华理概率论与数理统计PPT C32ps.pdf

多维随机变量多维随机变量离散型离散型 分布函数分布函数连续型连续型规范性矩形概率规范性矩形概率规范性规范性规范性规范性P{(X,Y) G}设(X,Y)服从如图区域 D上的均匀分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P{Y<2X} ； (3)求F(0.5,0.5)设(X,Y)服从如图区域 D上的均匀分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P{Y<2X} ； (3)求F(0.5,0.5)1DS othersDyxyxf0),(1),()1(解解:41121 21GS41 211213S41 141}2{)2(XYP41)5 . 0 , 5 . 0()3( F}2{XYG  H}5 . 0, 5 . 0{   YXH2. 边际分布、条件分布 及统计独立性边际分布、条件分布 及统计独立性二维随机变量的边际分布二维随机变量的边际分布假设二维离散随机变量假设二维离散随机变量),(  的概率分布为：的概率分布为： , 2 , 1,,),(    jipyxPijji  ，， 考虑考虑 的一个概率分布构成记作的一个概率分布构成记作, 2 , 1),(},({)(11ippyxPyxPxPjijijji jjii称为边际分布列；称为边际分布列； 同样，记同样，记 , 2 , 1,),()(11jpyxPyPPiij ijijj也构成也构成 的边际分布列。

显然的边际分布列显然 11111 ijij jj iippp例例 1.已知已知 10 件产品中有件产品中有 3 件一等品，件一等品，5 件二等品，件二等品，2 件三等品从这批产品中任取件三等品从这批产品中任取 4 件产品，求其中 一等品、二等品件数各自的分布律件产品，求其中 一等品、二等品件数各自的分布律解：设解：设X及及Y分别是取出的分别是取出的 4 件产品中一等品及二等 品的件数，则我们有件产品中一等品及二等 品的件数，则我们有P Xi YjC C C Cijij (,)  3524104，，ijij 012 3012 344012, , , ;, , , , ;, , 即即 ijij012 3012 342 34, , , ;, , , , ;, ,即Y X01234pi00010 21020 2105 21035 2101015 21060 21030 2100105 21023 21030 21030 2100063 21032 2105 2100007 210 pj5 21050 210100 21050 2105 2101一等品件数一等品件数X的分布律为：的分布律为： X0123 pi35 210105 21063 2107 210二等品件数二等品件数Y的分布律为：的分布律为： Y01234 pj5 21050 210100 21050 2105 210注：边际分布不能全面反映联合分布的内 含信息注：边际分布不能全面反映联合分布的内 含信息.二 维 随 机 变 量二 维 随 机 变 量),(  关 于关 于  ,的 边 缘 分的 边 缘 分 布 函 数布 函 数 )(),(yFxF：： ),(),()()(        xFxPxPxF     即),(lim),()(yxFxFxF y    ),(),()()(yFyPyPyF               即),(lim),()(yxFyFyF x    ),()(yFyF    ),()( xFxF ),(0yF  ),(0   xF),(1      FO例例1.已知已知(X,Y)的分布函数为的分布函数为其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求求FX(x)与与FY(y)。

解：FX(x)=F(x,)= 0001 xxexFY(y)=F(,y)= 0001 yyyeeyy连续型随机变量连续型随机变量 1) 的边缘分布函数：的边缘分布函数： dyyxpdxxFxFx),(),()(  2) 的边缘概率密度：的边缘概率密度： dyyxpxp),()(    3) 的边缘分布：的边缘分布： dxyxpdyyFyFy),(),()(  4) 的边缘概率密度：的边缘概率密度： dxyxpyp),()(    r-r-rrxy0例例 2.设设(, )X Y在以原点为中心，在以原点为中心，r为半径的圆域为半径的圆域R上服 从均匀分布，求上服 从均匀分布，求 X 及及 Y 边缘概率密度边缘概率密度  222222 2,0,1 ),( ryxryxryxp 解：已经求出（解：已经求出（X，，Y）的联合密度函数为）的联合密度函数为222221)(2222rxrdyrxpxrxrX       rxrxrxr xpX ||, 0||,2 )(222 22xr 22xr x,||时当rx   dyyxpxpX),()(0)( xpX,||时当rx 说明：说明：( , )X Y的联合分布是均匀分布， 但边缘分布都不是均匀分布。

