激光原理第三节课课件.ppt

平行平面腔Fox-Li数值迭代法n优点是：优点是：光束方向性好，模体积大，容易获得单模模光束方向性好，模体积大，容易获得单模模 振荡，振荡，n缺点是：缺点是：谐振腔调整精度要求高，衍射损耗和几何损谐振腔调整精度要求高，衍射损耗和几何损 耗都比较大，其稳定性介于稳定腔与非稳定耗都比较大，其稳定性介于稳定腔与非稳定 腔之间腔之间n不不适适用用于于小小增增益益器器件件，，在在中中等等以以上上功功率率的的激激光光器器中中仍仍普遍应用普遍应用平行平面腔的优点和缺点：平行平面腔的优点和缺点：2004年10月27日1福建师范大学物光学院 陈建新平行平面腔Fox-Li数值迭代法（（1）假设在某一镜面上存在一个初始场分布）假设在某一镜面上存在一个初始场分布 ，将它代入，将它代入 迭代公式，计算在腔内经第一次渡越而在第二个镜面迭代公式，计算在腔内经第一次渡越而在第二个镜面 上生成的场上生成的场 ；；（（2）利用）利用(1)所得到的所得到的 代入迭代公式，计算在腔内经第二次代入迭代公式，计算在腔内经第二次 渡越而在第一个镜上生成的场渡越而在第一个镜上生成的场 ；；谐振腔内描述场渡越的迭代公式，表示为谐振腔内描述场渡越的迭代公式，表示为：谐振腔的迭代解法的思路：谐振腔的迭代解法的思路：（（3）如此反复运算多次后，观察是否形成稳态场分布；）如此反复运算多次后，观察是否形成稳态场分布；2004年10月27日2福建师范大学物光学院 陈建新平行平面腔的迭代解法 即当即当 足够大时，由数值计算得出的足够大时，由数值计算得出的 是否满足下述是否满足下述关系：关系：如果直接数值计算得出了稳定不变的场分布，则表明已经找到了腔的一如果直接数值计算得出了稳定不变的场分布，则表明已经找到了腔的一个自再现模或横模个自再现模或横模ïïïîïïïíì==+++.....................u1uu1u1q21qgg2004年10月27日3福建师范大学物光学院 陈建新平行平面腔的迭代解法如何选取初始入射波分布函数如何选取初始入射波分布函数 若取：均匀平面波 基模TEM0； 一阶模TEM1初始入射波分布函数不同，最后的稳态自再现模分布函数也不同。

初始入射波分布函数不同，最后的稳态自再现模分布函数也不同2004年10月27日4福建师范大学物光学院 陈建新平行平面腔的迭代解法流程图2004年10月27日5福建师范大学物光学院 陈建新对称矩形和条形镜平行平面腔矩形平行平面镜腔矩形平行平面镜腔对称矩形对称矩形(方形镜方形镜)平行平面镜腔是指谐振腔镜面是平行平行平面镜腔是指谐振腔镜面是平行的，并且在垂直与光轴方向上的尺度有限条形镜平行的，并且在垂直与光轴方向上的尺度有限条形镜平行平面腔是指镜面在某一方向上的尺度有限，而另一方向平面腔是指镜面在某一方向上的尺度有限，而另一方向上的尺度是无限的上的尺度是无限的2004年10月27日6福建师范大学物光学院 陈建新对称矩形和条形镜平行平面腔将上式展开，当将上式展开，当 ,并忽略高次项并忽略高次项:()()222Lyyxx+¢-+¢-=rLyyLxxLLyyLxxLyxyx2)(2)(1),,,(2222¢-+¢-+»úúûùêêëéøöçèæ¢-+øöçèæ¢-+=¢¢r对矩形平面腔，在图示的坐标系中，有对矩形平面腔，在图示的坐标系中，有2004年10月27日7福建师范大学物光学院 陈建新对称矩形和条形镜平行平面腔自再现模的积分方程：自再现模的积分方程：则，积分方程的核为：则，积分方程的核为：2004年10月27日8福建师范大学物光学院 陈建新对称矩形和条形镜平行平面腔自再现模的积分方程可以简化为自再现模的积分方程可以简化为 ： 因此有：因此有：上述方程是可以分离的，令上述方程是可以分离的，令：2004年10月27日9福建师范大学物光学院 陈建新对称矩形和条形镜平行平面腔其中有其中有：表示在表示在x方向宽度为方向宽度为2a而沿而沿y方向无限延伸的条形镜方向无限延伸的条形镜平面腔的自再现模；平面腔的自再现模；表示在表示在y方向宽度为方向宽度为2b而沿而沿x方向无限延伸的条形镜方向无限延伸的条形镜平面腔的自再现模；平面腔的自再现模；2004年10月27日10福建师范大学物光学院 陈建新对称矩形和条形镜平行平面腔用用 和和 分别表示它们的第分别表示它们的第m和第和第n个解，个解， 表表示相应的复常数，则有本征积分方程式：示相应的复常数，则有本征积分方程式：本征值本征值本征函数本征函数复常数为复常数为 ：m,n表示为谐振腔的横模表示为谐振腔的横模在整个镜面上的自再现场分布函数为在整个镜面上的自再现场分布函数为2004年10月27日11福建师范大学物光学院 陈建新圆形镜平行平面腔2004年10月27日12福建师范大学物光学院 陈建新对圆形平面腔，在图示的极坐标系中，有：对圆形平面腔，在图示的极坐标系中，有：将上式展开，当将上式展开，当 ,并忽略高次项并忽略高次项,可以得到可以得到:圆形镜平行平面腔)]cos(2[21),,,(22ffffr¢-¢-¢++=¢¢r rrrLLrr2004年10月27日13福建师范大学物光学院 陈建新圆形镜平面腔将上式代入自再现模积分方程，有：将上式代入自再现模积分方程，有：对上述积分方程进行分离变量，令：对上述积分方程进行分离变量，令：2004年10月27日14福建师范大学物光学院 陈建新可以证明　　　所满足的积分方程为：可以证明　　　所满足的积分方程为：　　　　－为第　　　　－为第m阶贝塞尔函数．　阶贝塞尔函数．　　圆形镜平面腔2004年10月27日15福建师范大学物光学院 陈建新平行平面腔的迭代解法 镜面宽度为镜面宽度为2a，腔长为，腔长为L的对称条形状腔。

并且：的对称条形状腔并且： 分析腔中的自再现模的形成过程分析腔中的自再现模的形成过程由条形状腔的迭代公式，可以得到：由条形状腔的迭代公式，可以得到：2004年10月27日16福建师范大学物光学院 陈建新平行平面腔的迭代解法 将计算结果进行归一化处理，即取：将计算结果进行归一化处理，即取： 取均匀平面波作为第一个镜面上的初始波，即：取均匀平面波作为第一个镜面上的初始波，即：由初始场分布出发，经第一次及第由初始场分布出发，经第一次及第300次渡越后，可以次渡越后，可以得到腔内场的振幅与相位的分布图：得到腔内场的振幅与相位的分布图：2004年10月27日17福建师范大学物光学院 陈建新条状腔经过1次和300次传播后的振幅分布2004年10月27日18福建师范大学物光学院 陈建新条状腔经过1次和300次传播后的位相分布2004年10月27日19福建师范大学物光学院 陈建新条形镜平行平面腔基模振幅分布2004年10月27日20福建师范大学物光学院 陈建新条形镜平行平面腔基模位相分布2004年10月27日21福建师范大学物光学院 陈建新圆形镜平行平面腔基模振幅分布2004年10月27日22福建师范大学物光学院 陈建新圆形镜平行平面腔基模位相分布2004年10月27日23福建师范大学物光学院 陈建新最低阶偶对称基横模稳态场分布特点：在镜面中心处的振幅最大，从中心到镜面边缘振幅逐在镜面中心处的振幅最大，从中心到镜面边缘振幅逐渐降落。

