立体几何初步(1)新(理.doc

标题：立体几何初步（1）授课教师：杨以江 学生签字： 上课时间：—年—月_日—至—段一、考点分析二、授课重点 第一章空间几何体立体几何知识点归纳（一）空间儿何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的iHi,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭儿何体其中，这条定宜线称为旋转体的轴2）柱，锥，台，球的结构特征1 .棱柱i・i棱柱——有两个而互相平行，其余各而都是四边形，并旦每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些而所围成的几何体叫做棱柱1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系:斜棱柱梭垂直于辰面〉直棱柱底而是成形.正棱柱其他棱柱…②四棱柱底而为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体 A 底而为知形长方体底而为正方形 : ►正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体1.3棱柱的性质：%1 侧棱都相等，侧面是平行四边形；%1 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；%1 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；%1 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1.4长方体的性质：长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】AC^AB^AD^AA.21.5侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等知形组成的以底面 周长和侧棱长为邻边的知形.1.6面积、体积公式：棱柱侧：v L其S直棱柱全- c •人+ 2S底，V棱柱—S底・力中c为底面周长，h为棱柱的高）2 .圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的 曲而所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底而的截而都是等圆；过轴的截而（轴斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直的截面）是全等的矩形.2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以族面周氏和性线长为邻边的知形.2.4面积、体积公式：S圆柱侧=2〃，7z ； S圆柱全=2勿/7? + 2兀产，V财i=S f^h=7Ur2h （其中r为底面半径,h为圆柱高）3 .棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的 三角形，由这些而所围成的儿何体叫做棱锥正棱锥一一如果有一个棱锥的底1印是正多边形，并且顶点在 底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥3.2棱锥的性质：%1 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点 到截面的距离与顶点到底而的距离之比；%1 正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；%1 正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、 三角形。

如上图：SOB, SOH, SBH, OBH 为直角三角形）3.3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的3.4面积、体积公式:S正棱锥侧=—c/zS正棱锥全=?c/2‘ + S底,V棱锥=：S底（其中C为底面周长,/?侧面斜高，h棱4 .圆锥4.1圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形 成的曲而所围成的几何体叫圆锥4.2圆锥的性质：%1 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与 顶点到底面的距离之比；%1 轴截面是等腰三角形；如右图：SAB%1 如右图：尸=/任+己4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的 扇形4.4面积、体积公式：1 S圆锥侧=7Tti , S m.全（厂+ /）, V圆锥=—〃厂人（其中r为底面半径，h为圆锥的高，1为母线长）7 .球7.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形 成的旋转体叫做球体，简称球.在空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球 面所围成的几何体叫做球体，简称球；7.2球的性质：%1 球心与截面圆心的连线垂直于截面；%1 r = ^R2-d2 （其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）7.3球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与 正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决.0 4 久7.4球表面积、体积公式：S球=4勿&\*求=一勿&3 （其中r为球的半径）例：（06年卷）己知正方体的八个顶点都在球面上，旦球的体 3?积为上兀,则正方体的棱长为3（二）空间几何体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影2. 三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间儿何体而画出的图形；正视图——光线从儿何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图——光线从几何体的左而向右而正投影，得到的投影图；俯视图——光线从儿何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度” 与俯视图简记为“正、侧一样高，正、俯一•样长，俯、侧-样宽”.（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图3. 直观图:3.1直观图一是观察着站在某一点观察一•个空间儿何体而画出的图形直观图通常是在平行投影下画出的空间图形解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（2）由儿何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廊线和棱画成虚线第二章点、直线、平面之间的位置关系（一）平面的基本性质1 .平面——无限延展，无边界1.1三个定理与三个推论公理L如果-•条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内用途：常用于证明直线在平而内.公理2：不共线的三点确定一个平面. • • •推论1:直线与直线外的一点确定一个平而.推论2：两条相交直线确定一•个平面.推论3：两条平行直线确定一个平面. 用途：用于确定平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一•条直线（两个平面的交线）.用 途： 常 用 于 证 明 线 在 面 内， 证 明 点 在 线 上图形语言文字语言符号语言B-点嬉直线总点曜直线破卜A aA e a-Bea直线编平面a相交于点直线雍平面a内 直线曜平面a外a u a& pa与a异面auaa1.4异面直线所成的角：（1）范围：］；② 作异面直线所成的角：平移法.如右图，在空间任取一点0,过作cillci,bllb,则所成的0角为异面直线所成的角特别地，找异面a：直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中 点，端点等）上，形成异面直线所成的角.I ua2 .直线与平面的位置关系:lp\a = AIlla图形语言:3.平面与平面的位置关系：｛相交斜交：垂直：aV/3（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1 .线面平行：%1 定义：直线与平面无公共点.allb%1 判定定理：a（za\=>a//a （线线平行=>线而平行）【如图】b uaalia③性质定理：aufi aC\/3 = b\nallb （线面平行=线线平行）【如图】b Lab La\=>a//a （用于判断）;allb%1 判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）：ma = 0^llla （用于判断）；（ii）判定定理：a^a\^alla b uaa ua“线线平行n面面平行”（用于证明）；（iii）“面面平行n线面平行”（用于证明）；（4）2. 线面斜交：lHa=A%1 直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在 平而内射影的夹角。

如图】POA-a于O,则AO是PA在平而内的射影，则ZPAO就是直线PA与平面a所成的角o _-范围：关［0］,注：若lua或l/la，则直线/与平而a所成的角为0若 //a,则直线/与平面a所成的角为903. 面面平行：①定义：Qpl ^ = 0 => allp ；%1 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行;符号表述：a,bua,anb = O,a//a,blla = a/l0 t如下图①】推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行符号表述：a,bua,anb = Oa,bu0,all(T,bllbnall0 【如上图②】判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：ciLa,a Lgall0.[%1 判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及推论（常用）（3）判定 2all 3]%1 面面平行的性质：（1 ） ” （面面平行=线面平行）；（2）a（za\all paC\y = a\=>a//b；（面面平行=>线线平行）（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等如图】/3C\y = b（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1 .线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

符号表述：若任意aua,都有Ila，且/=>/ 16Z （线线垂直=>线面垂直）Ilalib%1 性质：（l）/_La,oua=>/（线面垂直=> 线线垂直）；（2） a .La.b a//b ；%1 证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；（3）allb \ all01 介 aC\J3 = b 介a Ya] a Va] a （zaa Lb面垂直=>线面垂直）常用；%1 三垂线定理及逆定理：（I）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中，POLa （1）斜线相等射影相等；（2）斜 线越长射影越长；（3）垂线段最短如图】PB = PC = OB = OC； PA>PB = OA>OB（II）三垂线定理及逆定理：已知PO_La,斜线PA在平而。