交换群上的HOPF路余代数的结构分类.pdf

扬州大学硕士学位论文交换群上的HOPF路余代数的结构分类姓名：吴美云申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：陈惠香20060401吴美云交换群上的H O P F 路余代数的结构分类!摘要最常见的H o p f 代数的例子有S w e e d l e r 四维H o p f 代数，群代数和L i e 代数的泛包络代数等．设k 为域，取定g ∈七+ ，g 为有限维半单李代数，A = b 矿) ～为g 对应的C a r t a n 矩阵，若A 可对称化，则g 的量子包络代数U g ) 为k 上的H o p f 代数．随着g 的取值不同，可构造不同的U g ) ．一般说来，构造H o p f 代数不是一件容易的事．近年来，很多数学家开始借助于q u i v e r 来研究代数结构．q u i v e r 在代数表示论中起着非常重要的作用．2 0 0 2 年，C ．C i b i l s 和M ．R o s s o 给出了q u i v e r 的路余代数成为分次H o p f 代数的等价条件．而( 分次) H o p f 代数的表示理论在物理学和数学的很多其它分支中都有应用，1 9 9 0 年，S ．M a j i d 将( 分次) H o p f 代数的表示理论运用于量子Y a n g —B a x t e r 方程的解的构造．q u i v e r 还可用来研究测度论和s t r i n g 理论．前不久，S ．Z h a n g ，Y ．Z h a n g 和H ．X ．C h e n 对p o i n t e dq u i v e rH o p f 代数进行了分类，他们给出了p o i n t e d 箭向H o p f 路余代数k Q 。

H o p f 路代数尼Q 5 以及一型H o p f 路余代数k G [ k Q ，] 以及p o i n t e d 箭向H o p f 路代数k Q 其中Q 有限) 的分类．本文从H o p fq u i v e r 出发，借助于右k Z 郴) - 模范畴的直积1 I c 训G ) ％㈣与k G —H o p f 双模范畴答M 等之间的同构，就G = D l 和D 2 时，分别给出了H o p f 路余代数坦的同构分类及其子H o p f 代数k G [ k Q , ] 的结构，得到以下几个定理：定理4 ．3 设G = D 1 = { 1 ，g } 为2 阶循环群，k 为固定的域，c h a r ( k ) ≠2 ，r 是关于G的r a m i f i c a t i o n ，Q = ( G ，，．) 为相应的H o p f q u i v e r ，若_ = m ≥0 ，名= q ≥0 ，则路余代数尼Q 有( m + 1 ) ( g + 1 ) 个互不同构的分次H o p f 代数结构k Q a 磊’) ，0 ≤玎≤m ，0 ≤f ≤q ．k G 在H o p f 双模( 尥，口鼬) ，0 ≤”≤m ，0 ≤f ≤g 上的模作用为：肾％粥= 灌薯= 口搿，Y j = 口抬年Q ，i = 1 ，⋯，m ；j = l ，⋯，q ．H o p f 路余代数k Q 。

@ ∥) ，中其>> 一> 一> 一gf吣嘲，●●●●，、●【=gy∽“口I I∥nl>> 一> 一> 一m门扬州大学硕士学位论文O O ，r = ％= ‰= 0 ，V i ≥0 ，设P ( i ，3 ) 表示将f 剖分成不多于3 个部分的方案数，( 如，3 ) = 1 + 尸( 1 ，3 ) + 尸( 2 ，3 ) + ⋯+ P ( m ，3 ) ，令夏) = { k = ( 盔，也，岛) ∈N 3I 白≥也≥岛≥o ，墨+ 也+ 岛≤_ } ，则路余代数坦有( 吃，3 )个_ U L 不同构的分次H o p f 代数结构k Q a 肌) ，k ∈五^ ) ，k G 在H o p f 双模( 熘，口舭) ，k = ( 蜀，包，恕) ∈夏) 上的模作用为：呸瑙旭罐驴{ 繁鬣苎兰，：I - 4 1 j1 ≤i ≤曩或k l + 也 o ，％= ‰= o ，令t 名) = { 尼= ( 矗，乞，如) ∈N 3l 矗+ k 2 + 也- ％> 0 ，％ 0 ，名= 1 7 , ％= P ，令夏撕) = { 尼= ( 白，尼：，⋯，k 6 ) ∈N 6I k l + k 2 + 包≤屹，k 4 + k 5 + 氏≤％} ，则路余代数k O 。

有tt ’扬州大学硕士学位论文4( 3 ：! ：门] ( 3 三p ] 个互不同构的分次H p f 代数结构尼Q c 口肌，，尼∈五¨，，尼G 毛KH o p f 双模( 七Q l ，口肌) ，k = ( 矗，k ：，毛，屯，包，吃) ∈夏¨) 上的模作用为：a y j = 以船，6 刁= 以箔，％= 西：) 6 ，a z ，= 日芸班倦≯发兰黧美鬈X竺巷俐={繁l i ∥> n 跳瑚妒{ 繁馨0w h e r eX i = 口蹄，Y j = 础∈Q 1 ，i = 1 ，⋯，m ；j = 1 ，⋯，q ．T h eg e n e r a t o r so ft h eH o p fs u b a l g e b r ak G [ k Q v口局]o f尼Q 口磊’) ，0 ≤，2 ≤聊，0 ≤f ≤g ，a sa na l g e b r a ，a r eg ，x j = a 0 a n d= a ．( ，J g ／，i = 1 ，⋯，m ；j = l ，⋯，g ．T h eg e n e r a t i n gr e l a t i o n sa r ea sf o l l o w s ：9 2 = ·，誓g = { “ - 毵g x j2 至：三：『f —g Y jq ≥／> f Y J g = Ig Y jf ≥／≥1a n y l ≤i ≤t 7 ，J = 1 ，⋯，船．誓■= X j X if o ra n yf ，／= 1 “2 一，m ；I 一乃y 』g ≥f ，J > t y f y ，2tY j Y ff ≥f ，／≥1x i y j = y j x 。

