《连续性概念》PPT课件.ppt

第四章第四章 函数的连续性函数的连续性§§1 1 连续性概念连续性概念一、函数在一点的连续性一、函数在一点的连续性 二、二、 间断点及其分类间断点及其分类三、区间上的连续函数三、区间上的连续函数第四章第四章 函数的连续性函数的连续性首页首页ק1 连续性概念连续性概念 §2 连续函数的性质连续函数的性质 §3 初等函数的连续性初等函数的连续性 在讨论函数极限时在讨论函数极限时, , 我们说函数在一点的函数值与极限我们说函数在一点的函数值与极限值是两个不同的问题值是两个不同的问题 . .它们的关系有它们的关系有函数值不存在，极限存在；函数值不存在，极限存在； 函数值、极限值都存在，但不相等；函数值、极限值都存在，但不相等； 函数值等于极限值函数值等于极限值. . 可用代入法求极限可用代入法求极限 什么样的函数可用代入法求极限？什么样的函数可用代入法求极限？函数连续的概念函数连续的概念  当自变量时间当自变量时间 t 变化无限小变化无限小时，这些规律变量的变化也无限小时，这些规律变量的变化也无限小. . 如气温随如气温随时间的变化规律、有机体随时间的生长规律等变量时间的变化规律、有机体随时间的生长规律等变量. .§1 连续性概念连续性概念首页首页×客观世界中许多量的变化都是循序渐进的客观世界中许多量的变化都是循序渐进的. 这种连续变化的特点是：这种连续变化的特点是：如何在数学上刻画出变量对应关系的这种变化特征？如何在数学上刻画出变量对应关系的这种变化特征？ 对变量这种变化特征的研究产生了连续函数概念对变量这种变化特征的研究产生了连续函数概念. . 有些函数图像上的点连绵不断，构成了函数有些函数图像上的点连绵不断，构成了函数曲线一种曲线一种 ““连续连续””( (不间断不间断) )的外观的外观 . .从几何上看，从几何上看，首页首页×y 0 x x0 要准确地把握曲线这些要准确地把握曲线这些““连续连续””与与““间断间断””的情况，需要精确的数学的情况，需要精确的数学描述描述. . 若要若要曲线连绵不断，就要曲线在曲线连绵不断，就要曲线在其每一定义点其每一定义点 x0 都都能连接起来能连接起来. 可用极限概念描述可用极限概念描述 如如 何何 描描 述述 ？？y=f (x) . . 一、函数在一点的连续性一、函数在一点的连续性 首页首页×则称则称 f 在点在点 x x0 0 连续连续. . 设函数设函数 f 在某在某U (x0 )内有定义内有定义, , 1 1. .定义定义1 1( (P69P69) ) 若若 例如例如, , 函数函数 在点在点 x = = 2 2 连续，连续， 因为因为 又如又如, , 函数函数连续连续, , 因为在点因为在点 x x = = 0 0，， 注注1 1 函数函数 f 在点在点 x 0 连续，连续，则则 x 0 必属于必属于 f 的定义域的定义域 . . y 0 x 自自变量量 x 在在该邻域内，域内，变形：变形：称差称差 x - - x0 为自自变量量 x 在点在点 x0 的的增量增量或或改改变量量，，2. 连续的等价定义连续的等价定义先介先介绍一个用来描述一个用来描述变量量变化的概念化的概念 ————增量增量. . 设函数函数 y = f (x) 在在 x0 的某的某邻域内有定域内有定义，， 称函数称函数值之差之差 f ( x0 + +  x ) - - f (x0)为函数函数 f (x)在在点点x0 对应于自于自变量量的的增量增量 x 的的增量增量或或改变量改变量. . y +  y yx0 x记为   y，，注注2 2 增量是可正可负的，增量是可正可负的， 记为Δx，， 即即 即即  f (x) = f (x0) +   y . .. 可用增量描述变量可用增量描述变量. . 我们规定自变量的增量我们规定自变量的增量 . .  x   y y = f (x ) 且且 首页首页×0+ x  在在 x0的基础上调整的基础上调整 x时，市场的反应时，市场的反应( (销售的增减量销售的增减量) )如何？如何？ 它只它只是表示变量的一个新的记法是表示变量的一个新的记法. .实际上，不必把增量看成是一个新的数学概念，实际上，不必把增量看成是一个新的数学概念，他须要研究的是与增量他须要研究的是与增量  x 相应的增量相应的增量   y 的关系的关系. . 用它来描述变量的变化是分用它来描述变量的变化是分析函数的一个十分重要角度析函数的一个十分重要角度. . 特别是在研究函数在一点附特别是在研究函数在一点附近的变化时，增量的记法具有特殊的重要性和优越性近的变化时，增量的记法具有特殊的重要性和优越性. .例如，设变量例如，设变量 y — 某商品销售量，某商品销售量，x —— 该商品价格该商品价格. . 在一定条件下，在一定条件下，x与与 y 的关系可用价格的关系可用价格————销售函数来描述销售函数来描述 . .作为销售经理虽然关心价格销售函数，但更重要的问题是：作为销售经理虽然关心价格销售函数，但更重要的问题是： 如果现在价格是如果现在价格是x0，， 如何分析增量如何分析增量 x，，  y，正是微积分的灵魂，正是微积分的灵魂. . 