基本不等式求最值的类型与方法-经典大全(共7页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：①当且仅当a = b时，“=”号成立；②当且仅当a = b时，“=”号成立；③当且仅当a = b = c时,“=”号成立；④ ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：二、函数图象及性质(1)函数图象如图：(2)函数性质：①值域：；②单调递增区间：，；单调递减区间：，.三、用均值不等式求最值的常见类型类型Ⅰ：求几个正数和的最小值例1、求函数的最小值解析：，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最小值是评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造类型Ⅱ：求几个正数积的最大值例2、求下列函数的最大值：① ②解析：①，∴，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1②，则，欲求y的最大值，可先求的最大值当且仅当，即时 “=”号成立，故此函数最大值是评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立例3、若x、y，求的最小值解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数证明：任取且，则，∵，∴，则，即在上是减函数故当时，在上有最小值5解法二：（配方法）因，则有，易知当时，且单调递减，则在上也是减函数，即在上是减函数，当时，在上有最小值5解法三：（拆分法），当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法类型Ⅳ：条件最值问题例4、已知正数x、y满足，求的最小值解法一：（利用均值不等式）,当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18解法二：（消元法）由得，由，则当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18解法三：（三角换元法）令则有则：，易求得时“=”号成立，故最小值是18评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法： 原因就是等号成立的条件不一致类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题例5、已知正数满足，试求、的范围解法一：由，则，即解得，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。

又，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是解法二：由，知，则：，由，则：，当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧四、均值不等式易错例析：例1. 求函数的最值错解：当且仅当即时取等号所以当时，y的最小值为25，此函数没有最大值分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误因为函数的定义域为，所以须对的正负加以分类讨论正解：1）当时，当且仅当即时取等号所以当时， 2）当时，， 当且仅当，即时取等号，所以当时，.例2. 当时，求的最小值错解：因为所以当且仅当即时，分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法中与的积不是定值，导致错误正解：因为当且仅当，即时等号成立，所以当时，例3. 求的最小值错解：因为，所以分析：忽视了取最小值时须成立的条件，而此式化解得，无解，所以原函数取不到最小值正解：令，则又因为时，是递增的所以当，即时，例4.已知且，求的最小值.错解： ,,的最小值为.分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为和，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值.正解：当且仅当即时等号成立. 的最小值为.综上所述，应用均值不等式求最值要注意： 一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

技巧一：凑项例1：已知，求函数的最大值解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，，，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，技巧二：凑系数例2. 当时，求的最大值解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8技巧三： 分离例3. 求的值域解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性例：求函数的值域解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故所以，所求函数的值域为技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错2：已知，且，求的最小值解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 巩固练习：1、已知：且，则的最大值为( )(A) (B) (C) (D)2、若，且恒成立，则a的最小值是( )(A) (B) (C)2 (D)13、已知下列不等式：①；②；③.其中正确的个数是( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个4、设，则下列不等式中不成立的是( )(A) (B) (C) (D)5、设且的最大值是( )(A) (B) (C) (D)6、若实数满足，则的最小值是( )(A)18 (B)6 (C) (D)7、若正数满足，则的取值范围是 .8、若,且，则的最小值为 . 基本不等式知识点：1. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）2. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）(3)若，则 (当且仅当时取“=”）3.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）4.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）5.若，则（当且仅当时取“=”）注意：(1) 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋解：(1)y＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞）(2)当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知，求函数的最大值。

解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，技巧二：凑系数例： 当时，求的最大值解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8变式：设，求函数的最大值解：∵∴∴当且仅当即时等号成立技巧三： 分离技巧四：换元例：求的值域解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性例：求函数的值域解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故所以，所求函数的值域为技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错例：已知，且，求的最小值错解：，且， 故 。

错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 技巧七例：已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤同时还应化简中y2前面的系数为 ， x＝x ＝x下面将x，分别看成两个因式：x≤＝＝ 即x＝x ≤ 技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行法一：a＝， ab＝b＝由a＞0得，0＜b＜15令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3∴≤3，ab≤18，∴y≥点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.技巧九、取平方例: 求函数的最大值解析：注意到与的和为定值又，所以当且仅当=，即时取等号 故应用二：利用均值不等式证明不等式例：已知a、b、c，且求证：分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”。