坐标系与参数方程不等式选讲+不等式与线性规划+函数与方程.doc

x=acos t,v= 1 +asin t,专题限时集训(二十三)坐标系与参数方程不等式选讲［A组 高考题体验练］1.(选修4・4)在直角坐标系xQy中，曲线Ci的参数方程为 (Z为参数，Q>0)・在以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 Cy. 〃 = 4cos0.(1) 说明G是哪一种曲线，并将G的方程化为极坐标方程；(2) 直线C3的极坐标方程为&=偽，其中他满足tan «o=2,若曲线G与C2 的公共点都在C3上，求久［解］(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2 + (y-\)2=a2，则C］是以(0,1) 为圆心，°为半径的圆.3分将x=pcos 6, y=ps\n 3代入Ci的普通方程中，得到C］的极坐标方程为才 —2/>sin 0+1 —/=0.5 分(2)曲线G, C2的公共点的极坐标满足方程组［p2—2psin 3+1 —a2 = 0,若 #H0,由方程组得 16cos%—8sin 0cos 0+1 —a2 = 0, 7 分 由已知 tan 0=2,可得 16cos20—8sin 0cos 0=0, 8 分 从而1 一/ = 0,解得q= — 1(舍去)或d=1.9分当0=1时，极点也为Ci, C2的公共点，且在C3上.所以a=l.l0分(选修 4-5)已知函数./(x) = |x+l|-|2x-3|.(1)画出尹=Ar)的图彖；⑵求不等式|/(%)|>1的解集.1101X图 23-1rx—4,兀W —1,3［解］(1)由题意得/(x)=$ %一2, —IVxW刁 2分3—x + 4, X>T,故y=f[x)的图象如图所示•X11\1AX01\1\///(2)由./(X)的函数表达式及图象可知，当几0=1时，可得x=l或x=3; 6分当.心)=一1时，可得兀=+或x=5.7分故/(x)>l的解集为{x|l5 :9分 所以I/WI>1的解集为，xV*或1VxV3或兀>5 J0分2.(选修4・4)在直角坐标系gy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25・(1)以坐标原点为极点，兀轴止半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程;x=fcos a,⑵直线/的参数方程是I a为参数)，/与C交于B两点，\AB\y=/sm a=Vlo,求/的斜率.［解］ ⑴由x=pcos 9f y=psin 0可得圆C的极坐标方程为p2 + 12pcos 0+11=0.2 分lx=/COS Ck(2)法一：由直线/的参数方程[ ・'(/为参数)，消去参数得y=x^anlv=/sin aa.4分设直线/的斜率为则直线/的方程为kx-y=0.由圆C的方程(x+6)2+y=25知，圆心坐标为(-6,0),半径为5.5分又 \AB\ = V10，由垂径定理及点到直线的距离公式得I：；=整理得z：2=|,解得丘=±習2 即/的斜率为±冷110分法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线/的极坐标方程为0=a(〃WR).3分 设B所对应的极径分别为°, px 将/的极坐标方程代入C的极坐标方 程得 p2 + 12pcos a+11 =0, 4 分于是 pi+“2= —12cos a, p\pi= 11.5 分\AB\ = |pi —P2I =yj(p\+p2)2—4p\p2144cos2«—44.7 分由\AB\=y[\0^ cos2oc=-|, tan a=±^^.9 分所以i的斜率为斗了或一10分(选修4・5)已知函数./(x)= + x+\ , M为不等式./(%)<2的解集.⑴求M；(2)证明：当 a, bWM 时，\a+b\<\\+ab\.~2x, 刁懈］(l)/(x)=< 1,2x,兀上*.当 xW—g时，由 J{x)<2 得一2xV2,解得x> —1; 3 分当一*VxV*时，/x)<2; 4 分当兀三*时，由./(X)<2得2x<2,解得x< 1.所以/W<2的解集M= {x|-l

>1时，①等价于q-1+q23,解得心2.所以a的取值范围是［2, +^).10分［B组模拟题提速练］1. (选修4—4)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建 立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为p£= — 1 +/cos a,(Z为参数，a为直线的倾斜角).= /sin a(1)写出直线I的普通方程和曲线C的肓角坐标方程；(2)若直线Z与曲线C有唯一的公共点，求角a的大小.7T［解］(1)当6(=2时，直线/的普通方程为X= —1;jr当㊁时，直线/的普通方程为y=tanc((x+l).3分由 p = 2cos 0,得 p2=2/9cos d,所以x2+y2=2xf即为曲线C的直角坐标方程.5分(2)把 x= —1 +/cos a, ^=Zsin a 代入 x2+y2=2xf 整理得 r2—4/cos a+3=0.6 分由 J = 16cos2a—12 = 0, 得 cos2a=|,, 所以 cosa=¥或 cosa=—¥，8 分 故直线l的倾斜角a为彳或罟.10分(选修 4 —5)设函数f(x)=\x-3\-\x+a\,其中 a^R.⑴当a = 2时，，解不等式./(%)< 1；(2)若对丁•任意实数x,恒有/(x)W2d成立，求d的取值范围.［解］(1)q = 2 时，/(x)Vl 就是|兀一3| — |兀+2|<1.1 分当xV—2时，3—x+x+2Vl,得5< 1,不成立；2分当一2WxV3 时，3—x—x—2V1,得x>0,所以 0VxV3; 3 分当x$3时，x—3 —X-2V1,即一5V1,恒成立，所以x23.4分综上可知，不等式./(x)Vl的解集是(0, +oo),5分(2)因为夬兀)=|兀一 3| — |兀+40|(兀 一 3)—a+d)| = |a+3|,所以/(x)的最大值为匕+3|.6分对于任意实数x,恒有./(x)W2a成立，等价于|g+3|W2q.7分当 aN—3 时，g+3W2g,得 g23; 8 分当 °V—3 时，一q —3W2a, —1,不成立.9 分综上，所求a的取值范围是［3, +^).10分2. (选修4—4)平面直角坐标系xQy中，曲线C： (%-l)2+j；2= 1.直线/经过 7T点P(gO),且倾斜角为§以O为极点，以X轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1) 写出曲线C的极坐标方程与直线/的参数方程；(2) 若直线/与曲线C相交于％, 〃两点，H\PA\-\PB\=L求实数加的值.［解］(1)曲线 C 的普通方程为(%—l)2+y2=l,即 x2+y2 = 2x,即 p2 = 2pcos 0, 即曲线C的极坐标方程为p = 2cos 02分直线/的参数方程为S(Z为参数).5分(2)设B两点对应的参数分别为"，込,将直线/的参数方程代入x2+y2 =2x 中，得 t1 + +m2 — 2m=0,所以 t\t2=m1—2in.S 分由题意得|m2-2m| = l,得加=1,1+迈或1-^2.10分(选修 4 — 5)已知函数 /(X)= \x+6\ — \m —x\(m 丘 R).(1) 当加=3时,求不等式.心)25的解集；(2) 若不等式.心)W7对任意实数x恒成立，求加的取值范围.［解］(1)当 m = 3 时，几丫)25,即|x+6| —|x—3|25,① 当兀V-6时，得一925,所以xE0；② 当一6WxW3 时，得x+6+x—325,即 x21,所以 1③ 当x>3时，得9M5,成立，所以兀>3.4分 故不等式.心)$5的解集为{x|x^l。