第2章 一维势场中的粒子：习题解答[归类].pdf
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第 2 章 一维势场中的粒子 习题 2.1 在三维情况下证明定理 1-2 证明：实际上，只要在教材上对一维情形的证明中将一维变量 x 换为三维变量即可r 习题 2.2 方程 的一般解亦可写为如下形式：0k dx d 2 2 2 或 ikxikx BeAex )()sin()(kxAx 试分别用这两个一般解求解一维无限深势阱 解：方法 1：令势阱内一般解为 ，代入边界条件有 ikxikx BeAex )(, 0)(, 0)0(a ，0 BA0 ikaika BeAe 解得： ，有0sin,kaBA)3 , 2 , 1( ,n a n k 所以：)0( ,sinsin2)(axx a n Ax a n Aix 归一化可求得： )0( ,sin 2 ), 0( , 0 )( axx a n a axx x 且有： , 3 , 2 , 1, 2 2 222 n a n EE n 方法 2：令势阱内一般解为，代入边界条件有)sin()(kxAx, 0)(, 0)0(a , 0sinA0)sin(kaA 解得, 0)3 , 2 , 1( ,n a n k 所以：)0( ,sin)(axx a n Ax 归一化可求得： )0( ,sin 2 ), 0( , 0 )( axx a n a axx x 且有： , 3 , 2 , 1, 2 2 222 n a n EE n 习题 2.3 设质量为 的粒子在势场 中运动，求定态 Schrdinger 方程的 2/|| , 2/|| , 0 )( ax ax xV 解。
解：方法 1： 本问题与一维中心不对称无限深势阱 的差别仅在于坐标原点的选择，将教材中式（2.6） 中的坐标 x 换为 x+a/2 即得到本问题的解为： V(x) -a/2 a/2 x 2/, 2/, 0 2/ .2/), 2 (sin 2 )( axax axa a x a n a x n ,n=1,2,3 a 2 n EE 2 22 n 2 由定理 2 可知，本问题中的波函数应该具有确定的宇称讨论如下： 当 n=2k 为偶数时，为关于 . 2/, 2/, 0 . 2 /2/, 2 sin 2 ) 1() 2 ( 2 sin 2 )( 2 axax axa a xk a a x a k a x k k x 的奇函数，此时波函数为奇宇称； 当 n=2k+1 为奇数时， 为关于 x 的偶函数， . 2 /, 2/, 0 . 2 /2/, ) 12( cos 2 ) 1() 2 ( ) 12( sin 2 )( 12 axax axa a xk a a x a k a x k k 此时波函数为偶宇称； 方法 2：本题也可在不预先考虑宇称的情况下直接求解，过程如下： 1写出分区的定态Schrdinger方程EH )( , 2/|| , 2 2/|| , 2 00 2 22 2 22 VaxEV dx d axE dx d 由前面提到的，当 V0时，=0 故阱外波函数为零，即 （x）=0, |x|a/2 2、引入参数简化方程，得到含待定系数的解，令 2 2 E k 则阱内定态 Schrdinger 方程为：(x)+k2=0 由此得阱内的通解为： ikxikx BeAex )( 式中 A、B 为待定常数。
3、由波函数标准条件确定参数 k，并代入 (x) 既然阱外的波函数 (x)=0，由波函数的连续性条件可得 (-a2)= (a2)=0 即 0 0 2/2/ 2/2/ ikaika ikaika BeAe BeAe 可解得， n=1,2,3, a n k in AeB ) 2 (sin)2//sin(2 )()( 2/ )2//()2//(2/)/(/ a x a n AnaxniAe eeAeAeAex in naxninaxniinnaxniaxin 归一化，可得到 2/|| . 0 , 3 , 2 , 1, 2/||), 2 (sin 2 )( ax nax a x a n a x n 方法 3：本题也可在预先考虑宇称的情况下直接求解，过程如下： 1写出分区的定态Schrdinger方程EH )( , 2/|| , 2 2/|| , 2 00 2 22 2 22 VaxEV dx d axE dx d 由前面提到的，当 V0时，=0 故阱外波函数为零，即 （x）=0, |x|a/2 2、引入参数简化方程，得到含待定系数的解，令 2 2 E k 则阱内定态 Schrdinger 方程为：(x)+k2=0 由此得阱内的通解为：(x)=Asinkx+Bcoskx, |x|
