[工学]材料力学II第一章 材料力学 孙训方.ppt

材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案§1－1 非对称纯弯曲梁的正应力§1－2 两种材料的组合梁§1－3 开口薄壁梁的切应力·弯曲中心§1－4 开口薄壁截面梁约束扭转的概念§1－5 平面大曲率杆纯弯曲时的正应力第一章 弯曲问题的进一步研究1材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案§1－1 非对称纯弯曲梁的正应力当梁具有一个纵向对称平面，且外力作用在该对称平面内时，梁将发生对称弯曲(图a)，材料力学(Ⅰ)中已研究了该情形下梁横截面上的正应力第一章 弯曲问题的进一步研究(对称轴)Fzy(a)xyzF2材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但外力作用面与该平面间有一夹角，梁将发生非对称弯曲(图b)本节研究非对称弯曲时，梁横截面上的正应力第一章 弯曲问题的进一步研究zFyxFzy(b )zyF对称轴z3材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案三角形截面纯弯曲梁如图(a)所示，图中，x为梁的轴线，y,z为任意一对相互垂直的形心轴横截面上弯矩M的矢量方向和y轴的夹角为j，M 在y,z 轴上的分量分别为My和MzⅠ. 非对称纯弯曲梁正应力的普遍公式 第一章 弯曲问题的进一步研究4材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案几何方面 试验表明，非对称弯曲时，平面假设依然成立，设横截面的中性轴为n－n(位置未定)，距中性轴为h(图b)的任一点的线应变为式中，r为变形后中性层的曲率半径。

1)第一章 弯曲问题的进一步研究5材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案物理方面 横截面上各点仍为单轴应力状态，并设材料弹性范围内工作，且拉伸和压缩时的弹性模量均为E，横截面上任一点的正应力为(2)第一章 弯曲问题的进一步研究6材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案静力学方面 法向内力元素s dA组成的内力分别为将(2)式代入(3)式，得(3)(4)(5)第一章 弯曲问题的进一步研究7材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案因为 ，必有可见，中性轴n－n通过横截面的形心设中性轴n－n和y轴的夹角为q，如图所示由图可见将上式代入(2)式，得第一章 弯曲问题的进一步研究8材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案将(6)式代入(4),(5)两式，并注意到可得第一章 弯曲问题的进一步研究9材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案联解以上两式，得将(7)，(8)两式代入(6)式，得(1－1)式称为广义弯曲正应力公式1-1)第一章 弯曲问题的进一步研究10材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案由(7)和(8)式可以解出中性轴和y轴的夹角q为由(1-2)式可以确定中性轴的位置令(1-1)式中也可以得到(1－2)式第一章 弯曲问题的进一步研究11材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案横截面上的最大拉应力和最大压应力分别发生在距中性轴最远的D1和D2点处，如图a,b所示。

把D1和D2点的坐标(y，z)代入(1－1)式，可以得到横截面的st，max和sc，max1-1)式也可以用于计算细长梁横力弯曲时，横截面上的正应力第一章 弯曲问题的进一步研究12材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案Ⅱ. 广义弯曲正应力公式的讨论广义弯曲正应力公式(1—1)适用一切弯曲情况下梁横截面上正应力的计算，分述如下：（1） 梁具有纵向对称平面xy，且外力作用在该平面内(对称弯曲,平面弯曲)上式即为对称弯曲时，梁横截面上的正应力计算公式，式中的负号是因为(1-1)式中Mz为负值第一章 弯曲问题的进一步研究令（1—1）式中，My= 0 , Mz=M , Iyz= 0 , 得(1-1)13材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案(2) 梁不具有纵向对称平面，但外力作用在梁的形心主惯性平面内，或外力作用面与形心主惯性平面平行图a所示Z字形截面梁，图中y,z轴为形心主惯性轴(Iyz=0)，xy，xz均为形心主惯性平面弯矩M位于xy面内(M的矢量沿z轴)将My=0，M=Mz，Iyz=0代人(1-1)式，得第一章 弯曲问题的进一步研究(a)(1-1)14材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案上式表明，只要外力作用在形心主惯性平面内，或者外力作用面平行于形心主惯性平面时，对称弯曲时的正应力公式仍然适用。

