级数的概念和性质.ppt

无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数第八章本质是无穷多个数求和的问题本质是无穷多个数求和的问题1一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正依次作圆内接正边形边形, , 这个和逼近于圆的面积这个和逼近于圆的面积 S .设设 a0 表示表示即即内接正三角形面积内接正三角形面积, ak 表示边数表示边数增加时增加的面积增加时增加的面积, 则则圆内接正圆内接正第一节第一节 级数的概念和性质级数的概念和性质 2引例引例2. (神秘的康托尔尘集神秘的康托尔尘集) 把把[0,1]区间三等分区间三等分, 舍弃中舍弃中间的开区间间的开区间将将剩下的两个子区间分别三等分剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃并舍弃在中间的开区间在中间的开区间, 如此反复进行这种如此反复进行这种“弃中弃中”操作操作,问丢弃部问丢弃部分分的总长和剩下部分的总长各是多少？的总长和剩下部分的总长各是多少？丢弃的各开区间长依次为丢弃的各开区间长依次为故故丢弃部分总长丢弃部分总长剩余部分总长剩余部分总长 剩余部分总长虽然为剩余部分总长虽然为0 0, , 但康托尔证明了其成员和实数但康托尔证明了其成员和实数““一样多一样多””, ,它们象尘埃一样散落在它们象尘埃一样散落在[0,1][0,1]区间上区间上, , 人们称其为人们称其为康托尔尘集康托尔尘集. .0131 1、级数的定义、级数的定义: :— (常数项常数项)无穷级无穷级数数一般项一般项部分和数列部分和数列级数的部分和级数的部分和如何定义无穷个数相加？如何定义无穷个数相加？42 2、级数的收敛与发散、级数的收敛与发散: :当级数收敛时当级数收敛时, 称差值称差值为级数的为级数的余项余项. 显然显然5解解收敛收敛发散发散例例1 1 讨论等比等比级数数( (几何几何级数数) ) 的收的收敛性性. . 62). 若若因此级数发散因此级数发散 ;因此因此n 为奇数为奇数n 为偶数为偶数从而从而则则级数成为级数成为不存在不存在 , 因此级数发散因此级数发散. 综上所述综上所述, ,7例例2. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:解解: (1) 所以级数所以级数 (1) 发散发散 ;技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和8(2) 所以级数所以级数 (2) 收敛收敛, 其和为其和为 1 .技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和好处：可以计算好处：可以计算级数的和的值级数的和的值9解解练习：练习： 讨论无无穷级数数 的收的收敛性性. . 10二、级数的重要性质二、级数的重要性质性质性质1 (级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)证明证明注：注：正项级数收敛的正项级数收敛的本质本质 ————un 0 0足够足够快。

快11说明说明：：1 1、如果级数的一般项不趋于零、如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散；则级数发散； 级数级数发散；发散； 级数级数发散级数敛散性判别的第一步级数敛散性判别的第一步122 2、必要条件不充分：、必要条件不充分：再举一个重要例子：再举一个重要例子： 但级数发散但级数发散 调和级数调和级数 13讨论讨论于是于是矛盾，矛盾，调和级数调和级数 14浴缸浴缸浴缸能加满水吗浴缸能加满水吗1 1…………浴缸浴缸1 1…………15由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明也收也收敛, ,且有且有性质性质2 线性运算性质线性运算性质性质性质2(2) 表明收敛级数可逐项相加或相减表明收敛级数可逐项相加或相减 .16注注: :证证矛盾矛盾. .例如例如, 17性质性质3 收收敛级数级数任意加括号后仍收任意加括号后仍收敛, ,且其和不变且其和不变. . 证略注注收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.推论推论 如果加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散,则原级则原级数也发散数也发散. . 例如例如例如，例如，则级数数 且和不变且和不变. .本质是部分和的子序列本质是部分和的子序列逆否命题逆否命题18去掉、添加或改去掉、添加或改变级数中的有限数中的有限项, ,不会影响不会影响性质性质4它的它的敛散性散性( (但收但收敛级数的和可能要改数的和可能要改变).). 19例例5 5判断下列判断下列级数的数的敛散性：散性： 因为因为都收敛，都收敛， 故原级数收敛，故原级数收敛，解解且和为且和为20例例5 5判断下列判断下列级数的数的敛散性：散性： 收敛；收敛；发散。

发散21 公元前五世公元前五世纪, ,以以诡辩著称的古希腊哲学家著称的古希腊哲学家齐诺( (Zeno) )用用他的无他的无穷、、连续以及部分和的知以及部分和的知识, ,引引发出以下著名的悖出以下著名的悖论：： 如果如果让阿基里斯阿基里斯( (Achilles, ,古希腊神古希腊神话中善跑的英雄中善跑的英雄) )和和乌龟之之间举行一行一场赛跑跑, ,让乌龟在阿基里斯前在阿基里斯前头1000米开始米开始, ,假定假定阿基里斯阿基里斯的速度是的速度是乌龟的的10倍倍, ,也永也永远也追不上也追不上乌龟. .齐诺的理的理论依据是：当比依据是：当比赛开始的开始的时候候, ,阿基里斯跑了阿基里斯跑了1000米米, ,此此时乌龟仍然前于他仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个米；当阿基里斯跑了下一个100米米时, ,乌龟仍然前仍然前于他于他10米米,…,,…, 如此分析下去如此分析下去, ,显然阿基里斯离然阿基里斯离乌龟越来越近越来越近, ,但却是永但却是永远也也追不上追不上乌龟的的. .这个个结论显然是然是错误的的, ,但奇怪的是但奇怪的是, ,这种推理在种推理在逻辑上却没有任何毛病上却没有任何毛病. .那么那么, ,问题究竟出在哪儿呢？究竟出在哪儿呢？ 课外阅读：齐诺悖论课外阅读：齐诺悖论——阿基里斯与乌龟阿基里斯与乌龟22 如果我如果我们从从级数的角度来分析数的角度来分析这个个问题, ,齐诺的的这个悖个悖论就会不攻自破就会不攻自破. . 2324。