第八章变分法.ppt

材料质点（微单元体）,能量原理与变分法,静力平衡 变形几何 物理关系,偏微分方程,,,变分法,整个变形体的能量,,积分方程（能量的变分为零）,,变分法是有限元方法的基础,变分法与微分方程的描述，两者可以转化,静力可能状态 物体Q，在内部受体力(X，Y，Z)作用， 在静力边界S上受面力( ， ， )作用,外力与内力(应力） 处处（物体内和边界上） 满足平衡在物体内满足平衡微分方程,在静力边界上满足静力边界条件,在位移边界上，其反力由上式给出,在物体内位移与应变满足几何方程,ud= vd= wd=,在位移边界Su上，满足位移边界条件,变形协调,变形可能状态,静力可能状态（s）和变形可能状态（d）是同一物体的两种不同的 受力状态和变形状态，两者可以彼此完全独立而没有任何关系,静力可能状态的应力所给出的变形一般不满足变形协调 变形可能状态给出的应力一般不满足平衡微分方程,可能功原理 外力（体力和面力，包括反力）在变形可能的位移上所做功 ＝ 内力（应力）在变形可能的应变上所做功,,,证明:,,,,散度定理,真实状态（静力可能状态）,虚位移状态（变形可能状态）,,虚位移（功）原理,外力虚功＝内力虚功,（1）虚功原理没有涉及到物理方程，即没有规定应力与应变之间的具体关系，因此，对弹性、塑性情况均适用。

（2）虚位移原理完全等价于平衡微分方程和力边界条件使用可能功原理，并考虑到位移边界上反力功为零,使用位移法求解，应力、应变等都通过几何方程和物理方程看作是位移的函数 若位移及与之相应的应力与应变满足： （1）单值连续（由它给出的应变满足变形协调条件）， （2）位移边界条件， （3）平衡微分方程， （4）静力边界条件， 则该位移就是问题的解，即为真实位移仅满足前两个条件的位移场是变形可能的位移场，而后两个条件等价于虚位移原理 求解弹性力学问题又可叙述为： 在所有变形可能的位移场中，寻找所给出的应力能满足虚位移原理的位移场 或者，真实的位移场除必须是变形可能的位移外，它所给出的应力还应满足虚位移原理最小势能原理 内力虚功 物体是弹性的，则单位体积内的内力虚功,,对于整个弹性体,内力虚功＝应变能因虚位移而引起的改变,外力虚功 如果作用的外力是保守力，大小和方向都不变，只是作用点的位置改变,,外力虚功＝外力势能因虚位移而引起的改变,, 称为弹性体的总势能，它是应变能与外力势能之和,从弹性体的真实状态出发产生虚位移，所引起的总势能变分应为零，即在真实状态总势能取极值 对于处于稳定平衡的真实状态，应是取最小值， 最小势能原理：在所有变形可能的位移中，使总势能达到最小值的位移，就是真实的位移。

将上述结果代入虚功原理，得位移变分原理,（1）虚位移原理无论是弹性、还是塑性情况下都成立， 但位移变分方程式仅对弹性保守系统有效 （2）变分与微分在数学上的意义等同 都是指微小的变化，因此运算方法相同，但它们的运算对象不同： 微分运算中，自变量一般是坐标等变量，因变量是函数 变分运算中，自变量是函数，因变量是函数的函数，即数学上所谓的泛函 总势能是位移函数的泛函对泛函求极值的问题，数学上称之为变分法,将求解弹性力学中偏微分方程的问题转化为求解势能变分问题,例6-1 简支梁受分布荷载作用，不计自重时，导出以轴线挠度表 示的平衡微分方程和两端的静力边界条件解：用w表示轴线挠度，不考虑剪切作用，则梁的应变能可近似地表示为 而外荷载q形成的外力势为,,使用分部原理,使用变分原理,,,由于在支承点x=0，x=l上的虚位移为零，即w=0，,任意，则,,（1）设满足位移边界的近似位移函数为,使用位移变分原理近似求解, =U＋V＝ (ak，bk，ck),（2）求弹性体的总势能,,,, = ak＋ bk＋ ＝0,（3）总势能变分为零，求待定系数,例题6-3 用变分方法求简支梁在均布荷载作用下的挠度 解： （1）设位移函数为 w(x) = c1x(lx)+c2x2(l2x2)+ 显然，该挠度函数满足位移边界w(0) = 0，w(l) = 0。

2）求总势能,,（3）求总势能的极值,。