在整个镜面上场的分布具有偶对称性渐降落在整个镜面上场的分布具有偶对称性相位的分布发生了变化，镜面已经不再是等相位面了，相位的分布发生了变化，镜面已经不再是等相位面了，因此严格的说，因此严格的说，TEM00已不再是均匀平面波了已不再是均匀平面波了2004年10月27日24福建师范大学物光学院 陈建新最低阶奇对称横模稳态场分布特点：在镜面中心处的振幅为零，在镜面边缘振幅也最小在镜面中心处的振幅为零，在镜面边缘振幅也最小而在某一中间位置处振幅达到最大，在整个镜面上场而在某一中间位置处振幅达到最大，在整个镜面上场的分布具有奇对称性的分布具有奇对称性相位的分布发生了变化，镜面已经不再是等相位面了，相位的分布发生了变化，镜面已经不再是等相位面了，在节线边有相位突变在节线边有相位突变2004年10月27日25福建师范大学物光学院 陈建新对称开腔的单程相移在对称开腔的情况下，单程总相移在对称开腔的情况下，单程总相移2004年10月27日26福建师范大学物光学院 陈建新对称开腔的单程相移对称开腔的单程相移1.单程相移与菲涅耳有单程相移与菲涅耳有关，同一横模，关，同一横模，N越越大，单程相移越小；大，单程相移越小；2.N相同时，基模的单相同时，基模的单程相移最小，横模阶程相移最小，横模阶数越高，单程相移越数越高，单程相移越大大.2004年10月27日27福建师范大学物光学院 陈建新对称开腔的谐振频率对称开腔的谐振频率对称开腔自再现模的谐振条件：对称开腔自再现模的谐振条件：对于条形平行平面腔，谐振频率主要取决于纵模频率对于条形平行平面腔，谐振频率主要取决于纵模频率2004年10月27日28福建师范大学物光学院 陈建新对称开腔的单程功率损耗对称开腔的单程功率损耗无论是条状腔还是圆形镜平行平面腔，单程功率损耗的无论是条状腔还是圆形镜平行平面腔，单程功率损耗的大小都是菲涅耳数大小都是菲涅耳数 的函数的函数2004年10月27日29福建师范大学物光学院 陈建新对称开腔的单程功率损耗1.单程衍射损耗与菲涅耳有单程衍射损耗与菲涅耳有关，同一横模，关，同一横模，N越大，越大，单程衍射损耗越小；单程衍射损耗越小；2.N相同时，基模的单程衍相同时，基模的单程衍射损耗最小，横模阶数越射损耗最小，横模阶数越高，单程衍射损耗越大高，单程衍射损耗越大.3.低阶模的损耗远比均匀平低阶模的损耗远比均匀平面波的损耗低面波的损耗低2004年10月27日30福建师范大学物光学院 陈建新稳定球面镜共焦腔双凹球面镜腔：由两块相距为L，曲率半径分别为R1和R2的凹球面反射镜构成R1=R2=L博伊德和戈登博伊德和戈登(Boyd and Gordon)方形镜共焦腔方形镜共焦腔 长椭球函数，在长椭球函数，在N很大的情况，可以表示很大的情况，可以表示称厄米多项式与高斯函数乘积的形式。

称厄米多项式与高斯函数乘积的形式圆形镜共焦腔圆形镜共焦腔 超椭球函数，在超椭球函数，在N很大的情况，可以表示很大的情况，可以表示称拉盖尔多项式与高斯函数乘积的形式称拉盖尔多项式与高斯函数乘积的形式2004年10月27日31福建师范大学物光学院 陈建新方形镜对称共焦腔2004年10月27日32福建师范大学物光学院 陈建新方形镜对称共焦腔自再现模积分方程的解两镜面间任意两点的连线长度：两镜面间任意两点的连线长度：2004年10月27日33福建师范大学物光学院 陈建新方形镜对称共焦腔自再现模积分方程的解由球面镜的几何关系：由球面镜的几何关系：所以，有：所以，有：2004年10月27日34福建师范大学物光学院 陈建新方形镜对称共焦腔自再现模积分方程的解可以得到可以得到：方形镜对称共焦腔自再现模积分方程方形镜对称共焦腔自再现模积分方程代入自再现模积分方程：代入自再现模积分方程：2004年10月27日35福建师范大学物光学院 