f o rT h ec o a l g e b r as t r u c t u r ei sg i v e nb y△( g ) = g o g ，A ( x f ) = 1 0 t + x l0 1，A ( y J ) = 1oy J + y ，og ，占( g ) = l ，占( 誓) = 0S ( y J ) = 一Y j g ，f o ra n yi = l ，⋯，m ；／= 1 ，⋯，g ·，e ( y j ) = 0 ，S ( g ) 2g ，S ( x i ) = 一x j ，I np a r t i c u l a r ，i f 聊= g = 0 ，t h e nt h ea l g e b r ak G [ k Q f i z i se x a l yt h e2 - d i m e n s i o n a lg r o u pa l g e b r ak G ．T h e o r e m5 ．2S u p p o s eG = D 2 =( 口，6 la 2 = 6 2 = 1 ，以b = b 口i sad i h e d r a lg r o u p ．L e tkb eaf i x e df l e l dw i t hc h a r ( k ) ≠2 ，rb ear a m i f i c a t i o nd a t ao fG ，a n dQ = ( G ，，．) b et h ec o r r e s p o n d i n gH o p fq u i v e r ．A s s u m e‘2m ≥0a n d名= r b = r b 。

0 ．L e tt ^ j ：k = ( k l ，心，岛) ∈N 3k l ≥心≥岛≥o ，岛+ 如+ 岛≤1 ) ，P ( i ，3 ) b em en 础e r fp a r t i t i o n sf o rit b et h es u m n - n e g a t i V ei n t e g e r sa n d( R 3 ) ：1 + P ( 1 ，3 ) + 尸( 2 ，3 ) + ⋯+ P ( m ，3 ) ．T h e nt h ep a t hc a l g e b r a 七Q e x a c ‘l Y吴美云交换群上的H O P F 路余代数的结构分类二a d m i t s ( 尺3 ) n o n —i s o m o r p h i cg r a d e dH o p fa l g e b r a 七Q 口肌) ，k ∈夏1 ) ．T h ek G —a c t i o no nt h ek G —H o p f b i m o d u l e ( 坞，口舰) ，k = ( 毛，k 2 ，岛) ∈t ^ ) i sg i v e nb y呸= 口￡：，6 _ = 以￡j ，誓6 = { j 差。

即= { 繁三 0a n d_ = ％2r 0 0 ．L e t互名) = { 尼= ( 矗，k 2 ，坞) ∈N 3l 墨+ 乞+ k 3 ≤名) ．T h e np a t hc a l g e b r ak Q e x a c t l ya d m i t s ∑( n - j + 1 ) P ( j ，2 ) n o n i s o m o r p h i cg r a d e dH o p fa l g e b r as t r u c t u r e sj = 0尼Q a 肌) ，k ∈t 名) ，w h e r eP ( j ，2 ) b et h en u m b e ro fp a r t i t i o n sf o r jt ob et h es u mo f⋯喇i v e i n t e s e r s ，⋯㈣力= 1 2 孚+ 1j 皿i se 训v e n ．m 肛a c t i o n ⋯ek G —H o p f b i m o d u l e ( 尼Q 1 ，a 欣)，k = ( 矗，镌，岛) ∈五乞) i sg i v e nb y即础批碱地6 《学f 一口留垆2t 口留1 ≤J ≤霸+ 如墨+ k 2 ％> 0a n d1 ：％。

0 ．L e t 五‘，曙) = { 尼= ( k l ，k 2 ，屯，k 4 ，k 5 ，k 6 ) ∈N 6I 毛+ k 2 + 乜≤名，k 4 + k 5 + k 6 0 ，名= 0 ，则路余代数坦有m + 1 个互不同构的分次H o p f 代数结构k Q a 厶) ，0 ≤门≤聊．k G 在H p f 双模( 蛔，口厶) ，≤珂≤聊上的模作用为髓= 日墨，誓g = 【- 嗽Gm 咒≥> f i ≥> 1 n ，其中x i = 以船∈Q 1 ，i = 1 ，⋯，m ．H o p f 路余代数尼Q a 厶) ，0 ≤，2 ≤聊的子H o p f 代数k G I 蝈，O f - z —I ，0 ≤，2 ≤聊作为代数的生成元是：g ，一，i = 1 ，2 ，⋯，聊．生成关系为：9 2 _ l ，粥= { 善芝三：2 ：”孙，f ，一，2 ，⋯m 余代数结构为：△( g ) = gOg ，△( x ) = 1O 一+ x f0 1 ，占( g ) = 1 ，占( 誓) = 0 ，S ( g ) = g ，S ( x ) = 一X f ，i = 1 ，⋯，m ．证明：因为‘= Ⅲ> 0 ，名= O ，Q = ( G ，r ) 是对应的H o p f q u i v e r ，则1 Q ? ：／⋯a ( 0 ．．i = 1 ，⋯，m ) ，s 饼= ／a ( i ) i = 1 ，⋯，聊) ，1 饼，g。