几何学中及小明珠.doc

几何学中的小明珠——九点圆三角形是最简单的几何图形，也是我们最熟悉的几何图形我们知道三角形有三条边、三个内角、三个顶点、三条中 线、三条内角平分线、三条高线我们还发现或证明过，三角形的三条中线交于三角形内的一点，这一点叫做三角形的重心；三角形的三条内角平分线交于三角形内的一点，这一点叫做三角形的内心；三角形的三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心此外，三角形三 边的垂直平分线也交于一点， 这个点叫做三角形的外心在任何一个三角形中都有 9 个很特别、很有趣的点，那就是三角形各边的中点、三条高的垂足、各顶点与垂心所连线段的中点这九个点的特别是容易理解的，为 什么说它们有趣呢？圆是最优美的图形不在同一直线上的三个点确定一个圆，即过不在同一直线上的三点有并且只有一个圆而四点共圆是有条件的，条件是以这四点为顶点的四边形对角互补由三点共圆和四点共圆，可以得到一个与以上九点有关的重要的、有趣的圆，叫做九点圆：三角形三 边的中点、三条高的垂足、垂心与各 顶点所连线段的中点，这 九点所在的圆也就是说，这九点在同一个 圆上亲爱的读者，你有没有兴趣证明这九点在同一个圆上？如果有兴趣，不妨试一试！大数学家欧拉在 1765 年就发现了九点圆，因此人们称之为“ 欧拉圆”。

这是几何学中很著名的问题，在十八世纪与十九世纪之交已广为流传1804 年英国的培亚敏俾凡在雷榜《算理之库》卷一第十八章中，正式提出“ 九点”问题，布德卫斯与韦唐给出了证明1821 年格盖尼和 1822 年彭色列先后正式发表这一问题1822 年德国人费尔巴哈在《直角三角形的一些特殊点的性质》里，发表了自己的证法，并且说九点圆与内切 圆及三个旁切圆相切 这 就是人们通常所称的“ 费尔巴哈定理”1827 年维兹在《哲学杂志》发表一篇论 文，对九点圆进行了比较详细的论述讨论九点圆，不仅在于它本身的价值，而且通 过它可以寻求三角形内心、外心、垂心相对位置，以便深刻地认识几何学中最基本的角色——三角形九点圆的证法很多，但证法比较繁琐下面介 绍两种比较简明的证法证法一 设 △ABC 各边的中点分别为 M、N、K，各条高的垂足分别是 D、E、F，垂心为 H，AH、BH、CH 的中点分别是 L、P、Q我们证 明M、N、K、D、E、F、L、P、Q 这 9 个点在同一个圆周上如图 1，△LDM、△PEN、△QFK 都是直角三角形 图 1过直角三角形三顶点可作一圆，这圆是以斜边中点为圆心，斜边的一半为半径的圆。

因此，要证明九点圆，只要证明这三个直角三角形的外接 圆重合即可，也就是证明：LM=PN=QK，且互相平分如图 2，连 MN、NL、LP、PM∵L、N 分别是 AH、AC 的中点，∴NL∥CH，且 NL= CH21同理，PM ∥CH，PM= CH∴NL∥PM，NL=PM∴MNLP 是平行四 边形又∵NL ∥CF，LP∥AB，而 CF⊥AB，∴平行四边形 MNLP 是矩形 图 2∴四边形 MNLP 的对角线 ML、PN 相等且互相平分同理可证另一矩形 PQNK 的对角线 PN、QK 也相等且互相平分，因此九点共圆证法二 设 △ABC 三条高线的垂足为 D、E、F，垂心为 O过 D、E、F 画圆交三条高于 M、N、L先证 M 为 BO 的中点 B、D、O、F 四点共圆BO 是该圆的直径在过 D、M、F、L、E、N 的圆中，∠FMO=∠FDE，∠ABE=∠ACF在过 B、D、O、F 的圆中，∠ABE=∠FDO在过 C、D、O、E 的圆中，∠ACF=∠EDO于是∠FDO=∠EDO= ∠FDE= ∠FMO21BO 为过 B、D、O、F 圆的直径，∠FDO 是圆周角，且为∠ FMO 之半，故∠FMO 是圆心角。

