归纳探索型专题.docx

归纳探索型专题一、归纳探索数式规律1. 数字规律例1 （2012年荷泽市）一个自然数的立方，可以分裂为若干个连续奇数的和，例如：23, 33和43可以分别按如图1所示的方式“分裂”为2个、3个和4个连续奇数的和，即 23=3+5； 33=7+9+11； 43=13+15+17+19；…；若63也按照此规律进行“分裂”，则63 “分 裂”出的奇数中，最大的那个是—•3玄＜^・9解析：由23=3+5,分裂出的第一个数是：3=2X1+1,最大的数是：2X1+1+2X1； 33=7+9+11,分裂出的第一个数是：7=3X2+1,最大的数是：3X2+1+2X2； 43=13+15+17+19, 分裂出的第一个数是：13=4X3+1,最大的数是：4X3+1+2X3； 53=21+23+25+27+29,分 裂出的第一个数是：21=5X4+1,最大的数是：5X4+1+2X4； 63=31+33+35+37+39+41,分 裂出的第一个数是：31=6X5+1,最大的数是：6X5+1+2X5；所以63分裂出的奇数中最大 的是41.点评：对于数字类的规律探索，一般是先从前几个开始，找到第一个数的变化规律，然 后依次类推，得出所求结果.技法指导此类问题需要根据题目中所给的数据、数字、代数式、等式或者不等式，猜想其中蕴含 的规律•一般解法是先从简单的式子开始，观察数字、等式或者不等式两边的数据随着序号、 编号、项数的变化而变化的情况，可以通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或 纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，得出一般性结论.2 4 8 跟踪训练：1. （2012年遵义市）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：一，一，一，5 7 11—,—,…，小亮猜想出第六个数字是星，根据此规律，第n个数字是 .19 35 672. 算式规律2 2 3 3 4 4例 2 （2012 年安顺市）已知 2+- =22X - , 3+-=32X-, 4+ —=42X —,…，3 3 8 8 15 15若 8+ — =82X — （a, b 为正整数），则 a+b= .b b解析：先观察所给的几个式子，得出等式左边的两部分中，前面的整数和分数的分子是 相同的，而分母正好比分子的平方少1,从而可得出a, b的值.观察可得a=8, b=63.所以 a+b=8+63=71.点评：解决此类问题的方法是找出前面几个数据，仔细观察，找出每个部分之间的规 律.注意在找出规律的一般形式后，可再回头把相应的具体数字代入检验一下，看所得结论 是否与原来所给的式子相同.跟踪训练：2. （2012年衡阳市）观察下列等式：① sin30°cos60°cos45°cos30°= ;2根据以上规律，计算：sin2 a +sin2 (90° - a ) = .二、归纳探索图形规律1.图形变化规律例3 (2012年常德市)若图2中的线段长为1,将此线段三等分，并以中间的一段为 边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图3,再将图3中的每一段类似变形，得到图4, 按上述方法继续下去得到图5,则图5中折线的总长度为( )16 16 64A. 2 B. — C. — D.—27 9 27匡2 匪3 匡4 戛5解析：第一个线段长为1.观察发现：第二个图形在第一个图形长的基础上多了其长的丄.3 同样，第三个图形在第二个图形的基础上，多了其长的丄，第四个图形在第三个图形的基础3上，多了其长的丄31 4 4所以第二个图形折线的总长度为1X(1 + —)= — ；第三个图形折线的总长度为一3 3 3x (1 + -)=—；第四个图形折线的总长度为空>< (1 + —)=—.故选D.3 9 9 9 27点评：解决这类问题，首先从简单的图形入手，观察图形随着“序号”增加时，后 一个图形与前一个图形相比，在数量上的变化情况，找出变化规律，从而推出一般性结论.跟踪训练：3. (2012年南通市)如图6,在RtAABC中，ZACB=90° , ZB = 30° , AC=1,且AC在直线1上，将AABC绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1,此时APi =2；将位置①的三角形绕点Pi顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+ V3 ；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3,此时AP3 = 3+V3 ；…按此规 律继续旋转，直至得到点P2012为止，则AP2012等于( )A. 2011+671V3 B. 2012+671V3C. 2013+671 舲 D. 2014+671V3B2.图形排列规律例4 （2012年聊城市）如图7,在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1, 2, 3, 4, •••,同心圆与直线y=x和y=-x分别交于点A” 则点A30的坐标是（A.(30, 30)B. (-8^2 , 8血)D. (4 血,—4a/2 )解析：由图形知，Ai点的坐标是A.2, A3, A4, * * *,―）,A2点的坐标是2 一J? V2刍）,7的坐标是（-刍，…，每四个点刚好形成一个循环,A4点的坐标是（V2,2以此类推，点A30应该在第二象限，且半径为8,所以它的坐标为一孚碍）•故选c.点评：解决这类问题，一般要观察图形的结构特点，通过对简单、特殊情况的观察，推 广到一般情况，总结出规律，再运用规律进行计算，最后作出判断.技法指导根据一组相关图形的变化规律，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号” 增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上的变化情况，找出数量上的变化规律，从而推出一般性结论.