的联合分布是均匀分布， 但边缘分布都不是均匀分布r-r-rrxy y22yr 22yr 同理，同理，    ryryryr ypY ||, 0||,2 )(222 例3.设(X,Y)的概率密度为例3.设(X,Y)的概率密度为othersxyxcyxf0),(2（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度解解:(1)由规范性由规范性 1021xxcdydx6  c  dyyxfxfX),()()2(100  xorx10)(6622 xxxdyxx)|()|(|jijiyxPyxP       , 2 , 1,)(),(    ippyPyxPjijjji    111)|(|  ij jij jijij ji ippppppyxP )|()|(|ijijxyPxyP       , 2 , 1,)(),(    jppxPyxPiijiji    111)|(|  i ijij ijiij ij jppppppxyP 离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布显然显然条件分布条件分布例1.例1. 已知已知 10 件产品中有件产品中有 3 件一等品，件一等品，5 件二等品，件二等品， 2 件三等品。

从这批产品中任取件三等品从这批产品中任取 4 件产品，已 知其中有两件二等品， 求其中一等品件数的概 率分布；若其中一等品有一件，求其中二等品 的概率分布件产品，已 知其中有两件二等品， 求其中一等品件数的概 率分布；若其中一等品有一件，求其中二等品 的概率分布 解：设解：设X及及Y分别是取出的分别是取出的 4 件产品中一等品及二 等品的件数，则我们有件产品中一等品及二 等品的件数，则我们有P Xi YjC C C Cijij (,)  3524104，，ijij 01 2 30 12 3 440 12, , , ;, , , , ;, , 即即 ijij0 1 2 30 1 2 3 42 3 4, , , ;, , , , ;, ,一等品一等品二等品二等品三等品三等品则（则（X，，Y）联合分布律及边缘分布律为）联合分布律及边缘分布律为Y X01234pi00010 21020 2105 21035 2101015 21060 21030 2100105 21023 21030 21030 2100063 21032 2105 2100007 210pj5 21050 210100 21050 2105 2101则则 210100)2|(222iip ppYiXP，，i  012 3, , ,210105) 1|(111jjp ppXjYP，，j 01234, , , ,即：即：X0123)2|(YiXP1 106 103 100Y01234) 1|(XjYP01 74 72 701)0)( yp , 则在则在y  条件下，连续随机变量条件下，连续随机变量  的条件分布函数记作的条件分布函数记作)|(|yxF 。

★注意：由于★注意：由于0)(   yP ，所以不能直接用条件 概率公式，而从区域上的分布概率入手所以不能直接用条件 概率公式，而从区域上的分布概率入手则则)|(yyyxP       由积分中值定理：由积分中值定理： ydxyyxpdxyxpdyxxyyy),(),(1 yyypdyypyyy )()(2  连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布设设0)(     yyyP , dyypdxyxpdyyyyxyyy)(),(   )(),( yyyPyyyxP  ) 10(2, 1则则 )(),( )|(21 yypdxyyxp yyyxPx        所以，所以，)|(lim)|( 0|yyyxPyxF y            )(),(ypdxyxpx   )|(|yxF 对对x求导，得求导，得 )(),()|(|ypyxpyxp  ，， 称称)|(|yxp 为在为在y  条件下，连续随机变量条件下，连续随机变量  的条件概率密度函数。

的条件概率密度函数 2)0)( xp ，则在，则在x  的条件下，连续随机变量的条件下，连续随机变量的 条件分布函数：的 条件分布函数： yydyxypxpdyyxp xyF)|()(),( )|(||  ;条件概率密度函数：条件概率密度函数： )(),()|(|xpyxpxyp  . 例例 2.设设(, )X Y在以原点为中心，在以原点为中心，r。