因此，M 是 BO 的中点同理，N、L 是 CO、AO 的中点又设过 D、E、F 的圆交三边于 G、H、K，我 们先证 G 是 BC 的中点∵ M、D、G、E 共圆， ∴ ∠MGB=∠MED，∵ O、D、C、E 共圆，∴ ∠MED=∠OCB于是∠MGB=∠OCB由此，MG ∥OC由于 M 是 BO 的中点，G 当然是 BC 的中点同理，H 、K 分别是 CA、AB 的中点这就证明了九点共圆附录】一、 【欧拉简介】欧拉（1707 年～1783 年）瑞士数学家1707 年 4 月 15 日，数学史上杰出的数学家欧拉诞生在瑞士第二名城巴塞尔的一个殷实的家庭父亲保罗·欧拉是个基督教加尔文派的教长，喜 爱数学，是欧拉启蒙的数学老师欧拉幼年早慧，在家庭的教养下，聪颖过人父亲希望儿子学 习神学，将来继承父业 1720 年秋，把欧拉送进瑞士最古老的大学巴塞尔大学，学 习神医学、东方语言欧拉的聪慧和勤勉 赢得了该校数学教授约翰·伯努利的赏识，并亲自单独面授数学欧拉十六岁 从巴塞尔大学毕业， 获得 硕士学位在伯努利的影响下，欧拉决心以数学为业十八 岁开始发表论文，十九 岁发表了论船桅的论文，荣获巴黎科学院奖金。

此后，他几乎 连年获奖，奖金成为他的固定收入在尼古拉·伯努利和丹尼尔·伯努利的推荐下，欧拉 1727 年应沙皇女王叶卡特琳娜一世之约到俄国彼得堡1730 年受彼得堡科学院的任命，当丹尼尔·伯努利的助手，不久，因丹尼尔回国，年 仅 26 岁的欧拉接任数学教授他勤奋地工作，发表了大量精湛的数学论文，并 为俄国政府解决了许多科学问题 1735 年，年仅 28 岁的欧拉积劳成疾，右眼失明1741 年，普鲁士国王腓特烈大帝邀请欧拉出任柏林科学院物理数学所所长，同时负责给他的侄女讲授数学、天文、物理、宗教等课程在此期间，欧拉为柏林和彼得堡科学院递交了数百篇科学论文1766 年，欧拉五十九岁，在沙皇女王叶卡特琳娜二世再三聘请敦促之下，他不顾俄国严酷气候对眼疾的影响，重返彼得堡不料，左眼视力日趋衰弱，同年，这位年近花甲的数学家双目失明直到逝世，欧拉和黑暗整整搏斗了十七年之久欧拉凭着顽强的毅力，超人的才智，渊博的学识，惊人的记忆力，坚持科学研究，用口述的办法，由他儿子数学家阿·欧拉记录 ，继续进行著述欧拉的记忆力是惊人的，他能熟练地背 诵大量数学公式，以及前一百个素数的前六次幂不仅是一般代数运算，就是复 杂的高等数学，他都能准确无误地进行心算。

难怪法国天文学家、物理学家阿拉格说：“欧拉计算好象一点也不 费力，正和人呼吸空气，或者老鹰乘风飞翔一样 ”欧拉不仅是一位杰出的数学家，而且是理论联系实际的巨匠为了观察星球运动，他对光学和天体望远镜做出了重大贡献；为了分析潮汐运动，他研究了流体力学，成为理论流体力学的创始人；为了“哥尼斯堡七 桥问题”的研究等，他开创了拓扑学的先声；为了研究“等周 问题” 、“最速降落 线” 等，他成为变分法的奠基人；他还发表了《无穷小量分析》等著作，对牛顿、莱布尼兹的微积分及富里叶级数理论的发展，起了强大的推动作用欧拉从十九岁开始写作到七十六岁逝世，足迹几乎遍及至今数学的所有分支，专著和 论文蔚然大观，全集出齐可达七十四卷这不仅在十八世纪是首屈一指的，在整个科学史上也是罕见的据有人 统计，欧拉的著作：分析学、代数学、数论占 40%，几何学占 18%，在数论、微分方程方面有重大成就；物理学和力学占 20%，天文学占 11%，在力学、物理学、天文学方面有很大贡献；弹道学、航海学等占 3%，为这两门学科的发展起了一定的作用欧拉生在瑞士，工作在俄国和德国之间，所以 这三国都曾把欧拉引为自己的数学家而骄傲欧拉把一生的智慧献给了科学和人类，欧拉是全世界人民的。