跟踪训练：4. （2012年铜仁市）如图8,第①个图形中一共有1个平行四边形，第 ②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…，则第⑩个 图形中平行四边形的个数是（ ）A. 54 B. 110 C. 19 D. 109口 Hj1 ②图8三、归纳探索数值结果当在一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变化呈现出某种特征时，可以猜想在新条件下，数值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想到结果的数值.例5 （2012年武汉市）一列数a” a°, a3,…，其中a1=-, an=—-— （n为不小于2的 2 1 + %整数），则加的值为（ ）. 5 8 13 8A. — B. — C. — D. —8 5 8 13分析：由an=—1—可知，相邻两个数的关系为后一个数是前一个数与1的和的倒数, l + a”_i要求04,就得知道a3,依次进行代入计算.◎ 1 1解：*/ ai = — , an= ,3 5同理，a3= —, a4=—.5 8故选A.点评：通过观察、分析、归纳、验证，得出一般性结论，以求代数式的值为主要考查内 容.跟踪训练：5. （2012年莆田市）如图9,在平面直角坐标系中，另一端所在位置点的坐标是（)A. (1, — 1)B.(-1, 1)A （1, 1）, B （-1, 1）, C （-1, -2）, D （1, -2）.把一条长为 2012 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A-B-C-D-A--的规律紧紧绕在四边形ABCD的边上，则细线C. （— 1, —2） D. （1, —2）四、归纳探索数量关系数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们所学习的函数关系式•在解答这 类问题时，通常也是根据题目所给的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答. 例6 （2012年益阳市）观察图10,解答问题：图10（1）按下表已填写的形式填写表中的空格:至③三人.達二三人数的虫IX -l)x2=-2(一3) X -4) X -5) =-601弋 一「-2=2(-3)* -4)* -5) =-12-2^2=-!(2) 请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x. 分析：(1)可求出三角形三个角上的数字之积、数字之和，然后再求商.(2)由(1)进而发现三角形内部的那个数字就是刚刚在(1)中求得的商，由此可求 得y, x可建立方程得解.解：(1)图②：(一60) 4- (-12) =5,图③：(一2) X (-5) X 17=170, (一2) + (-5) + 17=10, 1704-10=17.(2)图④：5X (-8) X (-9) =360, 5+ (-8) + (-9) =-12, y=360「(-12) =-30；1 v Y y Q 图⑤： =-3.解得x=-2.1 + x + 3点评：第一小题属于容易题，根据规律求解即可；第二小题需要在(1)的基础上，观 察得到“三角形内部的数字”是(1)中求得的商，并由此进行求解.此类问题通过观察、 计算并尝试建立模型是解题关键.跟踪训练:6. (2012年资阳市)观察分析下列方程:®x+-=3； ®x+-=5； ®x+ —=7；-XXX+ n请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程x+乞==2n+4(n为正整数)的根，你的答案x-3是： •五、归纳探索新情境变化情况在已有知识的基础上，设计一个陌生的数学情境，通过阅读相关信息，根据题目引入新 知识进行猜想解答的一类新题型•解题关键是理解材料中所提供的解题途径和方法，运用归 纳与类比的方法去探索新的解题方法.例7 (2012年珠海市)观察下列等式：12X231=132X21,13X341=143X31,23X352=253X32,34X473=374X43,62X286=682X26,以上每个等式中两边的数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数 字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式” •(1) 根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：① 52 X = X 25 ；② X 396=693 X .(2) 设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2Wa+bW9,写出 表示“数字对称等式” 一般规律的式子(含a, b),并证明.分析：(1)观察规律，左边两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十 位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边三位数是左边三位数的百位数字与个位 数字交换所得，两位数是左边两位数的十位数字与个位数字交换所得，根据此规律进行填空 即可.(2)按照(1)中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可. 解：(1)① V 5+2=7,.•.左边的三位数是275,右边的三位数是572..•.52X275=572X25；②•••左边的三位数是396, .•.左边的两位数是63,右边的两位数是36..•.63X369=693X36.(2) T左边两位数的I位数字为a,个位数字为b, .•.左边的两位数是10a+b,三位数是100b+10 (a+b) +a,右边的两位数是10b+a, 三位数是 100a+10 (a+b) +b.一般规律的式了为(10a+b) X [100b+10 (a+b) +a] = [ 100a+10 (a+b) +b] X (lOb+a).证明：左边=(lOa+b) X [100b+10 (a+b) +a]=(lOa+b) (100b+10a+lOb+a)=(lO。