陈建新方形镜对称共焦腔自再现模积分方程的解进行无量纲变换：进行无量纲变换：则积分方程转化为：则积分方程转化为：根据分离变量：根据分离变量：不存在交错积分，是一个可分离变量的积分方程不存在交错积分，是一个可分离变量的积分方程2004年10月27日36福建师范大学物光学院 陈建新方形镜对称共焦腔自再现模积分方程的解求解上述方程的问题等价于如下两个方程的求解问题：求解上述方程的问题等价于如下两个方程的求解问题：由博伊德和戈登给出，由博伊德和戈登给出，在在C为有限值时，自再现模积分方程的本征函数为为有限值时，自再现模积分方程的本征函数为:2004年10月27日37福建师范大学物光学院 陈建新方形镜对称共焦腔自再现模积分方程的解角向长椭球函数 与 相应的本征值为：式中：其中：其中： 径向长椭球函数2004年10月27日38福建师范大学物光学院 陈建新方形镜对称共焦腔模式的场分布可以证明可以证明，在在 时，即在共焦腔镜面中心附近：时，即在共焦腔镜面中心附近：式中 、 :为常系数；为常系数； : :为为 m m 阶厄米多项式阶厄米多项式 4 4N N厄米多项式的零点决定了场图的零点，高斯函数决定了场分布的外形轮廓厄米多项式的零点决定了场图的零点，高斯函数决定了场分布的外形轮廓) 1 ,C(R) 1 ,C(ReC2)1(on)1(om]2)1nm(kL( i[nmppss++--=为高斯函数2X2e-2004年10月27日39福建师范大学物光学院 陈建新方形镜对称共焦腔模式的场分布最初几阶厄米多项式：最初几阶厄米多项式：厄米多项式具有如下的性质：厄米多项式具有如下的性质： 有有m m个实数根个实数根厄米多项式的一般表达式厄米多项式的一般表达式 : :2004年10月27日40福建师范大学物光学院 陈建新方形镜对称共焦腔模式的场分布将将X,YX,Y换回镜面上的直角坐标系换回镜面上的直角坐标系x,yx,y，得到：，得到： 本征值的近似解：本征值的近似解：2004年10月27日41福建师范大学物光学院 陈建新镜面上场的振幅和相位分布—基模 当当 ，得出共焦腔基模（，得出共焦腔基模（TEMTEM0000）的场的分布函数：）的场的分布函数：基模的强度分布也基模的强度分布也是高斯型的：是高斯型的：基模的镜面上的分布是高斯型的，模的振幅从镜中心向边缘平滑降落。

基模的镜面上的分布是高斯型的，模的振幅从镜中心向边缘平滑降落2004年10月27日42福建师范大学物光学院 陈建新镜面上场的振幅和相位分布—基模基模强度最大基模强度最大值值1/21/2处处 半功率点的光斑半径 ：基模振幅最基模振幅最大值的大值的1/e1/e处处基模在镜面上的光斑半径 ：共焦腔的光斑半径大小与镜面的尺寸没有关系，只与腔长或者反射镜的焦距有关共焦腔的光斑半径大小与镜面的尺寸没有关系，只与腔长或者反射镜的焦距有关2004年10月27日43福建师范大学物光学院 陈建新镜面上场的振幅和相位分布—基模高斯分布与两种定义的光斑尺寸高斯分布与两种定义的光斑尺寸2004年10月27日44福建师范大学物光学院 陈建新镜面上场的振幅和相位分布—高阶横模利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：最初几个横模的振幅分布函数为最初几个横模的振幅分布函数为(P117图图2-7-3振幅和强度分布振幅和强度分布)：：2004年10月27日45福建师范大学物光学院 陈建新镜面上场的振幅和相位分布—高阶横模高阶横模光斑半径须按沿不同坐标来计算，可以证明，沿高阶横模光斑半径须按沿不同坐标来计算，可以证明，沿x,y方向的光斑半径分别为：方向的光斑半径分别为：自再现模 