抽象代数试题2009-6-11a-key.pdf

东东 南南 大大 学学 考考 试试 卷卷 （ A 卷） 课 程 名 称 近世代数 考试学期08-09-3 得分 适 用 专 业 数学系各专业 考 试 形 式闭卷 考试时间长度 120 分钟共共 页页 第第 页页 一、填空(每空 2 分, 共 20 分). 1. 设 K 为给定的正方形, 则 K 的对称群中一共有___8___个元素. 2. 设群 G = {a, b, c}, 其中 a2 = a, 则 b1 = ____c____. 3. 在 3 元对称群S3中, (123)1 = ___(132)___. 4. 设群G中元素a的阶为 10, 则a2的阶为__5__, a3的阶为__10__, a1的阶为 __10__. 5. 设Z Z为整数环, nZ Z. 则当 n __为素数__时, n生成的理想是素理想, 当 n __为素数__时, n生成的理想是极大理想. 6. 在复二次数环Z Z[5 ]中, a + b5 为单位的充分必要条件是_a =  1, b = 0_. 7. 设域 F 中共有 n 个元素, 且 n 为偶数, 则 F 的特征为____2____. 二、判断(每题 2 分, 共 10 分. 在正确的后面划“”, 错误的后面划“”.) 1. 设 p 为正的素数, G 和 H 都是 p 阶群, 则 G 和 H 一定同构. (  ) 2. 若 H1, H2都是群 G 的子群, 则 H1∩H2, H1∪H2都是 G 的子群. (  ) 3. 设是群 G 到群G上的满同态, S是G中指数为 2 的子群, 则 S = {s  G | (s) S}为 G 的正规子群, 且 Ker为 S 的正规子群. (  ) 4. 若整环 R 中只有有限多个元素, 则 R 是一个域. (  ) 5. x5  2 在有理数域 Q Q 上的分裂域为 Q Q(52). (  ) 三、(20 分) 设 Z Z 和 Q Q 分别为整数加法群和有理数加法群. 1. 验证 Z Z 为 Q Q 的正规子群. 证明: (1) 0  Z Z, 可见 Z Z  ; (2)  a, b  Z Z, 有 a + b  Z Z; (3)  a  Z Z, 有 a  Z Z; (4) 因为有理数的加法满足交换律, 所以 a  Q Q, n  Z Z, 有 a + n  a = n  Z Z, 综上所述, Z Z 为 Q Q 的正规子群. 自自 觉觉 遵遵 守守 考考 场场 纪纪 律律 如如 考考 试试 作作 弊弊 此此 答答 卷卷 无无 效效 学号 姓名 线 封 密 2. 设: Z Z  Q Q为群同态, 证明: 存在aQ Q使得对于任意的k  Z Z, 有(k) = ak.证明: 令 a = (1), 则 aQ Q, 而且由为群同态可知(0) = 0, (k) = (k). 于是对于任意的 k  Z Z, (1) 当 k > 0 时, (k) = (1 + 1 + … + 1) = (1) + (1) + … + (1) = ak. k 个 1 k 个(1) (2) 当 k = 0 时, (k) = (0) = 0 = ak. (3) 当 k 0, (k) = (k) = a(k) = ak. 3. 设 : Q Q Z Z 为群同态, 证明: 对于任意的 aQ Q, 有(a) = 0. 证明: 对于任意的 aQ Q, 以及任意的正整数 n, 有a nQ Q, 因而(a n)  Z Z. 又因为(a) = (a n+a n+…+a n) = n(a n). n个a/n 这意味着(a)能被任意正整数n整除, 故(a) = 0. 4. 问: Q Q 是否为循环群? 为什么? 答: Q Q 不是循环群. 事实上, 假设 Q Q 是循环群, 则存在a  Q Q, 使得 Q Q = . 显然a  0. 于是对于任意的bQ Q, 存在n  Z Z, 使得b = na. 特别地, 取b =2a, 则存在n  Z Z, 使得2a= b = na. 由a  0可得n =1 2, 这与 n  Z Z 矛盾! 四、(10 分)证明: 整环R中, a, b为相伴元当且仅当(a) = (b). 证明: () 若a, b为相伴元, 则存在单位uR使得a = ub, b = u1a. 于是对于任意的x  (a), y  (b), 有x = ra, y = sb, 其中 r, s  R, 从而有x = ra = rub  (b), y = sb = su1a  (a). 可见 (a)  (b)且(b)  (a). 故(a) = (b). () 若(a) = (b), 则a  (b), b  (a), 故存在r, s  R 使得a = rb, b = sa. 