二、 【伯努利数学家族简介】瑞士的伯努利家族是世界数学史上出现过的一个很有名的数学家族这个家族是从荷兰移民到瑞士巴塞尔的新教徒，从十七世纪末起大约一个世纪内，这个家族在三代人里，出现 的杰出数学家竟达 8 人之多这个家族几乎对当时数学的每个分支都作出过重大贡献，特别在微积分的发展史上起过重要作用这个家族中最杰出的是雅各、约翰兄弟及约翰的次子丹尼尔雅各（1654 年～1705 年）在青年时期根据父亲的意愿学习神学，但不久就放弃了神学而从事于他喜欢的数学，他的数学几乎是无师自通的他在荷兰及英国旅行期间，结识了一些知名的学者并成了德国著名数学家莱布尼兹的好友从此，他们之间一直保持着 经常通讯联系，互相探 讨 微积分的有关问题雅各从33 岁到逝世共 18 年的时间里，一直是巴塞尔大学的教授在数学的许多分支中都作出了重大的贡献约翰（1667 年～1748 年）青年时从事经商，后来在其兄雅各的指导下研究数学和学习医学，于 27 岁时获 得了巴塞尔大学博士学位，其论文是关于肌肉的收缩问题不久他也爱上了微 积分并且很快地掌握了它他 28 岁时任荷兰格罗宁根大学数学物理教授当雅各去世后他即继任巴塞尔大学数学教授达 43 年之久。

他被选为彼得堡科学院名誉院士，也是莱布尼兹的好友并在为莱布尼兹的微积分辩护时起了很大作用丹尼尔（1700 年～1782 年）是约翰的次子，他也像其父亲一样最先学医但在其家族的熏陶感染下，不久放弃了医学而在父亲及其兄的指导下从事数学研究，并且成为这个家族中成就最大者他 25 岁就成 为彼得堡科学院数学教授，并被选为该院名誉院士33 岁回到巴塞尔任教授，75 岁时又当选为皇家学会会员丹尼 尔对概率论、微分方程、物理学、流体力学、植物学、解剖学等都作出过重大的成就曾先后荣获法 兰西科学院 10 次奖伯努利家族还在数学及其它科学领域里培养出了不少出类拔萃的科学家，如欧拉和洛彼塔都是约翰的得意门生，哥德巴赫也是这个家族的好友三、 【八点圆简介】与九点圆同样有意思的是八点圆二十世纪上半叶，有人发现了与九点圆同样有意思的八点圆：设四边形ABCD 的对角线 AC 与 BD 互相垂直，并设 R、S、P、Q 为四边之中点过这些中点向对边引垂线，垂足分别为 R’、S’、P’、Q’，则 R、S、Q、P、R’、S’、P’、Q’八点共圆证明：因为 R、S、P、Q 分别是四边形 ABCD 各边的中点，所以，四边形 RSPQ 是平行四边形。

因为其两组对边分别平行于原四边形的对角线，所以平行四边形 RSPQ 为 矩形所以 PR、QS 是矩形 RSPQ 的外接圆的直径因为 P’、Q’、R’、S’是垂足，所以矩形 RSPQ 的外接圆 必经过点 P’、Q’、R’、S’于是，命题得证应用八点圆，可以很快得到九点圆只不 过四边形可能是凹四边形有 兴趣的读者不妨试一试。