专转本第九章级数93.ppt

第二节第二节 正项级数及其收敛法正项级数及其收敛法u 正项级数及其收收敛法一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义: :则称此级数为正项级数正项级数. .2.2.正项级数收敛的正项级数收敛的充分必要充分必要条件条件: :正项级数收敛的正项级数收敛的基本定理基本定理注：注：正项级数收敛的正项级数收敛的本质本质 ————un 0 0足够足够快3.比较审敛法比较审敛法重要参照级数重要参照级数: :等比级数等比级数, , p- -级数极限形式极限形式: :注注: :须有参照级数须有参照级数. 比较审敛法的不方便比较审敛法的不方便——结论:解解发散发散.故原级数收敛故原级数收敛.由项的比值或根值的极限值确定级数的收敛性由项的比值或根值的极限值确定级数的收敛性. . 比值审敛法、比值审敛法、根值审敛法根值审敛法的优点的优点: :注意注意:解解解解解解解解比值审敛法失效比值审敛法失效.根值审敛法也一定失效根值审敛法也一定失效.改用比较审敛法改用比较审敛法第三节第三节 任意项级数任意项级数u 交错级数及其收收敛法u 绝对收敛与条收收收敛一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为交错级数交错级数. .称为级数余项收敛且S<1如果则例如二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛解解故原级数（绝对）收敛故原级数（绝对）收敛.解解*定理（绝对收敛与条件收敛的本质）定理（绝对收敛与条件收敛的本质）(1) (1) 绝对收敛的级数，可以任意改变项的顺序，绝对收敛的级数，可以任意改变项的顺序，其收敛性与和均不变；其收敛性与和均不变；(2) (2) 条件收敛的级数，总可以适当改变项的顺条件收敛的级数，总可以适当改变项的顺序，使其按任意预定的方式收敛序，使其按任意预定的方式收敛或或发散。

发散注：注： 用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级数一定发散数一定发散三、小结三、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4. 充要条件充要条件5. 比较法比较法6. 比值法比值法7. 根值法根值法4. 绝对收敛绝对收敛5. 交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3. 按基本性质按基本性质;(*) 第四节第四节 幂级数幂级数一一. 函数项级数函数项级数1.定义 函数项级数是定义在区间 I 上的函数列在 I 中任取一点 ,就得到一个数项级数收敛, 收敛点发散, 发散点 函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域2.收敛域3.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，因此其和是x的函数，称为和函数4.余项:前n项的部分和在收敛域内才有意义,且 二二. 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性幂级数各项都是幂函数的函数项级数一般形式:特例系数(1)(2)主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2)1.幂级数的收敛域x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.例由等比级数的性质, 时收敛, 时发散则收敛域(－1,1)内定理1 (阿贝尔定理) 如果 ：1.在点 收敛, 则当 时，它绝对收敛2.在点 发散, 则当 时，它发散.推论 设 存在非零的收敛点,又存在发散点,则存在R>0,使得当 |x|R 时它发散注:三种收敛情形:(1) 仅在 x = 0 处收敛;(2) 在 内处处收敛;(3) 在(－R,R )内收敛,端点另外讨论收敛区间R—收敛半径收敛半径R= 0R= + ∞2.收敛半径的求法定理2(证明略)例 求收敛半径和收敛域x =1 时收敛； x =－1时收敛域是(－1，1]发散 收敛域是(－∞，∞）仅在 x =0 点收敛设 x－2＝ t ,由(1)知收敛域是(1,3]收敛域是(－1,1]令t =3 时t =－3时发散发散收敛域是(－3,3)收敛域是缺少偶次项,无法用公式，可以用比值法求Rρ<1时,收敛.ρ>1时,发散.则收敛区间为时,发散.注:缺少奇次项,也可以用此方法.三三.幂级数的运算性质幂级数的运算性质1.四则运算性质设收敛半径分别为 和 ,记则对于任意的 , 有利用乘法可以定义除法则注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多2. 分析运算性质设收敛半径为R, 则(1) S(x) 在收敛域内连续;(2) S(x) 在(--R,R)内可导,且即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数收敛半径不变.可推广到任意阶导数(3) S(x)在(--R,R)内可积,且即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分,所得到的幂级数收敛半径不变.注意:(2),(3)中端点需要另外讨论.例 求和函数设和函数为S(x)( |x| <1 )设和函数为S(x)则。