二次函数图像与性质完整归纳.doc

word 二次函数的图像与性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2. 的性质：上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．3. 的性质：左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的根底上“值正右移，负左移；值正上移，负下移〞．概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴沿轴平移:向上〔下〕平移个单位，变成〔或〕⑵沿轴平移：向左〔右〕平移个单位，变成〔或〕三、二次函数与的比拟从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．四、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴与顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以与关于对称轴对称的点、与轴的交点，〔假如与轴没有交点，如此取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.五、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：〔，，为常数，〕；2. 顶点式：〔，，为常数，〕；3. 两根式：〔，，是抛物线与轴两交点的横坐标〕.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．⑴ 在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边如此，在轴的右侧如此，概括的说就是“左同右异〞总结： 3. 常数项⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置． 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是． 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原如此，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标与开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标与开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数的图象【解】以为中间值，取的一些值，列表如下：…-7-6-5-4-3-2-1……0-20…【例2】求作函数的图象。

解】　　　先画出图角在对称轴的右边局部，列表-2-101276543【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左〔右〕边局部图象，再利用对称性描出右〔左〕局部就可二、一元二次函数性质【例3】求函数的最小值与图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间解】 由配方结果可知：顶点坐标为，对称轴为；∴当时， 函数在区间上是减函数，在区间上是增函数例4】求函数图象的顶点坐标、对称轴、最值∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为∴当时，函数取得最大值 函数在区间上是增函数，在区间上是减函数点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：(1) 配方法；如例3(2) 公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可防止出错任何一个函数都可配方成如下形式：【二次函数题型总结】例1 如果函数是二次函数，那么m的值为例2 抛物线的开口方向是；对称轴是；顶点为1OX=1YX例3 函数的图象如下列图，如此a、b、c，，，的符号为，例4 a－b＋c=0 9a＋3b＋c=0,如此二次函数y=ax2＋bx＋c的图像的顶点可能在〔 〕（A） 第一或第二象限 〔B〕第三或第四象限 〔C〕第一或第四象限 〔D〕第二或第三象限3o-13yx例5 ：函数的图象如图：那么函数解析式为〔 〕〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕例6 一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).例7 如图：△ABC是边长为4的等边三角形，AB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D，点A的坐标为〔-1，0〕〔1〕求 B、C、D三点的坐标；〔2〕抛物线经过B、C、D三点，求它的解析式；【练习题】一、选择题1. 二次函数的顶点坐标是( )A.(2,－11) B.〔－2，7〕 C.〔2，11〕 D. 〔2，－3〕2. 把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是〔 〕A. B. C. D. 和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )的图象如下列图,如此如下结论: ①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个的顶点坐标〔-1，-3.2〕与局部图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是〔　　　〕Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3　6. 二次函数的图象如下列图，如此点在〔　 〕A．第一象限　　　B．第二象限C．第三象限　　 D．第四象限的正根的个数为〔 〕A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与A. B. C. 或 D. 或二、填空题9．二次函数的对称轴是，如此_______。

10．抛物线y=-2〔x+3〕²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值X围是_______.11．一个函数具有如下性质：①图象过点〔－1，2〕，②当＜0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是〔只写一个即可〕12．抛物线的顶点为C，直线过点C，如此这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,如此b= ,c=14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是(π取3.14).　　　　三、解答题：第15题图,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).(1)求这个二次函数的解析式;(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?(3)当x在什么X围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?16.某种爆竹点燃后，其上升高度h〔米〕和时间t〔秒〕符合关系式 〔0