义5. 3 . 1 两个n维行向量 如々， …M ） ， 乃 = （ 有也「 也 ） 的内积为n（ %尸） =Z *=她+砧 2 + -+ a瓦2-1两个同维向量的内积是对应的分量的乘积之和，它是一个实数显然，两个n 维行向量&=（ 卬 %…工 ） 1=（ 4 也 …外的内积为（ 名尸） = /b（ % , 尸） =犷=（ 的 .乜 ） ；即=6“+4& +…+ a1A两个列向量的内积（ 名产） = 羽 'b侬 尸 ） = 明 ’ =（ 勺4\h • » /,即=4句 + 2 & +…+1A注意：1 、从内积定义可以看出：无论两个行向量还是两个列向量只要是同维就有内积，他们的内积是个数，内积的大小等于各对应分量乘积的和例 1 ，求向量 a = （ - 1 , - 3 1 -2, 7 ）与 B= （ 4 , - 2 , 1 , 0 ）的内积［ 答疑编号：1 0 0 50 4 0 1 针对该题提问］解： （ a B ） = （ - 1 ） X 4 + （ - 3 ） X （ - 2 ） + （ - 2 ） X 1 + 7 X0 = 0定义53 2 n维行向量a=⑶曲, …, 如 ）的 长 指 的 是 实 数 阿 卜 招 ㈤ ,当 同 “ 时，称 a为单位向量。

・ ••若 a= (a 1 , a2, . . . , an), 则例 2 , 若 a = (ab a2, •••, an)&一 a求 1 1 ^ 1 的长度［ 答疑编号：1 0 0 50 4 0 2 针对该题提问］解•J ㈣ =晒J + (妫 / + …+=+ d + … + d叫M l-H=R-H=I定义，若向量a的长度1H L就说a是单位向量由例2可知， 任何一个非0向量a , 除以它的长度后得到的向量a小 ”一定是单位向量定 义 5. 3 , 3 设…以 ） 与乃=（ ”也 …妇 正 交 当 且 仅 当 2岫° ,即* + &U + - - + a 也 =0由此定义可知， 零向量与任意同维的向量都正交， 反之，如果某个n维向量a与R ” 中的任意一个向量都正交，那 么 a当然与a正交，于 是 （ a , a ） = 0 知道必有a = 0 定 义 5. 3 . 4 如果一个同维向量组中不含零向量，且其中任意两个向量都是正交的（ 简称为两两正交） ，则称这个向量组为正交向量组定义5 35 若， …% , ｝ ， 2 , 那“的 是 R ” 中的一个正交向量组， 且其中每个向量都是单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组。

正交单位向量组）问卜 \ / 1 4 , - 7 = (1 ,2,3 )例 3 , 对于 a = (1 , 2 , 3 ) , 有 S4对于产= (3 6 , 9 ) = 3 (l, 2 , 3 )= 3 a , 有8= i A j i , B= i i 7-i 1 *^a r = F l* a =函=~2 , 3 ).阿网 h ll 忖因此，在求产= 无& *0/>0的单位化向量时，可把正倍数k 去掉，直 接 求 a 的单位化向量［ 答疑编号：1005 04 03 针对该题提问］例 4, 设&用则( 1)( 区万》 一 . ， £)仇产)， ( 9， 万卜， 力+ 2 & 都是无意义的表示式，因为，维难数大于1 的向量与数不能相减和相加 2 )因为一维向量a= ( a)就是一个数a , 所以，它的 长 度 就 是 数 a 的绝对值1aL例如，a= ( 6 )就是实数轴上的点x = 6 ,对应向量的长度当然是6, 因此，对氏" e*有:| | ( 国划= "⑻|⑶ 当 "0时,是向量，当 6 = 0 时 . ，它无意义［ 答疑编号：1005 04 04 针对该题提问］例 5 ：求 向 量 a= ( 1, 2 , 3 ) 与 B = ( 4 , 5 , 6) 的内积［ 答疑编号：1005 04 05 针对该题提问］解： ( a B ) = 1X 4 + 2 X 5 + 3 X 6 = 3 2例 6 , 在 R， 中的耳= ( 1 ， ° ， ° )， 马= ( °， 1 ， ° )， 弓 = ( 0， ° 」)，显然是标准正交向量组，不难直接验证以下三个三难向量也是R'中的标准正交向量组。

= ］( 2 ,- 1,2 ),% = - ( 2 , 2 ,- 1), % =- 2 )［ 答疑编号：1005 04 06 针对该题提问］h l | = | 价 + ( - 叶 + 2 ］ = L 同=；^ 22 + 22 + ( - 1)2 = L 同=1J 12 + ( - 2 )2 + ( - 2 )J = 1( % ,药 ) = ；( 2 x 2 + ( - l )x 2 + 2 x ( T)) = 0 . . % _L %(%% ) = g ( 2 x l + ( T)x ( - 2 )+ 2 x 2 )= 0 . . 4 _L %( % ,4 ) = ；( 2 x l + 2 x ( - 2 )+ ( - l )x ( - 2 )) = 0 / . /例 7 , 求非零向量r, 使得r与 a = ( 1, 1, 1 ) 与 S = ( 1, - 2 , 1 ) 都正交［ 答疑编号：1005 04 07 针对该题提问］解：设 r =( x i , x2, x3) , 则由向量正交定义知道必有( a, y ) = 0 / 玉 + /+ G= 0［ ( 用 y )= o ［ 演 + 2 X ? + 可= 0从一般解为X 2 = 0, X 3 = - X 1,于是r =( a, 0, - a) ， a 为任意实数。

