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信号检测与估计课后习题 三、〔15分〕在二元信号的检测中，假设两个假设下的观测信号分别为： H0:x?r1H1:x?r1?r222 其中，r1和r2是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为1假设似然比检测门限为?，求贝叶斯判决表示式 解 假设H0下，观测信号x的概率密度函数为 ?x2-1?p(x|H0)-?exp-? ?2-?2?22假设H1下，x?r而r11?r2，1/2N(0,1),r2N(0,1)，且互相统计独立大家知道，假设rkN(0,1)，且rk(k?1,2,,N)之间互相统计独立，那么 2 x-xkk?1N2是具有N个自由度的?分布如今N?2，所以假设H1下，观测信号x的概率密度函数为 1x22/2?1p(x|H1)?2/2xexp(?)2?(2/2)21x?exp(?),x?022当x?0时，p(x|H1)?0 于是，似然比函数为 2 --1/2?x2x?p(x|H1)-?exp-?,x?0?(x)--2? ?22?p(x|H0)?x?0?0,当似然比检测门限为?时，判决表达式为 H1?1/22?xx---exp---?,x?0 -?2-22?H0-x?0?H0成立,对x?0的情况，化简整理得判决表达式为 -2?1/2-x?x2ln--? ----2H0H1四、〔15分〕被估计参量?的后验概率密度函数为 p(?|x)?(x-)2?exp[?(x-)?],-0 〔1〕求?的最小均方误差估计量?mse 。

〔2〕求? 的最大后验估计量?map 解 〔1〕参量?的最小均方误差估计量?mse是?的条件均值，即 ?mse-?p(?|x)d?0?-?(x-)2?2exp[?(x-)?]d?0 ?(x-)2?1(x-)2?12,x-?x-?mse?0,x-? 〔2〕由最大后验方程 ?lnp(?|x)|?0 -?map-得 ?[ln(x-)2?ln-(x-)?]- 1-(x-)|?0?-?map解得 ?map?1,x-?x- x--map?0,七、〔15分〕假设对未知参量?进展了六次测量，测量方程和结果如下： ?18-2-22-2---20-2----n ?38-4-40-4---38-4?设初始估计值和估计量的均方误差分别为：?0?0,?0- 试用递推估计求?的线性最小二乘估计量?1s-k和估计量的均方误差def2?2def?1s-k2(k?1,2,,6)；并将最终结果与非递推估计的结果进展比拟 解 我们知道，线性最小二乘估计量的构造公式为 ?1s?(HTH)-1HTx 而单参量?的线性最小二乘递推估计的公式为 ?k2?[(?k2?1)?1?hk2]?1Kk-k2hk ?k-k?1?Kk(xk?hk?k?1)这样，可以算出k?1,2, ,6的非递推估计结果和递推估计结果，如下表所示。

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