3、由波函数标准条件确定参数 k，并代入 (x) 既然阱外的波函数 (x)=0，由波函数的连续性条件可得 (-a2)= (a2)=0 即 0)2/cos()2/sin()( 0)2/cos()2/sin()( kaBkaAa kaBkaAa 得它的解为： 或 0)2/cos( 0 ka A 0)2/sin( 0 ka B 由两组解可得， n=1,2,3, a n k 对于第一组解，n 为奇数；对于第二组解，n 为偶数 考虑到势函数关于坐标原点对称，波函数必有确定的宇称，由此可得到偶宇称或奇宇称波函数 为： 0 ,sin )( 为偶数nx a nx A x n 2/|| 2/|| ax ax 或 0 ,cos )( 为奇数nx a nx B x n 2/|| 2/|| ax ax 上边两组解可合并为一个式子，即 2/|| , 0 , 3 , 2 , 1, 2/||), 2 (sin )( ax nax a x a n A x n 归一化，可得到 2/|| , 0 , 3 , 2 , 1, 2/||), 2 (sin 2 )( ax nax a x a n a x n 习题 2.4 二维无限深方势阱问题 设质量为 的粒子在势场 )), 0(),, 0((),( , )), 0(),, 0((),( , 0 ),( 21 21 aa yx aa yx yxV 中运动，求束缚态解。 解：由前面的知识可以知道当粒子处于 V(x,y)= 时，则 粒子的波函数为零，即 (x,y)=0 (x,y) ((0,a1 ),(0,a2 )) 粒子在(x,y)((0,a1),(0,a2))内的 Schrdinger 方程EH 即： E yx )( 2 2 2 2 22 利用变量分离法，可以将粒子在二维方势阱内的运动化为二个一维运动即令 (x,y)=X(x)Y(y) 将 (x,y)=X(x)Y(y)代入上式的 Schrdinger 方程中，得 0 2 2 E Y Y X X 令 2 2 2 2 1 2 E kk 则 Schrdinger 方程可化为: ), 0(, 0 ), 0(, 0 22 2 11 2 a yY k Y a xX k X 则其解为: )sin( )sin( 22 11 y k AY x k AX 由此可设波函数为：(x,y)=Asin(k1x+1)sin(k2y+2) (x,y) ((0,a 1),(0, a2)) 由边界条件：(x,0)= (0,y)= (a1 ,y)= (x,a2)=0 代入波函数中，得 x ,故可取 0sin)sin( 0)sin(sin 2110 2210 xkA ykA 0sin 0sin 2 1 0 0 2 1 (x,y)=Asink1xsink2y (x,y) ((0,a1),(0,a2)) 由边界条件 (a1,y)= (x,a2)=0 得 0sinsin 0sinsin 221 211 akxkA ykakA 则得到 k1a1=n1, k2a2=n2 (n1,n2=1,2,3) 即 ， 1 1 1 a n k 2 2 2 a n k 3 , 2 , 1,),( 2 21 2 2 2 2 2 1 2 1 2 nn a n a n E 波函数y a n x a n A 2 2 1 1 sinsin 由波函数的归一化条件得到：1sinsin|| 2 2 0 1 122 0 21 ydxdy a n x a n A aa 得 21 21 24 aaaa A 所以，二维无限深方势阱的波函数为： ， n1,n2=1,2,3y a n x a n aa yx nn 2 2 1 1 21 , sinsin 2 ),( 21 能级为： 3 , 2 , 1,),( 2 21 2 2 2 2 2 1 2 1 2 , 21 nn a n a n E nn 习题 2.5 三维无限深方势阱问题 设质量为 的粒子在势场 )), 0(),, 0(),, 0((),,( , )), 0(),, 0(),, 0((),,( , 0 ),,( 321 321 aaa zyx aaa zyx zyxV 中运动，求束缚态解。 解：由前面的知识可以知道粒子在盒型势阱以外的波函数为零即 (x,y,z)=0 (x,y) ((0,a1),(0,a2),(0,a3)) 在盒型势阱内的定态 Schrdinger 方程EH 即： E zyx )( 2 2 2 2 2 2 22 利用变量分离法，可以将粒子在三维方势阱的运动化为三个一维运动不可穿透的壁就是 无限深的势阱 令 (x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)代入上式 Schrdinger 方程中，得 ya2 a1 a3 z x 0 2 2 E Z Z Y Y X X 令 2 2 3 2 2 2 1 2 E kkk 则 Schrdinger 方程可化为： ), 0(, 0 ), 0(, 0 ), 0(, 0 3 2 3 2 2 2 1 2 1 a zZ k Z a yY k Y a xX k X 阱内的波函数可设为：(x,y,z)=Asin(k1x+1)sin(k2y+2)sin(k3z+3) (x,y,z) ((0,a1),(0,a2),(0,a3)) 将边界条件：(0,y,z)= (x,0,z)=(x,y,0)= 0 代入波函数中，得 ，故可取 0sin 0sin 0sin 3 2 1 0 0 0 3 2 1 此时波函数可写为：(x,y，z)=Asink1xsink2ysink3z (x,y,z) (0,a1),(0,a2),(0,a3) 由边界条件，(a1,y,z)= (x,a2,z)= (x,y,a3)=0 代入波函数中，得： 0sinsinsin 0sinsinsin 0sinsinsin 3321 3221 3211 ak y k x k A z kak x k A z k y kak A (n1,n2,n3=1,2,3) 0sin 0sin 0sin 33 22 11 ak ak ak 333 222 111 nak nak nak (n1,n2,n3=1,2,3), 1 1 。