定量5 . 3 . 1 正交向量组一定是线性无关组［ 答疑编号：1005 04 08 针对该题提问］证，设% 根之2 是一个正交向量组，如果有向量等式k1ax + k2a2 -+ kmam = 0则由向量之间的两两正交性知道，对于任意一个I W i W m , 必有（ % 码 +…+%%…+用％0） = （ 0,« ） = 0* ……+ & & 0） =尢（ ％*=0由 a i W O 和 （ a i , a i ） W0 知道k i = 0, i - L 2 , •••, m于是，4， ％ …,， 为线性无关组因为线性无关向量组未必是正交向量组，所以自然会提出问题：如何根据已给的线性无关向量组，构造出与它等价的正交向量组，为此，我们介绍施密特（ S ch m i dt ）正交化方法：如果已经给出含有m个向量的线性无关向量组,那么一定可以按以下步骤得到正交向量组T = ｛ 因， 良， …瓦 ｝施密特正交化方法的计算步骤如下，利用向量内积可依次求出所需的向量:用 =%( % ⑸ )( 闻⑷Ao（ %㈤o （ % 战 ）o用 = 药 _ 而 居 - 标 尼a ~ （ % ⑸ ） a （ % ⑸） ° （ % 氏-1 ） a九 一 "（ 4㈤ * （⑸闻⑸ （ 瓦T， 瓦. J瓦,特别情形：（ 1）若向量组a„ a 2 线性无关，则取（ e用 =%一 ' 果祝风）P ,= a„ D 时，必有向量组6” 以正交，且耳， 用是标准正交组。

2 ）若向量组a ” a 2 , a 3 线性无关，则取用 =%，R (% B ? ) R…一而后尾 = % 一（ % 网）s .（%㈤区（ 品 ㈤ 网 （ 跖㈤时必 有 向 量 组 品 & 月 正 交 ，且自， 房， 房是标准正交组6 =例8 ,将［ 答疑编号：10050409针对该题提问］B _ 仪, 一（ %8）£ _…丽T国一邑_乜_出 种 良八%， 阶g -I 平时标居一再把它们单位化可以求得5. 3. 2正交矩阵定义5.3.6如果n阶方阵A满足4岸 =% , 则称A为正交矩阵［cos a sin3） （ cos 夕 sinsinS c o s ,与［ sing - c o s ,都是正交矩阵［ 答疑编号：10050410针对该题提问］证：正交矩阵的基本性质，设A是n阶正交矩阵，则有下列结论:cosG sin 3 )-s in 5 cos5J'coss in 、、sin cos 1cos 8 sin 5、 (CQS0 sin0、sin 3 -cos %(sin 3 - cos .J-、0 1>⑴M卜士1 ；事实上， 对 月 / =E*用行列式乘法规则和行列式性质印卜国知道， 有M f = 1 ,所以必有I止±1。

\ n但反之则不然，行列式为± 1的方阵未必是正交矩阵， 月 =n J例如， 业“不是正交矩阵⑵事实上， 由 力 肝 = 稣 立 得 力 孑 = / ，这就是说， 正交矩阵的逆矩阵就是它的转置矩阵3 )正交矩阵的转置矩阵和逆矩阵也是正交矩阵事实上，有AA^ = £„<=> = A '1 = = Ex即加1 (/1 / =当 ，这说明正交矩阵的转置矩阵和逆矩阵也是正交矩阵定义5.3.7设A是n阶方阵,x,y是两个n维列向量, 则称线性变称y=Ax为正交变换定理5.3.2两个同阶的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵证，当= & , 腑= %时，必有:= ABBrJ^ = Ex这个结论可推广到有限个正交矩阵相乘的情形，即有限个正交矩阵的乘积•定是正交矩阵例如，若A, B, C都是n阶正交矩阵，则由[ABC)(ABC/ = ABCCf 8rM = Ex知道，ABC是正交矩阵定理5 .3 .3 n阶实方阵A是正交矩阵= 工的n个行向量是标准正交向量组的n个列向量是标准正交向量组 工我们以n = 3为例示范证明如下它可直接推广到n阶正交矩阵的情形设三阶正交矩阵A的三个行向量为% ， % ， 的则由分块矩阵运算法则得到AAr =0 0、= 010< 0 0 1 ，（ T01alT的名gdT T\/ ％ ’的的的' a "r T的 % JZr r的（ %,%,%） =AAr =4 == <所以1 ,0 ,i= i这就证明了 A是正交矩阵当且仅当% ， 的 ， 的是标准正交向量组。

同理，设三阶方阵A的三个列向量为4其 ， /3 ,则由AAr = 射（ 凡匹尾） =B：瓦 龙 人庚 医 区 为勺o 0、= 010< 0 ° 1 ，r 口，= 自典=[0=J知道，A是正交矩阵当且仅当瓦，# 2 , # 3是标准正交向量组2 _定理5 .3 .4设A是n阶正交矩阵，九是A的任意一个特征值，则¥0而且，也是A的特征值证 ( 1 )因为口4 = 国= ±1= 1i -1,所以，A的任意一个特征值人上( 2 )当A p =、p时，必有 5 ，这说明］ 是H的特征值，因为A的H必有相同的特征值，所以£也是A的特征值5. 4实对称矩阵的相似标准形定理541实对称矩阵的特征值一定是实数，其特征向量一定是实向量定理5 .4 .2实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量一定是正交向量证 设 布1 =40， & 2 ,分别计算以下两个实数：P ；( 曲 ) =P ：区 ％ )= 4 " PA，(p ： 0P2 = (.P l P i = =(4 P 1 )「P 2 = ZP： P 2 ，因为 P ： ( & 2 ) =所以办P ： P 2 = ^i P l P l ' 即(A ~ ^l )P \P l ~ 0再据4 Hz i2 即可证得P ； P 2 = °， @ l ， P 2 )= 0 所以。

