lesson4初等模型.ppt

初等模型（初等模型（2 2））一、录象机计数器的用途二、优秀成果评选公平性问题三、生小兔问题四、动物繁殖的规律五、棋子颜色的变化1、问题的提出 老式录象机或一些录音机上有计数器，而没有计时器因而问题产生：一盘180分钟的带子，计数器从0000变到6061当带子用到4450时，剩下的带子可否录下一个小时的节目问题所在：录象带读数并非随时间而均匀增长，是 先快后慢要建立的模型：计数器读数与录象带转过的时间之 间的关系2、问题分析——读数的增长为何先快后慢 r右左计数器主动轮转速不变建立模型：t = f ( n )3 3、模型假设、模型假设（1）录象带的线速度是常数v（2）计数器读数n 与右轮盘转的圈数（m ）成 正比，即m = k n（3）录象带的厚度（加两带间的空隙）是常数w（4）空右轮盘半径为r， 初始时刻：t=0时n=0几个角度建立模型！几个角度建立模型！4 4、模型的建立、模型的建立方法一、左轮盘所有圈数的长度录象带转过的长度=vt其中m为圈数，则m=kn模型：w相对r较小，忽略该项（2）=（1）4 4、模型的建立、模型的建立方法二、左轮盘面积增加录象带转过的长度与厚度的乘积=（3）4 4、模型的建立、模型的建立方法三、微积分法 设t = f ( n )考虑从第n到第n+△n圈（此时第n+1圈未走完)第kn圈△kn因此：读数器为n时因此：5 5、参数估计、参数估计记ab问题：测试一组数据估计： t = a n + b n初等模型（初等模型（2 2））一、录象机计数器的用途二、优秀成果评选公平性问题三、生小兔问题三、动物繁殖的规律四、棋子颜色的变化二、二、优秀成果评选公平性问题1、问题：设有N个评委组成的评选委员会， 有M项研究成果，评委会要从中选m

（1）回避得票率 （2）不回避得票率方案（2）还是不公平？除p=N－C外，对每个p，均有r 1 ( p ) < r 2 ( p )1N－C0rr2r1p应采用折中方案度量得票多少的函数q ( p )应满足如下条件：（1） q ( p )是p的单调增函数（2）r 1 ( p ) < q ( p ) < r 2 ( p ) ，0 < p < N－ C（3）q ( 0 ) = 0，q ( N – C ) = 1一个简单实用公平的度量函数还有吗？初等模型（初等模型（2 2））一、录象机计数器的用途二、优秀成果评选公平性问题三、生小兔问题四、动物繁殖的规律五、棋子颜色的变化三、生小兔问题三、生小兔问题1、问题： 兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一对小兔，且出生的兔子都成活，试问一年以后共有多少对兔子，两年后有多少对兔子?注：这是13世纪意大利比萨的一位叫伦纳德，绰号为斐波那 契(Fibonacd，1170—1250)的数学家，在一本题为《算 盘书》的数学著作中，提出的一个有趣的问题2 2、图示、图示3 3、问题分析、问题分析第一个月：只有一对小兔。

第二个月：小兔子末成熟不会生殖，仍只一对，第三个月；这对兔子生了一对小免，共有两对第四个月：老兔子又生了一对小免，而上月出 生的小免还未成熟，这时共有三对4 4、问题分析与模型建立、问题分析与模型建立记r i 表示第i个月的兔子数（1） r 1 = 1（2） r 2 = 1（3）规律： 2年后兔子的对数：750255 5、、 Fibonacd数列的奇特性质6、 Fibonacd数列的广泛应用1、一本专门研究它的杂志——《斐波那契季刊》 (Fibonacci Quarterly)于1963年开始发行，在美 国还专门设立了Fibonacci数委员会2、上世纪50年代出现的“优选法”中，也有斐波那 契数列的巧妙应用3、斐波那契数列不只是在生小免问题中才会遇到， 它也出现在自然界、生活中...…，如植物的叶 序、菠萝的鳞片、树枝的生长、蜜蜂进蜂房的 路线、钢琴键盘等初等模型（初等模型（2 2））一、录象机计数器的用途二、优秀成果评选公平性问题三、生小兔问题四、动物繁殖的规律五、棋子颜色的变化四、四、动物繁殖的规律1、问题： 某动物的最大年龄为15岁，按年龄分三组：（1）0~5岁 （2）6~10岁 （3）11~15岁。

从第（2）年龄组后开始繁殖第（2）年龄组平均繁殖4个，第（3）年龄组平均繁殖3个第（1）（2）年龄组分别进入下一年龄组的存活率为0.5，0.25现设三个年龄组的数量分别为1000，问：5年、10年、15年后各年龄段动物数量，并且20年后各年龄段动物数量又如何？2、问题分析设：以5年为1年龄段，t为时间段，各年龄段的数 量为： X(t)=[ x 1 (t) x 2 (t) x 3 ( t) ]/ 初始时刻的数量： X(0)=[ x 1 (0) x 2 (0) x 3 (0t) ]/=[1000 1000 1000]/则：第1年龄段第2年龄段第3年龄段3、模型4、求解5年、10年及15年数量5年10年15年20年第1年龄段70002750143758125第2年龄段500350013757187.5第3年龄段250125875343.85、思考？（1）当有足够大的时间t时，模型有什么 规律？ （代数性质）（2）如果每5年平均向市场供应动物数是： c = [ s s s ] /，问动物不在灭绝的前提 下，c应取多少？（3）在动物不在灭绝的前提下，每5年应 如何规划使得20年内向市场供应的数 量最大？初等模型（初等模型（2 2））一、录象机计数器的用途二、优秀成果评选公平性问题三、生小兔问题四、动物繁殖的规律五、棋子颜色的变化五、棋子颜色的变化1、问题： 任意拿出黑白两种颜色的棋子共8个，排成如下图所示的圆圆，然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子。

再重复以上的过程，问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢?2、最终结论是什么？ 可完全用数学的推理方法说明最多经过8次变换，各棋子的颜色都会变黑3、分析注意：规则是两同色的棋子中间加黑色棋子，两异 色的棋子中间加白色棋子，即黑黑得黑，白 白得黑，黑白得白，与有理数符号规则类似方法：用+1表尔黑色，用－l表示白色，开始摆的八 颗棋子记为a1，a2，...，a8，并且a k＝+1或-1， k＝1，2，…，8，下一次在al与a2中间摆的棋 子的颜色由a1和a2是同色还是异色而定类 似的a k a k+1正好给出了所放棋子的颜色4、符号运算规则规则：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白 引入记号⊙，则： (＋1) ⊙(＋1)＝(＋１)^２= ＋１ (－1) ⊙(－1)＝(－１)^２= ＋１　　　(＋1) ⊙(－1)＝－１5、各次颜色的确定 可见：最多经过8次变换以后，各个数都变成丁+1，这意味着所有棋子都是黑色，且以后重复上述过程，颜色也就不再变化了。

小组讨论题 我们每个人都有跑步的经历，有人会因此而疲惫不堪，但是有谁会想：怎样跑步能使我们消耗的能量最少?d4-01：跑步与走路时如何节省能量结 束！不公平！ 对非评委的研究成果的完成者不公平，因为评委对自己完成的成果投赞成票的可能性最大（1）规律：当时间t足够大时，满足：如何求？Matlab命令：特征值命令：d=eig(A)求正数: [i,j]=find(d>0)（2）如何取c值？由于：故：即：Matlab求不等式解：c=[152 152 152]（3）如何使数量最大？设c=[ c1 c 2 c 3 c 4]为每个5年的供应量，则：。