的辐角决定了镜面上场的相位分布：无论对基模或者高阶模式，共焦腔反射镜本身构成一个等相位面2004年10月27日46福建师范大学物光学院 陈建新共焦腔的单程能量损耗 共焦腔基模单程功率损耗经验公式：共焦腔基模单程功率损耗经验公式：而同一菲涅耳数的圆形平面镜腔基模的损耗：而同一菲涅耳数的圆形平面镜腔基模的损耗：因此：菲涅耳数：单程功率损耗单程功率损耗例：例： HeNe激光器采用共焦腔，激光器采用共焦腔，L=30cm,a=0.2cm,振荡波长振荡波长0.6328微米微米2004年10月27日47福建师范大学物光学院 陈建新方形镜共焦腔和平行平面腔的衍射损耗2004年10月27日48福建师范大学物光学院 陈建新单程能量损耗结论：1.损耗随着菲涅耳系数损耗随着菲涅耳系数N的增大而迅速减小的增大而迅速减小2.菲菲涅涅耳耳系系数数相相同同时时，，不不同同横横模模的的损损耗耗不不同同，，模模的的阶阶次越高，损耗越大；次越高，损耗越大；3.共共焦焦腔腔模模的的损损耗耗要要小小于于平平面面腔腔模模的的损损耗耗，，这这是是因因为为共焦腔对光束会聚作用的结果。

共焦腔对光束会聚作用的结果4.自自再再现现模模的的衍衍射射损损耗耗小小于于均均匀匀平平面面波波的的衍衍射射损损耗耗，，因因为为自自再再现现模模的的形形成成过过程程反反应应了了衍衍射射损损耗耗的的影影响响，，从而使得边缘部分强度变小，衍射损耗的作用变小从而使得边缘部分强度变小，衍射损耗的作用变小 2004年10月27日49福建师范大学物光学院 陈建新单程相移和谐振频率 由谐振条件由谐振条件:可以得出各阶模的谐振频率为可以得出各阶模的谐振频率为 ：同一横模的相邻两纵模之间的频率间隔为同一横模的相邻两纵模之间的频率间隔为：q一定时，一定时，m,n改变，频率间隔为：改变，频率间隔为：TEMmn模在腔内一次渡越的总相移为：模在腔内一次渡越的总相移为：附加相移附加相移2004年10月27日50福建师范大学物光学院 陈建新单程相移和谐振频率共焦腔的振荡频谱及纵模和横模的关系共焦腔的振荡频谱及纵模和横模的关系2004年10月27日51福建师范大学物光学院 陈建新方形镜共焦腔强度花样2004年10月27日52福建师范大学物光学院 陈建新方形镜共焦腔振幅分布TEM002004年10月27日53福建师范大学物光学院 陈建新方形镜共焦腔振幅分布TEM102004年10月27日54福建师范大学物光学院 陈建新方形镜共焦腔振幅分布TEM202004年10月27日55福建师范大学物光学院 陈建新方形镜共焦腔振幅分布TEM112004年10月27日56福建师范大学物光学院 陈建新共焦腔与平行平面腔之不同1 1 镜面上基模场的分布镜面上基模场的分布 平行平面腔基模分布平行平面腔基模分布在整个镜面上，呈偶对称性分布，镜面中心处振幅最大，向镜边缘振幅逐渐降低； 共焦腔基模共焦腔基模在镜面上的分布在厄米-高斯近似下，与镜的横向几何尺寸无关，仅由腔长决定；一般共焦腔模集中在镜面中心附近；2004年10月27日57福建师范大学物光学院 陈建新共焦腔与平行平面腔之不同2 2 相位分布相位分布3 3 单程损耗单程损耗平行平面腔平行平面腔衍射损耗远高于共焦腔共焦腔的衍射损耗平行平面腔平行平面腔的反射镜不是等相面；而共焦腔的共焦腔的反射镜为等相面2004年10月27日58福建师范大学物光学院 陈建新共焦腔与平行平面腔之不同4 4 单程相移与谐振频率单程相移与谐振频率 平行平面腔平行平面腔中横模阶次m、n的变化引起的频率改变远远小于纵模阶次q的改变对谐振频率的改变； 在共焦腔共焦腔中， m、n的变化或q的改变对谐振频率的影响具有相同的数量级；2004年10月27日59福建师范大学物光学院 陈建新。