1 -1 -^ 2 .若存在正交矩阵P,使得产- U?=3,则称矩阵A正交相似于矩阵B定理5 .4 .3 (对称矩阵基本定理)对于任意一个n阶实对称矩阵A , 一定存在n阶正交矩阵P ，使得% 、P 'xA P= PrA P= 4. =A< 4 )对角矩阵A中的n个对角元… ， 々 ， 就是A的n个特征值反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵证明略)下面举例说明如何求正交相似变换矩阵P,使A正交相似对角形的方法A = — — 02 20 0 3例1求出 I J的正交相似标准形［ 答疑编号：10050501针对该题提问］解 （ 一）先求特征方程, 下一＜1=0的根（3 1、2 - - - 02 2口 纥 -H = 1 °0 0 2 -3\?= （ 2 -1） （ 2 - 2 ） （ 2 - 3） = 0它的三个根为4 = L 4 = 2 ,4 =3（ 二）解齐次线性方程组（ 九5一/ ） x = °求特征向量 1）属于4 = 1的特征向量满足:1 1- 加 + /= ，1 12f = °，- 2 / = 0工 1~2 22 _22 ~20 00口 -10^00-2 °0、0b7同解方程为玉= 芯2，弓 =0，取 与 =1 ,得 五 =1(2)属于4 = 2的特征向量应满足方程2120121200, 1 10 7 0 0- 1 o0、0b由I /*同解方程为［ 勺 =0取兀2 = - 1 ,则 公 =1玉 + / = 0(3)属于4 =3的特征向量应满足方程< 32120 0 02212012320◎0°0< 10 7 33 0、1 00 0 ,由I )qo,o3— 800、00,o< 03100、00,qoo1o0、00 ,, 同解方程为为= °， 马 二0 ，々任意，取今=1得（ 三）• ； 历 ， 「 2,乃是不同特征值的特征向量a ' * ' 1 r必 ， 必 ， 必 正 交 。

尸=（ 71，2，尹3） =oO11一V21FO_Lfv2o. •. 取p-、AP = h =有 <在求矩阵的正交相似标准形时， 在正交矩阵P 中的特征向量2 的排列次序和对角矩阵A中的特征值4 的排列次序，其排列方法不是惟一的，但是用必须与4 互相对应，即 P 的各列的排列次序与特征值的排列次序必须一致因为例1 中给出的三阶对称方阵的三个特征值都是单重根， 所以， 分别求出的三个特征向量一定是正交向量组，只要把它们逐个单位化，就可拼成所需的正交矩阵，如果某个对称矩阵的特征值有一些重根， 那么求出所需要的正交矩阵的方法就会稍许复杂一些， 不过容易求出可逆矩阵P使F " 金产为对角矩阵「 4 2 2、5 = 2 4 2例 2求出 V2 2 4 J 的相似标准形［ 答疑编号：10050502针对该题提问］解（1）先化简特征方程:% —4 - 2|2£3- ^ |= -2 2 - 4-2 -2-2 1-2 = (2 -8 )12 - 4 1-2 -24 一4 — 2— 2 4 - 41= (2 -8 ) 00-2 -22 - 2 00 2 - 2= (兄 — 2)20 — 8) = 0它的三个根为4 = 8,4= 4 = 2；（ 二）求特征向量（ 1）属于4 = % = 2的特征向量应满足方程组, 同解方程为为+ 々+工3 = 0, '1 - Xl = ~X2 ~药分别令叼=L药 =0和 马 =0,覆 =1得基础解4-2-2r20,0-24-2-110- 2、-24/，20<0-10,0<0-13-3010-1、-33)-2、-1r20<0< 10-13-3010-P-3。

/-1、— 10,- >一一丸 = /同解方程为［ 电 =勺 令 J = 1得为=1, M=11（ 三）取r- l -1P = C P 166)= 1 010 15 1 f2A = % = 2k %) \有 F-b4P= Ar4 2 2、幺=2 4 21例3求出 〈2 2 的正交相似标准形［ 答疑编号：10050503针对该题提问］解我们介绍以下两种方法求出所需要的正交矩阵 -)［ 施密特正交化方法］ 把在例2中已求出的三个线性无关的特征向量下面先将同一特征值4 = % = 2的特征向量/ 产2正交标准化仁1、£i = Pi = 1尸=（ 尸 也 尾 ） =取有尸-b4P = A其中P正交A1一V3 11一V3 11一JV 31-716一V62一击1/1唬82（ 二） 直观方法：求属于4 =% = 2的特征向量时，已知它应满足方程再+弓+恐二°(1 )-2可直接取 L U11 1正交,1、片=0 ， 月 =由于耳， 鸟， 鸟已正交，所以直接单位化-1V6=707、=、.2<2,A =1^一抬1一用1一51-几2■1袤1-^01--^/X取有尸- 】 波=A其中P正交显然，用直观法简便多了。

