矩阵jordan形.doc

1特征根(按重数计 Jordan 标准形定理 每个阶复数矩阵 A 都与一个 Jordan 形矩阵n 相似：J121;00sJJP APJJ   O除了 Jordan 块的排列次序可以改变外，Jordan 矩阵是唯一的， 称它为 A 的 Jordan 标J 准形. 注意 A 的 Jordan 标准形的主对角元就是 A 的全部J 例 1 求矩阵2111 2132 1101 1122A   的 Jordan 标准形.J解 求出 A 的特征多项式，全体特征值为 .31IA 0,1,1,1 若 A 与相似于 Jordan 标准形： A∽，则它们有相同的特征值，从而有JJ0 1 1 1J  其中的等于 1 或 0.特别注意 若的特征值是单根，则必有 1 阶 Jordan 块.A( )由相似关系∽ ∽A I1 0 0 0JI可得秩数1111232()()211111212 1 r JIr AIrank   可知中的 2 个只有一个等于 ，，另一个为，因此JI102或0 11 10 1J  0 10 11 1J  这两个 J 本质上是相同的(都含有 3 个 Jordan 块)，只是 Jordan 块的排列次序不同. 注意 如果两个 Jordan 矩阵只是 Jordan 块的次序不同，则认为它们本质上相同. 在这个意 义上，本题中的 J 由唯一决定.可写A∽.A0 11 1 1J另外，可找到一个可逆阵使得1011 3100 1010 2101P  即 .01111APPPJ  1P APJ例例 2 2 设 ，110 430 102A  (1)求 Jordan 标准形 J，并判断 A 可否对角化；(2)求相似变换阵 P，使.1P APJ解 A 的特征多项式为：,特征值为.所以2|| (2)(1)IA2,1,1 ∽ .A200 011 001J 注意， 若的特征值是单根，则必有 1 阶 Jordan 块.A( )由于 J 含有 2 阶 Jordan 块，可知 A 不能对角化.令，为列向量，则 AP=PJ，即123(,,)PXXX(1,2,3)iX i 3，123123200(,,)(,,) 011001A XXXXXX 即 .11223232,,AXXAXXAXXX所以为 A 的关于的特征向量；为 A 的关于的特征向量；1X22X1是非齐次方程的解（广义特征向量）.3X32()AI XX由 解出，1(2)0IA X1(0,0,1)TX 由 解出，2()0IA X2(1,2, 1)TX 由 解出，或32()AI XX3( 1, 1,0)TX   3(0,1, 1)TX 令，或可知123011 (,,)021 110PXXX 010 021 111P 即 .200 011 001APPP J 1P APJ例例 3 试证：每个 Jordan 块都相似于它的转置.kJT kJ证 计算可知.0110010 1 111 1001001   NOONO OOO注 由此例可知，每个 Jordan 矩阵 J 都相似于它的转置：∽(下三角矩阵).JTJ利用此例例 3 与 Jordan 标准形定理可得：推论 3 每个方阵 A 都相似于它的转置： ∽.TAATA例例 4 设为自然数，，试证：k0kA || 1AI证 由知的特征值全为零， 从而 Jordan 标准形 J 的主对角线元素全为0kA A零. 利用，可知 .1APJP11|| || |||||| 1AIPJPIPJIP小结小结 两个看上去很不相同的矩阵可以相似，因此，一条确定两个矩阵是否相似的途径4是，设想有某个具有指定简单形式的矩阵集合，然后看这两个已知矩阵是否可以通过相似化 成这些简单形式中的一个.如果它们能做到，那么它们必定是相似的（因为相似关系是传递的 和对称的） ，Jordan 标准形就是符合这个要求的简单形式. 本节的主要结果是，每个复矩阵都 相似于一个实质上是唯一的 Jordan 矩阵. Jordan 标准形定理可以说是矩阵相似理论的一个制高点. 有了 Jordan 标准形许多问题 就很清楚了.注 相应于每个单独的 Jordan 块，恰好有矩阵的一个特征向量：它是属于矩阵 mJJ中每个的第一个对角元素. 从而中 Jordan 块的个数就是 A 的线性无关特征向J mJJ量个数. 补充若干论断和应用 利用参考书参考书：R.Horn and C.Johnson. Matrix Analysis, 1985 . 我们不加证明给出下列补充结论. (1) 给定 Jordan 标准形 J，可以得到如下几点结论：(2).