首页首页×函数函数 在点连续的在点连续的充分必要条件充分必要条件是是 等价定义等价定义1 1注注3 3 函数在一点连续实质就是函数在一点连续实质就是: :因此因此, ,结合函数极限的定义可有函数在一点连续的结合函数极限的定义可有函数在一点连续的  - -  定义定义 . . 首页首页×当自变量变化不大时当自变量变化不大时, , 函数值变化也不大函数值变化也不大. .首页首页× 注注4 4 由上述定义由上述定义, , 我们可得出函数我们可得出函数 f 在点在点 x0 有极限与有极限与 f 在点在点 x0 连续之间的关系：连续之间的关系：函数函数 在点连续的在点连续的充分必要条件充分必要条件是是 (i) (i) f 在点在点 x0 有极限是有极限是 f 在点在点 x0 连续的必要条件连续的必要条件. .等价定义等价定义 2(ii) “(ii) “ f 在点在点 x0 连续连续””要求要求: : f 在点在点 x0 有极限且其极限值有极限且其极限值应应等于等于 f 在点在点 x0 的函数值的函数值. . f 在点在点 x0 连续连续 其中其中D ( x ) 为狄利克雷函数为狄利克雷函数. 证明函数证明函数 在点在点 x = 0 连续连续,例例1首页首页×证证 由由 f (0) = 0 及及 | |D(x)| | 1,为使为使 只要取只要取   =  , 对任给的对任给的  > 0 , 即可按即可按  - -  定义推得定义推得 f 在点在点 x = 0 连续连续. ▌ 注注 函数在一点处连续是函数的局部性态，函数在一点处连续是函数的局部性态， 例例1就是就是一个一个仅在点在点 x = 0 连续的函数的函数. 3. 左右连续左右连续首页首页×定义定义2 设函数设函数 f 在某在某U+(x0) ( (或或 U- -(x0) ) )内有定义内有定义, , 若若 则称则称 f 在点在点 x0 右右( (左左) )连续连续. . f 在点在点 x0 既是右连续既是右连续, 又是左连续又是左连续. 定理定理4.1 函数函数 f 在点在点 x0 连续的充要条件是：连续的充要条件是：即即 且且  从而它在从而它在 x = 0 不连续不连续( (见图见图4-1). 4-1). 首页首页× 讨论函数讨论函数在点在点 x = 0 的连续性的连续性. .解解 例例2 而而 所以所以 f 在点在点 x = 0 右连续右连续, , 但不左连续但不左连续, ,  函数的连续性在数学分析函数的连续性在数学分析中是承上中是承上( (极限理论与极限理论与方法方法) )启下启下( (微分积分概念微分积分概念) )的一个重要环节，的一个重要环节， 是使用是使用极限工具研究函数变化的微观性态和宏观性态的开始极限工具研究函数变化的微观性态和宏观性态的开始. 我们按如下方法定义一个函数我们按如下方法定义一个函数 ：： 当当 时时, ,当当 时时, ,易见易见, , 对于函数对于函数 , , 是它的连续点是它的连续点. .设设 为函数为函数 的可去间断点的可去间断点, ,则称则称 为为 的可去间断点的可去间断点. . 若若 ，而，而 在点在点 无定义无定义, ,间断点的分类间断点的分类首页首页×的的间断点间断点或或不连续点不连续点. 则称点则称点 或在点或在点 二、二、 间断点及其分类间断点及其分类定义3设函数设函数内有定义，内有定义， 为函数为函数 而不连续而不连续, , 有定义有定义 1.1.可去间断点可去间断点 或有定义但或有定义但则称点则称点 为函数为函数 的跳跃间断点的跳跃间断点. . 若函数若函数 在点在点 的左、右极限都存在，但的左、右极限都存在，但 间断点的分类首页首页×2 2．跳跃间断点．跳跃间断点 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点, , 第一第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在. . 3. 3. 函数的所有其他形式的间断点函数的所有其他形式的间断点 使得函数至少一侧极限不存在的那些点使得函数至少一侧极限不存在的那些点, , 统称为第统称为第二类间断点二类间断点. . 若函数若函数 在区间在区间 上仅有有限个第一类间上仅有有限个第一类间断点断点, , 则称则称 在在 上上分段连续分段连续. .则称则称 为为 上的上的连续函数连续函数. . 若函数若函数 在区间在区间 上的每一点都连续上的每一点都连续, , 三、区间上的连续函数三、区间上的连续函数首页首页× 对于闭区间或半开半闭区间的端点对于闭区间或半开半闭区间的端点, , 函数在函数在这些点上连续是指这些点上连续是指左连续左连续或或右连续右连续. .在在 内任何无理点处都连续内任何无理点处都连续, , 思考题首页首页×试证明：黎曼函数试证明：黎曼函数 任何有理点处都不连续任何有理点处都不连续. .。