这里所介绍的用直观方法求单个方程的两两正交解， 毕竟有它的局限性， 基本方法仍是施密特正交化方法例4设三阶实对称矩阵A的特征值为4 = - 1 ，友 = 友 =1 已知A的属于4 = — 1的特求出A的属于特征值4 =为 =1的特征向量，并求出对称矩阵A［ 答疑编号：1 0 0 5 0 5 0 4针对该题提问］解 因为属于对称矩阵的不同特征值的特征向量必互相正交， 所以， 属于4 =1的'始x=电，特征向量• • •属于不同特征值的特征向量一定正交，• ：（ 々，x ） = °Ax向量的分量满足方程与+弓=0 ，两任意,（0、舄 =o ,鸟=1对此可取线性无关解 1 ° ）令9 1 0、产=( % & & = 1 0 1[1i jP-XAP = KA = PKP'X，0— 1r1i oyo0 1 2101< 10< 00 0、0 -1-1 0 ,注 这里不要求变换矩阵p是正交矩阵，所以没有必要把求出的特征向量组标准正交化例5设三阶实对称阵A的特征值为4 = 1 ， 4 =2 , & = 3,属于4, 4的特征向量㈠ (1、片=-1 ,舄 =-2【1 1 1一】 1 求 A的属于4的特征向量为［ 答疑编号：10050505针对该题提问］仅 '月 = 为，解：设 因为月与耳， 名与马正交，所 以 (々 ㈤ = 0 ,( 段 珍 = 0. 一再一弓 + 弓 = ° n = "3相应的方程为1再一 2与一勺=0 ［ 与 = 0本章小结( -)本章的基本概念( 1 ) 实方阵的特征值，特征向量的概念。

若 a W 0 ,且 Aa = A . a则 a 叫 A属于特征值X 的特征向量 2 ) 特征向量的性质(i ) 若 ％ 与 % 是 方 阵 A 的 属 于 同 一 特 征 值 入 的 特 征 向 量 的 线 性 组 合 ， 占 % +总 ％仍是A 属于人的特征向量 i i )方阵A 的不同特征值的特征向量线性无关 i i i ) 对称方阵A 的不同特征值的特征向量正交 3 ) 特征值的性质(i )若九是A 的特征值= 兄” 是d的特征值，兀”是4 I 的特征值FQ)是 储 ) 的特征值 ii ) = °是 A 有 0 特征值的充分必要条件iii) A 与 有 相 同 的 特 征 值 i v ) 若 B〜 A , 则 B 与 A 有相同特征值，迹和行列式 v ) 若乙， 为 ， … ， 右 ， 是 A 的全部特征值，则有① 国 = 4 %… •% ， ② 知 + 知 + …+ % * = 4 + 4 + … + 4 ,其中, 1 + 22+…+ %X叫 A 的迹tr(A)( 4 ) 向量- =(%， ?， … , /)的 长 度 同 = 册 + … + a；a同 I 一定是单位向量。

5 ) 内积 若 &=孰 ,％ ,… ,a*),g =(瓦， 瓦， … ,bj则3 爹 ) = % 4 + … + %&若(a ・£ ) = 0<=>a _!_/( 6 ) 若4 4 r = A =下，则 人叫正交矩阵性质 (i ) A 正 交 = 幺 -1 = @( i i ) 若 A 正交= M I = ±1(iii) A 正交Q R 的行向量组是标准正交组，A 正交= 工的列向量组是标准正交组.( 7 ) 若 P 可逆，使尸" ， 尸= B = < ~ B特别情形尸" 刃尸=A =反与A 标准相似 8 ) 若 P 正交使尸" ‘ 尸 = A Q幺与A 正交相似这时有尸一4尸=A =/ =PKP1'( 二) 重点练习内容定理：只有对称阵才能与A 正交相似( 1 ) 解特征方程卜" 一' 1 = °求特征值4 , 4 ，;1 3.( 2 ) 解齐次线性方程组( 为反一力女二°求A的属于特征值” 的特征向量 3 ) 求可逆阵P , 使尸- U ? = A 的步骤(i )解特征方程% " “1 = °求特征值友办友( i i ) 解齐次线性方程组( 4 * —° , 取它的基作为A 属于4 的特征向量2 ,( i = l , 2 , 3 )若为 是二重根，则特征基可能有二个。

i i i ) 取尸= ( 0 /2产3 ) _ 定有p-、AP = h= %( 4 ) 求正交阵Q,使0 7'A 的步骤若 A 是对称矩阵，(i )解 特 征 方 程 一 H 二°求 特 征 值 ( 根 ) 4， 4， 4( i i ) 解齐次线性方程组( 4 下一/ 江二°, 求特征向量，通常取其基为特征向量 也 ) 若 之 4,4是单根，则必了2 . 为已正交P i - %%取 " 「 同P一m’马 一 两则P 1 ， P 2 ， P 3 是标准正交组若4 =4是二重根，则取B\ = P\A _ „ _ ( 外 用 )p >A= 3再 取 闻 一A网万产二一星两百' 是一一一两 ，0-%Q = A= 4( i v ) 取0 =(4外 阿 必 有 \ % )本章作业教 材1 3 5页 习 题5 . 11 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ( 1 ) ( 2 ) , 7 , 8 , 9, 1 0, 1 11 4 4页 习 题5 . 21 ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 6 ) , 2 , 3 , 4 ( 1 ) ( 2 ) , 5 , 6 , 7 , 8 ,1 5 2页 习 题5 . 34 , 5 ( 1 ) , 6 , 7 , 8 ( 1 ) ( 2 ) , 91 6 0页 习 题5 . 41 , 2 , 4 ⑴，5 , 6 , 7第六章实二次型在本章中， 我们把在第五章中所建立的实对称矩阵基本定理， 具体运用到求实二次型的标准型问题，并讲座正定二次型和正定矩阵。