当a = 0时, 有b = 0 = 1a, 可见a, b为相伴元; 当a  0时, 由a = rb = rsa得rs = 1. 可见r为单位, 故由a = rb可知a, b为相伴元. 共共 页页 第第 页页 五、(20 分)设是环(R, +, , 0)的自同态. 1. 对于任意的a, b  R, 验证: (ab) = (a) (b). 证明: 因为是环(R, +, , 0)的自同态, 所以对于任意的a, b  R, 有 (ab) + (b) = [(ab) + b] = (a), 故(ab) = (a) (b). 2. 验证的核Ker是R的理想. 证明: (1) 因为(0) = 0, 所以0 Ker, 可见Ker非空. (2) 对于任意的a, b  Ker, 有(a+b) = (a) + (b) = 0 + 0 = 0, 即a+b Ker. (3) 对于任意的a  Ker, 有(a) = (a) = 0 = 0, 即a  Ker. (4) 对于任意的a  Ker, r  R, 有(ra) = (r)(a) = (r)0 = 0, (ar) = (a)(r) = 0(r) = 0, 即ra, ar Ker. 综上所述, Ker是R的理想. 3. 证明是单射的充分必要条件是Ker = {0}. 证明: () 若是单射, 则对于任意的a  Ker, 由(a) = 0 = (0)可得a = 0. 可见Ker  {0}. 而{0} Ker是显然的, 故Ker = {0}. () 设Ker = {0}, 则对于任意的a, b  R, 由(a) = (b)得 (ab) = (a)(b) = 0, 即ab Ker = {0}. 可见ab = 0, 即a = b. 故是单射. 4. 对于任意的a  R, 令2(a) =[(a)], 3(a) =[2(a)], …,  k+1(a) =[ k(a)], 其中k为正整数. 验证: Ker k  Ker k+1. 证明: 对于任意的a  Ker k, 有 k+1(a) = [ k(a)] = (0) = 0. 因而a  Ker k+1. 这就是说Ker k  Ker k+1. 5. 若环R仅有有限多个理想, 且是满射, 则是同构. 证明: 因为是满射, 所以只要证明是单射即可. 由上面的第3题可知, 只要证明Ker = {0}即可. 为此用反证法. 假设Ker  {0}, 则存在0  x  Ker, 即(x) = 0. 由是满射可知存在a1  R, 使得(a1) = x. 显然a10且2(a1) = (x) = 0. 可见a1 Ker2但a1  Ker2. 因此Ker Ker 2. 对于上述a1  R, 存在a2  R, 使得(a2) = a1. 类似上面的讨论可见a2 Ker3但a2  Ker2. 因此Ker 2 Ker 3. 依次类推, 可得Ker Ker 2 Ker3 … 共共 页页 第第 页页 共共 页页 第第 页页 这与R仅有有限多个理想矛盾! 六、(20 分)设F = {0, 1}为二元域, F[x]为F上的一元多项式环. f(x) = x2 + x + 1, g(x) = x2 + x, h(x) = x2 + 1, k(x) = x2  F[x]. 1. 指出f(x), g(x), h(x), k(x)中哪些是F[x]中的既约元, 并将其余的分解为既 约元的乘积. 解: 因为F[x]中的全部1次多项式只有x + 1和x, 而(x + 1)(x + 1) = x2 + 1, (x + 1)x = x2 + x, xx = x2. 由此可见f(x) = x2 + x + 1是F[x]中的既约元, g(x) = x2 + x = (x + 1)x, h(x) = x2 + 1 = (x + 1)(x + 1), k(x) = x2 = xx. 2. 令K = F∪{, } = {0, 1, , }, 填写下面的加法表和乘法表, 使K成为 F的一个2次扩域. + 0 1    0 1   0 0 1   0 0 0 0 0 1 1 0   1 0 1      0 1  0   1    1 0  0  1  3. 写出K关于其加法构成的群(K, +)的所有子群, 并把群(K, +)写成循环子 群的内直和. 解: K关于其加法构成的群(K, +)的所有子群如下: H1 = {0}, H2 = {0, 1}, H3 = {0, }, H4 = {0, }, H5 = K. K = H2  H3 = H2  H4 = H3  H4 . 4. 域K是F的代数扩域还是超越扩域? 为什么? 答: 域K是F的代数扩域. 因为, 都是f(x) = x2 + x + 1的根. 。