每个 Jordan 块恰好对应着属于的一个特征向量； kJ(3) 每个值，其对应 Jordan 块的个数等于它的几何重数：； kJ()nr AI(3).Jordan 块的总数(按重复计)等于 J 的线性无关特征向量个数利用相似关系 A∽J 对应的秩数公式: ，()()kkrank AbIrank JbI可建立以下差分格式差分格式，求出方阵的 Jordan 标准形 J.A给定特征值 (1) 计算秩数 ： ()kr AI1, 2,k L规定 ，， ，， ，，0rn1()rr AI2 2()rr AIL(2) 计差：，，1kkkdrr0, 1, 2,k L，， ，， ，，01dnr112drr223drrL(3) 计差：，，1kkkldd1, 2,k L，，，，，，101ldd212ldd323lddL则(1) J 中含有的 Jordan 块共有 个；0()dnr AI(2) J 中含的阶 Jordan 块恰有 个，个， .kkl1, 2,k L注 1 若的特征值是单根，则必有 1 阶 Jordan 块.A( )注 2 可以证明：必有一个自然数使得，常数.k1()()kkr AIr AIL从而有 .10kkddL5补充例子补充例子 例例 5 用求秩法求以下矩阵的 Jordan 标准形.3411451100320021A  解 特征多项式为：.223432||(1) (1)4521IA计算秩数令，，.1: ()3r AI2()2r AI3()2r AI令 ，按差分格式，有01234, 3, 2, 2rrrr得知，恰有 1 个 2 阶 Jordan 块；1241031 1202l l fffff1 11 01 同理可知，含有的 Jordan 块为，111 01 从而可得∽ .A1100010000110001J    习 题 1. 如果与相似，C 与 D 相似，试证： 与 相似.AB    COOA     DOOB2. 若与都是方阵，证明 与 相似.AB0 0A B 0 0B A  3. 阶矩阵叫做幂零的，如果存在一个自然数 m 使 Am=0. 证明:nA (1) 是幂零矩阵当且仅当它的特征多项式的根全是 0；A (2) 如果一个幂零矩阵可以对角化，那么一定是零矩阵；AA (3) 如果是幂零阵，且，则不能对角化；A0A A(4) 如果是幂零阵，则 .A|| 1AI4. 证明: 每个阶数大于 1 的 Jordan 块都不能对角化.5. 设，证明：下列两个矩阵与不能相似0AB6. 10 1011100bb Abb     OO 10 101110bb Bbb     OO6. 求下列矩阵的 Jordan 标准形及其相似变换阵 P. J(1) (2) 301 121 103  17025 010 9013   (3) (4) (5) 120 020 221   460350361  211 212 112  7. 用求秩方法求下列矩阵的 Jordan 标准形.(1) (2) (3) 1231 123 12 3    3131131331311313   3411451100320021   (4) (5) (6) 111 333 222  308 316 205  142034043  (7) (8) (9) .211 221121  131 011001   126 103114  (10) (11) ， (12)4000 0400 3040 0304    1110 1101 0024 0012   (0)n naaaa aaaAaa   L L OM78. 试写出两个矩阵，它们的 Jordan 标准形都是 .200 011001J  9. 设，求与的 Jordan 标准形.12 21A0 0ABA0AICA10. 利用 Jordan 标准形证明： 每个方阵都相似于它的转置： ∽.ATAATA11. 已知的 Jordan 标准形 J，为复数. 证明：.Ab()()kkrank bIArank bIJ12. 已知 5 阶方阵适合条件A. 223, 2, ()4, ()3rankArankArank AIrank AI求的 Jordan 标准形.AJ13. 已知阶方阵满足，求其 Jordan 标准形为.nA10nnAAJ14. 利用方阵的 Jordan 标准形证明：如果，则对任何自然A1()()kkrank Arank Ar数 必有 .l()k lrank Ar15. 设是阶方阵的重特征值，证明：.bnAk()krank AbInk16. 设阶上三角阵，且主对角元都是 0.则的 Jordan 标准形不是对角阵.n0A A∽∽∽∽∽∽例例 已知 8 阶方阵适合：，A23(2 )4, (2 )1, (2 )0rank AIrank AIAI求的 Jo。