6 . 1 实二次型及其标准形6 .1 .1 实二次型的定义定 义 n元实二次型指的是含有n个未知量为， 与， …， / 的实系数二次齐次多项式，〃五, 勺，…， / ) = ，k+ 2anxxx2 + 2 1 3为弓+… + 2%再/+4 2 2君 + 2 4 2 3々 入3 + 2aA ---^^a2nX2Xx+ --+ /-*& ++a篇，» X=ZZViV这里%= L2 , …, *它可简写成矩阵形式：4 1 au …‘ 再、〃 s / 、 以 1 2 a22 …a2n X2例如卜 以1 2 八M )+2 41 2再 电 +2^BX1X2=, ) ， 2 々2 2 劭3 工2\aB % 物八4 /所以一般地有了（ 网， 々， … ， X * ） = xrAx ,A 为 n阶实对称矩阵X »〃再， 石， … ， /） =二 2 囹% 亏一旦选定未知量组再， 句， …， / , 则 n 元实二次型 2 川 与 n阶实对称矩阵" =（ %） * 、 x 是互相惟一确定的称 A是二次型f 的矩阵，称 f 是以A为矩阵的二次型由此可见，n 元实二次型与n 阶实对称矩阵之间密切相关，完全可以用第五章中关于对称矩阵的结论讲座二次型。

在本课程中，我们只讨论对称矩阵和实二次型，因此往往省略••个“ 实” 字例 ］ 写出二次型,（ 々， 々， 入 3 ） =入 ； _ 2 君 _ 2 君 _4 二 1 々 + 4*3 + 8 々金对应的对称矩阵 A［ 答疑编号：1 0 0 6 0 1 0 1 针对该题提问］解可根据所给的二次型的各个系数直接写出时应的对称矩阵• ' a1 1 = 1 , ^ 2 2 二 - 2 ,以 3 3 = - 2, = -4 ,2 aH = 4 2 7 2 3 = 8例 2写出山对称矩阵确定的二次型/ = / ' 为［ 答疑编号：1 0 0 6 0 1 0 2 针对该题提问］12 13 14以 22 以 23 424a23 白33 %4% 的4以4 Ja* = 4/（ 工1，町， 兀3，々）2 , 2 , 2 . 2=+ 以22*2 + % 3,3 + 以44公+ 2«]2々々 + 2 a13x1x3 + 2 « ]4再々+2%叼弓+ 2町 / 入+2«34亦3勺=X ； — + 4五 ； -2升通-6公弓+ 2再公-4X2X3 + 4演 A - 3弓勺6 .1 .2 二次型的标准形(- )定 义 6 . 1 . 2 只有平方项” ; 而没有交叉项石勺/ / ) 的二次型称为二次型的标准形，其对应的矩阵为对角矩阵现在要讨论的问题是，对于一个一般的n 元二次型,( 瓦产2 ,… ， X x ) = //x, 是否存在某个可逆线性变换』 = 4%+%%+ - • + % 片 ，, 芯2 =。

2 7 1 + °2 2乃 +一 ,+ 巧* 丁£ ，居= % / 1 + 4 2乃 + -- + 匕加1) \，即使=+ d2 H ' ?上述线性变换可记成x = C y ,其中C为n阶可逆矩阵 - ）定义三：若存在可逆阵Q ,使「 力0 = 8就说A与B合同，记作工= 8定义四，若存在正交阵Q ,使= 3就说A与B正交合同由上面的定义可见矩阵A与矩阵B相似与合同是两个完全不同的的概念，但是若Q正交,则, 所以A与B正交相似与A与B正交合同是一回事 三）若…， x Q = x"x,作变换x = C y后，有x'/C'=>/ = xrAx = / CrACy = / (CrAC)y在第五章中， 我们已经知道实对称阵A 一定有正交矩阵P使尸T 金尸=A即F^AP = A ,这样就可以将二次型,（ 再， 勺， …， /） 变为必， 乃 ， …， 居的标准型， 我们用定理的形式叙述上面结论定理6 . 1 . 1对于任意一个n元二次型/ = 一定存在正交变换x = P y ,使得/ （ x1 （x2,---,xJ,） = xr7 4 x= 1 / A y =为4+ 4月 +…4M其中，… ，4就是矩阵A的n个特征值。