由(1-2)式，得，即说明中性轴为z轴，梁只绕z轴弯曲，梁的挠曲线和外力均在xy平面内，或外力所在平面和挠曲线平面平行，即梁发生平面弯曲第一章 弯曲问题的进一步研究15材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案图b所示Z字形截面梁，其y,z轴为形心主惯性轴，弯矩M的矢量与y轴的夹角为j，把My=M cosj，Mz = M sinj，及 Iyz = 0代入（1-1）式，得第一章 弯曲问题的进一步研究(3) 梁不具有纵向对称平面，外力也不作用在形心主惯性平面内(1-1)(b)16材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案中性轴公式成为即中性轴不再垂直于M(外力)作用平面(中性轴不沿M的矢量方向)外力和挠曲线不在同一平面内，梁产生斜弯曲因为第一章 弯曲问题的进一步研究所以上式右端的第一项表示xz平面内弯曲时的正应力，第二项表示xy平面内弯曲时的正应力可见外力不作用在形心主惯性平面内时，可将外力向两个形心主惯性平面内分解，分别计算两个形心主惯性平面内的弯曲正应力，将二者叠加可得到横截面上任一点的正应力17材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案(4) 梁具有纵向对称平面，但外力作用面与纵向对称平面有一夹角第一章 弯曲问题的进一步研究这种情况，是情况3的特例，已在材料力学（Ⅰ）的§8－2中研究过。

18材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案例1－3 已知：Iy=283×10-8 m4，Iz=1 930×10-8 m4，Iyz=532×10-8 m4，[s]=170 MPa求[q]第一章 弯曲问题的进一步研究19材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案由于q 作用线沿y轴，所以My=0由图b可见，Mmax=MC=MzMz的矢量方向沿z 轴的负方向，所以由(1—2)式，得中性轴n－n位置如图c所示由图可见，st,max和sc,max分别发生在C截面的D点和E点该两点到中性轴的距离相等，D点的坐标为第一章 弯曲问题的进一步研究解：1. 用广义弯曲正应力公式计算20材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案按(1-1)式，可得D点的强度条件为把有关数值代入上式，得 [q]=23.1kN/m第一章 弯曲问题的进一步研究21材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案2. 叠加法 将Mz = MC沿形心主轴y0，z0方向分解(图d)，分别计算两个平面弯曲时的正应力，然后进行叠加由材料力学(Ⅰ)附录(Ⅰ)的(Ⅰ－13)式确定形心主轴的位置，即形心主轴y0，z0的位置如图d所示第一章 弯曲问题的进一步研究zy0yz0D(d)22材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案由材料力学(Ⅰ)附录(Ⅰ)的(Ⅰ－14)式，得形心主惯性矩分别为沿形心主轴y0，z0弯矩的分量分别为第一章 弯曲问题的进一步研究23材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案D点在y0，z0坐标中的坐标的绝对值分别为第一章 弯曲问题的进一步研究zy0yz0D(d)24材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案D点的强度条件为解得第一章 弯曲问题的进一步研究zy0yz0D(d)可见，当形心主轴位置未知时，利用广义弯曲正应力公式计算较为方便。

25材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案§1－2 两种材料的组合梁 由1, 2两种材料组合成一个整体的矩形截面梁如图a所示设1, 2两种材料的弹性模量分别为E1和E2，且E1y，1+y/r≈1，则(h)式成为直梁的正应力公式，即设c为曲杆横截面的形心到其内边缘的距离，当RC/c10时，曲杆的正应力用直梁公式s =My/Iz计算，可以得到足够精确的结果这类曲杆称为小曲率杆当RC/c≤10时，曲杆的正应力必须用公式(1－3)进行计算，这类曲杆称为大曲率杆第一章 弯曲问题的进一步研究86材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案Ⅱ. 曲杆纯弯曲时的正应力公式，也可以推广到横力弯曲的情况当横向力作用在曲杆的纵向对称平面内时，曲杆横截面上的内力一般有弯矩,轴力和剪力和轴力对应的正应力在横截面均匀分布，将它与弯曲正应力叠加，得到总的正应力弯曲切应力通常用直梁的切应力公式作近似计算第一章 弯曲问题的进一步研究87材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案Ⅲ. 几种常见截面中性层曲率半径r的计算公式(1) 梯形截面由 可知，确定r的关键在于计算 Oyz第一章 弯曲问题的进一步研究88材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案(2) 矩形截面令(i)式中，b1=b2=b，得(i)(j)第一章 弯曲问题的进一步研究89材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案(3) 三角形截面令(i)式中，b1=0，b2=b，得(k)第一章 弯曲问题的进一步研究90材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案yz(4) 圆截面第一章 弯曲问题的进一步研究91材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案第一章 弯曲问题的进一步研究(1)92材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案例 求图示矩形截面开口圆环n－n截面上的最大正应力。

第一章 弯曲问题的进一步研究nnyO z203060 9075 nn93材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案横截面的形心到中性轴的距离为横截面对中性轴z的静矩为第一章 弯曲问题的进一步研究解： 曲杆的几何尺寸分别为，h =30 mm，b=20 mm，R1=90 mm，R2＝60 mm，RC＝75 mm ，该曲杆为大曲率杆中性层的曲率半径为94材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案n－n截面上的轴力和弯矩分别为n－n截面上的最大拉应力和最大正应力分别发生在其外侧和内侧边缘处，其值分别为第一章 弯曲问题的进一步研究95材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案若用直梁公式计算，最大弯曲正应力为其最大误差为第一章 完第一章 弯曲问题的进一步研究96。