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第五讲-对称性和守恒定律———————————————————————————————— 作者：———————————————————————————————— 日期： 五．对称性和守恒定律1．运动积分：有心力场：所以 ， 故：积分：对于有心势场： h为常数有心力是保守力：与运动方程相比上述方程比拟容易求解运动积分：拉格朗日函数为广义坐标、和的函数，一个力学体系在时刻由个量和来决定广义坐标：其中：为拉格朗日方程通解的个积分常数他们存在于、的函数中，而且在运动过程中保持不变这种函数称为运动积分如果体系的自由度为我们可以从上述方程中消去，保存个方程组，解得：个都是相互独立的，都是拉格朗日方程的运动积分原那么上我们可以用运动积分来取代全部的拉格朗日方程最简单的运动积分：（1） 广义动量守恒：循环坐标：拉格朗日函数中不显含的坐标称为循环坐标或可遗坐标设拉格朗日函数中不显含的坐标，由得 广义动量例如有心力场： 中不显含，所以有（2） 广义能量守恒：广义能量积分：如果拉格朗日函数中不显含时间，那么，拉格朗日函数对时间的微分：由拉格朗日方程：得：运动积分：H的物理意义：设：H 为广义能量假设体系是稳定约束：，那么守恒量：运动积分的分类：（1） 具有可加性。

有几个局部组成，而各个局部之间的相互作用可以忽略不计，它的值等于各个局部之和（2） 具有不可加性：守恒量〔a〕时间的均匀性----------能量守恒〔b〕空间的均匀性----------动量守恒〔c〕空间的各向同性-------角动量守恒〔b〕+〔c〕 空间的均匀性和各向同性：在空间做一个无限小的平移：或无限小的转动：拉格朗日函数不变即：令，将方程： 带入上式：空间均匀性导致动量守恒：空间的均匀性意味着坐标可以任意平移，在座标平移时，体系各点都有一样的位移，因此各点都有一样的任意小，但不为零，所以空间各向同性导致角动量守恒：坐标轴方向可以任意转动， 时间均匀性导致能量守恒：时间均匀性： 那么：经典物理学中的对称性1． 空间均匀性：所有的位置 具有一样的构造1） 物理问题的解在平移下不变（2） 平移不变性对于孤立系统--------动量守恒空间均匀性是指体系的拉格朗日函数当粒子的坐标用代替时，保持不变，其中是任意的常矢量空间均匀性更通用的概念将只要求在空间平移下，运动方程的不变，假设是这样，也可以证明存在一个守恒量，但这个守恒量并不必定是正那么动量2． 时间的均匀性：孤立体系中，相对于时间的平移，自然规律是不变的。

即，在和两个时刻，自然规律具有一样的形式在数学上，上述概念由拉格朗日函数种不显含时间表示：由拉格朗日方程：方程两端同时乘以并对求和：增加一项：即：令：那么：守恒！3． 空间各向同性：沿空间所有方向具有一样的构造 孤立体系当整个体系在空间任意转动时，其力学性质不变 拉格朗日函数在空间转动下不变！令系统绕某一个轴转动，那么位矢的端点绕轴转动的半径为：，对时间求导：因为和相互独立，因此其顺序可以变化，所以：利用： 得：将拉格朗日方程代入：令 ，由于 所以例：均匀电场中的守恒定律：带电粒子〔1〕均匀电场中（3） 均匀磁场中推导出平移对称性的守恒定律解：正那么动量：应用拉格朗日方程：应用：得到：无论在什么时候，将广义力写成时间的全微分是可能的：守恒定律：(a)均匀电场：上述描述对应于两种不同的标准第一种情况：守恒定律：在该标准中，守恒量与正那么动量不相等！第二种情况：因为 所以拉格朗日量为：这样有：因此动量守恒：讨论：比拟第一种和第二种情况这是由两种不同的标准产生的：两种守恒量：守恒是一样。

因此，我们认为在有外部电磁场的情况下，包含正那么动量的定律的物理意义可以依赖于标准〔b〕均匀磁场：即：平移时动量守恒：此时：守恒量：守恒量不是正那么动量质点组的动量、能量和角动量：1． 质点组的动量定理：体系由各质点组成，第a 个质点和第b 个质点〔〕之间的相互作用用势能表示该两点之间的距离为：势能：注意到克罗内克函数的定义：因此：同理：因此：所以：牛顿第三定律！系统的总势能：右端第一式是对a 和b 都由1到N求和，但要求， 一方面保证了，另一方面防止了对同一对质点a 和b 的相互作用势能重复计算两次作用在a点合内力：作用在a点上的合外力：所以作用在a点上的合力：由拉格朗日方程：由广义动量和广义力的表达式：求和：因为：所以：所以： 质点系的动量定理！假设外场为零：， 那么 因此： 动量守恒！2． 动量和能量的变换：动量守恒和能量守恒的成立不依赖于参考系的选取，但是，在不同的参考系中，动量和能量所取的值不同设参考系相对于参考系以速度运动，用和分别表示第 a 个质点相对于和的速度，为质点系在和中的总动量，质点系的总动量在相互作匀速运动的坐标系之间的变换规那么：假设质点系不处于外场中，用和表示在和中的能量。

如果是质心系，那么质点系在中的能量等于质点系在质心系中的能量加上将质点系的总质量附在质心上时质心在系中的动能3． 角动量的变换：用分别表示在参考系中的角动量，利用：其中第一项 质点系在系中的总角动量，质心系中第二项：第三项：。