我们把这种标准形称为二次型/ = 的相似标准形， 它的门个系数就是对称矩阵A的个特征值例4设4元二次型,（ ' 卜 工2，入3， %） = / / x的矩阵为’ 0 1 1 -P10- 11A = ,1 ~1 0 1-1 1 1 0 ，用正交变换把它化为标准形［ 答疑编号：10060103针对该题提问］解 先求出A的特征值10W)01= ( 兄- 1尸00-1 12 + 1 22 兄+ 1= (2 -l)a(2a + 2A-3)= (2 -1 )* 2 3(2+3) = 0-1 -1 12 + 1 2 -22 2+1 -20 0 2 -1A的4个特征值为4 = - 3 ,4 = 4 = 4 = 1属于4 = — 3的特征向量满足：- 3再一/一弓+ 彳4 = °，一 再 -+ 弓一无4 - 0,一 / + 叼 _3均一勺=0,五一叼一过一3勺 二0,0- 20-1100-1 -3、0 11 1-4 -A)rl 00 10 010 0-1 -2、0 11 10 0 ,'1 0 0 -1、0 1 0 10 0 1 10 0 0?同 解 方 程 为 / = 勺 ， 々 = _勺 ， 弓 = _勺 取属于4 = 4 = 4 = 1的特征方程：再 _勺 一 弓 + 勺 =0根据在5.4节例5中所述的直观法求出三个两两正交解（ 然后再单位化） :于是找到正交矩阵22~2经正交变换x=Py后，原二次型化为标准形If正1 / （ 内， 与， 弓， 4） = = ＞/ （ ＞力为 y =/Ay(-3 0®， 乃 ， 乃， 乂 ） ° °、 0 000100 、00%、为乃5 ,=y ( x1, x2, ^, x4)=g O l ， 丁 2 ' %' M )= -3六+ 总 +4+ y ；6 . 1 . 3 用配方法求二次型的标准形以上所介绍的求二次型, （ 々， 叼， …， x " ） = "'x的标准形的方法是， 先求出对称矩阵A的所有特征值, 再求出n个两两正交的单位特征向量组小， 死 ， … ， 外 ， 把它们拼成正交矩阵p , 就有尸- ］ 幺尸= 户＞』尸 = 八 ， 其中A 为对角元为实数4， 4的对角矩阵。

实际上，这就是找正交变换x = P y , Ppr = En,把原二次型化为标准二次型/ =八+为\ +… + 4»,其中，4 , 4 , … ， 4 是矩阵A的n个特征值实际上，对于给定的二次型/ = 未必要通过上述正交变换， 而可用可逆线性变换x = P y , P为可逆矩阵，使得4 、卢 A P= & =Ak公/来得到标准形/ = x~x = / A j z = d状 +心 门 + … +48H我们把这种标准形称为二次型/ = 的合同标准形， 它的n个系数未必是对称矩阵A的特征值常用的方法之一是用配方法求出它的合同标准形现在用实例示范说明如下例 5 用配方法求/ = （ " 1 ， * 2 ） = W - 4 再弓+ X ；的标准形［ 答疑编号：1 0 0 6 0 1 0 4 针对该题提问］解用配方法把所给的二次型改写成/ =（ 和 必 ） = x ； - 4根2 + 君=（ 五 ；- 4再叼+ 4 4 ） - 4君 + 君=- 2 / ） 2 — 3,（ 为 =再 一 2X2,作可逆线性变换I 丫 产 "即2< 0- 2 ）卜 ］ 、1 J \Z2 ;立刻得到标准形/ =★一③百。

需要注意的是，由于所用的是一般的可逆变换，不一定是正交变换，所以不能说所得到的标准形的系数1 . - 3就是此二次型对应的对称矩阵的特征值事实上，它的特征值为1 , - 1例6用配方法求/ （ 々， 与， 巧） =2西电+ 2 x ^3 - 6与弓的标准形［ 答疑编号：1 0 0 6 0 1 0 5针对该题提问］解为了配出完全平方，我们先作如下可逆线性变换产生平方项否 = 当 + 吗 ，电 = 万 一 心 ，玉. 弓 = 、3 ，即 5/它把原二次型改写成< 11< 01— 1o0、ob* 、乃/（ X1 , X2 ,入3 ） = 2々电 + 2 x ^3 - 6X2X3= 2优 + 匕） 0 1 - 匕 ） + 2 0 1 + 匕 ） 匕 -6 （＞ 1 - 丁2 ）匕= 2火 一 外 必 - 2达+ 8乃乃=2 （＞ ； - 21y必 +% ） -2 必 -2 H + 8乃乃= 2 3 1 - 抬 尸 -2 7 2 - 2 * - 2封 + 8为必=2 J 1 - 乃y - 2 0 ： - 4 乃乃 + 4*） +8 y - 2 y= 2。

「% ） 2 - 2仇 -2 % ） 2 + 6村再作可逆线性变换4=必 一 %， ，必= z「Z 3Z ?=为 - 2 y 3 , = M = Z ? + 2 Z 3 =Z 3 = % ， I 乃= Z 3%、丁200107㈤2 z21 J \Z3 >就可得到所给二次型的合同标准形y = 2 z " 2z 1 + 6z l .1 o V i-10 0010- f21 ,Z1Z2rl 1=1 - 1而作 变 换1 ° °有/ = 2 z f - 2 z ： + 6z 1 .6 . 1 . 4二次型的规范形对 于 任 意 一 个n元实二次型/ = "jx,可以通过以下两种方法之一得到标准形心 电 +…川 ；•种方法是通过正交变换x = P y后得到的，其 中P是n阶正交矩阵，满足严尸=E *‘ 4 、PrA P = P ~xA P = K= 否.此时，根据 I 4)知道， 所得到的标准形温 +% £ +…川 ;中的n个系数就是对称矩阵A的全体特征值另一种方法是通过可逆变换x = P y后得到的，这 里P为可逆矩阵，此时，标准形d'M…&中的系数就未必是对称矩阵A的特征值。

我们要指出一个重要事实：不管是通过哪一种方法得到的标准形，都可以进一步化简我们先看一个实例例8对于三元标准二次型」=2 ★-3必+ ° * * ， 经过可逆线性变换与 =必，=J务2 / 3 =外 ， 必可变为/ = z ； 换成矩阵的说法，它就是这是一种最简单的标准形，它只含变量的平方项，而且其系数只可能是1 , - 1和0［ 答疑编号：1 0 0 6 0 2 0 1针对该题提问］定义6 . 1 . 4所有平方项的系数均为1 , - 1或0的标准二次型称为规范二次型为了叙述方便，对 二 次 型 化 得 的 规 范 二 次 型 ，可简称为二次型的规范形用例8中所述方法，不难理解，对 于 给 定 的 二 次 型 / = " / 已 不论是用什么方法得到一个标准形/ = +…+ d屏+九 区1 +… +当 » ++… + 呢 * ,如果其中的系数& ， …源都是正数，都是负数，心+ 1 = ~ = 4二°， 那么经过可逆变换Z j = = L 2 , …， 匕z} = yFd~yi,j = k+1,k+2,--,r,Z[ =yl,l = r+\,r+2,--,n,就可把上述标准形化为规范形/ = Z ； +… +z» z3 - Z *这个规范形，是可以根据标准形中系数的正、负性和零，不需要任何计算，就可直接写出来的，对于给定的n元二次型/ =/ 力工，它的标准形不是由A惟一确定的，那么自然要问：它的规范形是否由A惟一确定呢？定理6 . 1 . 2 （ 惯性定理） 任意一个n元二次型, =/' x, 一定可以经过可逆线性变换化为规范形/ =zi+" + zk - ZM - z；,而且其中的k和r是由A惟一确定的（ 与所采用的变换的选择无关） 。

k是规范形中系数 为1的项数，r就是A的秩惯性定理的矩阵形式 对于任意一个n阶对称矩阵A, 一定存在n阶可逆阵R,使得RTAR= -E …定义6 . 1 . 5规范形中的k称为二次型（ 或对称矩阵A）的正惯性指数，称r - k为二次型, = / 力 》 （ 或对称矩阵A）的负惯性指数，k - （ r - k ） = 2 k - r称为它们的符号差定理6 . 1 . 3对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的秩和相同的正惯性指数 不证）例9在以下4个矩阵中，哪些是合同矩阵？哪些不是合同矩阵？-1-11［ 答疑编号：1 0 0 60 2 0 2 针对该题提问］解 这 4个方阵的秩都同为3 , 因为A与 C的正惯性指数同为1 , 所以A与 C合同，B与 D的正惯性指数同为2 , 所 以 B与D合同，但 A与 B不合同，B与 C不合同6 . 2 正定二次型和正定矩阵6. 2 . 1 实二次型的分类n元实二次型/ = /工X 和对应的门阶实对称矩阵A,可分成以下五类：(1 )如果对于任何非零实列向量x , 都有则称f 为正定二次型， 称 A为正定矩阵2 )如果对于任何实列向量x , 都有/ 工工之0,则称f 为半正定二次型， 称 A为半正定矩阵。

3 )如果对于任何非零实列向量x , 都有/ 幺工< 0,则称f 为负定二次型， 称 A为负定矩阵4 )如果对于任何实列向量x, 都有/Rx SO,则称f 为半负定二次型， 称 A为半负定矩阵 5 ) 其他的实二次型称为不定二次型，其他的实对称阵称为不定矩阵例 1 以 n =3 为例( 1 ) 正定二次型：君 +君 ，对应的矩阵工二用.［ 答疑编号：1 0 0 60 2 0 3 针对该题提问］< 1 、A= 1⑵ 半 正定二次型：呼 + 考 ，对应的矩阵 I °A［ 答疑编号：1 0 0 60 2 0 4 针对该题提问］⑶ 负 定 二 次 型 ：Y—君一君，对应的矩阵工=一片.［ 答疑编号：1 0 0 60 2 0 5 针对该题提问］A= -1⑷ 半 负定二次型：一 “ ； 一只，对应的矩阵 I °<［ 答疑编号：1 0 0 60 2 0 6针对该题提问］(\\A = - 1（ 5 ）不定二次型：X ； 一右. 对应的矩阵 I 0J［ 答疑编号：1 0 0 60 2 0 7针对该题提问］定理6 21实对角矩阵A 为正定矩阵当且仅当A 中的所有对角元全大于零因此，单位矩阵一定是正定矩阵。

证 设仔 ）A= 々 工k4充分性 如果所有4 > ° , 那么，对于任何非零列向量* = （ % 与 ， … ， 、） ,，显然有/A x= 4工 ； +4X ； d—F 4 W >0必要性如果对于任何非零列向量*= （ 0 * 2 , … ， /） 1 都有/Ax = 4工 ； +4君 4 - - -卜 > 0那么，对于任意取定的i S i S n , 取石= 1,其他未知量都取零值，立刻得到4 >° .定理6 22设 n阶矩阵,= （ %）是正定矩阵， 则 A中所有对角元为> ° ）= L 2 , … *证 对于任意取定的Y i W n , 取第i 个标准单位向量0= （ 0 , … , 0 , 1 , 0 , … , 0 ） 了第 ， 列由A的正定性知道必有…绘a]xM 0=(o ,---,o ,i ,o ,--,o )r第汐%1第 布 = % > 0 .⑼例 2 问 / （ 々, q , 工 3 ） = 4 , 一 6君 + 1 5 君 + 1 0 再必+ 为了3 + 5 々 工 3 是不是正定二次型?［ 答疑编号：1 0 0 60 2 0 8 针对该题提问］解 因为它对应的对称矩阵中的对角元素叼2 = 一 6 <0 ,所以它不是正定二次型。

定理6. 2 . 3 设 A与 B是两个合同的实对称矩阵， 则 A为正定矩阵当且仅当B为正定矩阵说明：A与B合同，所以A与B有相同的正惯性指数且都为n定理6 2 4同阶正定矩阵之和必为正定矩阵证 设A与B是 两 个 同 阶 的 正 定 矩 阵 ， 则 对 任 何X/）必 有xr（ j4+5） x= + > 0对于给定的对称矩阵，如果判定它是正定矩阵？我们给出一些常用的判别方法定理6.2.5 n阶对称矩阵'= （ %）是正定矩阵=/ 的n个特征值全大于零证 根据5.4节中的对称矩阵基本定理知道，对于对称矩阵A, 一定存在n阶正交矩阵P使得% 、P~xAP=PrAP=K= % .<因为A和A是两个合同矩阵，根据623, A是正定矩阵当且仅当A是正定矩阵，但A是对角矩阵，它的全体对角元就是A的所有特征值，所以，根据定理621, A是正定矩阵当且仅当A的n个特征值全大于零推论（1） n阶对称矩阵A = 3 P是正定矩阵O 工的正惯性指数为n.（ 2） n阶对称矩阵” =是正定矩阵0力合同于单位矩阵4 1 “ 12A,— 々12 4 22 々23定义：若方阵 他3 % a誉 ）贝U鼻二| 的1|，3 =的1 的a12 a22仪1 1以12口3 = 412 以 22 以 23% % a33叫A的顺序主子式。

以定义可推广到n阶方阵定理6.2.6 n阶对称矩阵, =3 p是正定矩阵=/ 的n个顺序主子式劣> °上=1,2,…,n.我们略去它的证明，仅以实例说明它的应用’ 5 2 -2、j = 2 5 -1例5判定 （ 一2 一1 ' J是不是正定矩阵［ 答疑编号：10060209针对该题提问］Dj = 5 > 0,Z）2解 因为A 的三个顺序主子式：5 22 521>0>0,所以，A 是正定矩阵另一个判定方法是先求出特征值Z -5b 当一局=— 2-2 22 - 5 11 2 - 52 -5-20-22 - 52 - 4212 -41 -5-20-4兀一60212 - 42= (2 -4 )(22-112 + 22) = 02 . 由于特征值全大于零，所 以 A_ 1 1 ±V 12^887 tl _ F _ T------------它的特征值是 2是正定矩阵11土 星例 6问/ Qj，z） = H + 炒2 + /z 2 + 2g+ 2宓是不是正定二次型？［ 答疑编号：10060210针对该题提问］解因为它对应的对称矩阵的二阶顺序主子式k kk k=0,所以它不是正定二次型。

例 7求 k 为何值时，以下三元二次型为正定二次型：（ 1）/（ 再， 通, 向） = （ 尢+1） W + © T ） W + 8 - 2） x；;［ 答疑编号：10060211针对该题提问］（2）」（ ",2）= 5 / + 4 g + / - 2 屹 + 后2 -2 明［ 答疑编号：10060212针对该题提问］解（1）它是标准二次型它是正定二次型当且仅当它的所有系数都是正数，即 k>2A（2）写出对应的对称矩阵5 2 - 12 1 -1- 1 - 1 k因为5 2A = 5 > 0 , 4 = 2 . =1 > 0 ,5 2-1D3= 2 1 - 1 =k-2.- 1 - 1 k所以它是正定二次型当且仅当k>2 .本章小结一、本章的基本概念1 . 实二次型f(x1,x2,x3)= 4]]五 + 白2 2亦2 + 433, 3 + 2 & ]2芯 ]々 + 2 al 3々 入3 + 2 a2 3X 7 X 3（ 々 芥2弓）433八 / /A =« 1 3、^ 2 3« 33,叫实二次型, （ 々， 马, 弓）的矩阵A2 . 标准实二次型〃” 1 * 2 ,入3） = 3国+ * 2君+*3君的矩阵3 . 规范实二次型/（ '】* 2， 均） = 占 T <• - 靖+ i x；A =的矩阵4d2气 0 0、0 -％ 01 0 0 0 ,4 . 正定二次型 任给不， 孙 ， J 不全为o ,有了（ 々， 々, 々）>°正定二次型的规范型“ 々 用 ， 均） = W +君 + 君。

0 0、£= 01 0它 的 矩 阵 为1 0 ° 1）存在，使 = 力= B二、重要结论(1 )存在正交变换* = )(尸 '尸 = ©使/ = xrAx= yrCrACy= yr^yT 4=y . y< 九= 3 ； +3 :+… +4火其中4 , 4 , … ， 4是A的特征值，P是A的相似正交变换矩阵2 )存在可逆变换x=P z, (Rk°)使/ = xrAx= zPrAPz=zi + … + z ； - z 3 - - - - - z；其中k 叫正惯性指数，r - k叫负惯性指数3)惯性定律：A的正惯性指数，负惯性指数r - k, 由 A唯一确定，与变换阵P无关 4 ) 实对称矩阵A正定Q / 的特征值全大于0实对称矩阵A正定=工= 总实对称矩阵A正定O 4 的顺序主子式全大于0( 5 ) 正定矩阵的合同矩阵仍i E 定，正定矩阵的和仍正定三、重点1 . 求变换 x=P y, 使/ =" 工芯变为标准形、规范形2 . 求正交变换x=P y, 使 / = 变为标准形3 . 判断对称阵A是否正定本章作业教 材 ⑺ 页 习 题6 . 11 . (1 ) (2 ) (3) (4)； 2 . (1 ) (2 ) (3) (4)； 3. (1 ) (2 ) 4. ； 6 .教 材1 7 8页 习 题6 . 21 . (1 ) (2 ) (4)； 2 . (2 )； 3. (1 ) (2 )； 7 . ； 8 .。