初中数学九大几何模型解题思路.doc

九大几何模型一、 手拉手模型----旋转型全等（1） 等边三角形【条件】：△OAB和△OCD均为等边三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED（2） 等腰直角三角形【条件】：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED（3） 顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB和△OCD均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED二、 模型二：手拉手模型----旋转型相似（1） 一般情况【条件】：CD∥AB，将△OCD旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA（2） 特殊情况 【条件】：CD∥AB，∠AOB=90°将△OCD旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA；③tan∠OCD；④BD⊥AC；⑤连接AD、BC，必有；⑥三、 模型三、对角互补模型（1） 全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM≌△CEN②过点C作CF⊥OC，如图3，证明△ODC≌△FEC※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE；②OE-OD=OC；③（2） 全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③ 证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。

3） 全等型-任意角ɑ【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；【结论】：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ； ③※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）：原结论变成：①；②；③可参考上述第②种方法进行证明请思考初始条件的变化对模型的影响对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；③注意OC平分∠AOB时，∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？四、 模型四：角含半角模型90°（1） 角含半角模型90°---1【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；也可以这样：【条件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；【结论】：①∠EAF=45°；（2） 角含半角模型90°---2【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF-BE；（3） 角含半角模型90°---3【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；【结论】：（如图1）若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论仍然成立（如图2）（4） 角含半角模型90°变形【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：△AHE为等腰直角三角形；证明：连接AC（方法不唯一）∵∠DAC=∠EAF=45°，∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；∴△DAH∽△CAE，∴∴△AHE∽△ADC，∴△AHE为等腰直角三角形模型五：倍长中线类模型（1） 倍长中线类模型---1【条件】：①矩形ABCD；②BD=BE； ③DF=EF；【结论】：AF⊥CF模型提取：①有平行线AD∥BE；②平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。

2） 倍长中线类模型---2【条件】：①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【结论】：∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB∥CD，有中点AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造 等腰△EMC，等腰△MCF通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）模型六：相似三角形360°旋转模型（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF 辅助线：延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD，证明△BDG为等腰直角三角形； 突破点：△ABD≌△CBG； 难点：证明∠BAO=∠BCG（2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF辅助线：构造等腰直角△AEG、△AHC；辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EF3） 任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长BA到G，使AG=AB，延长CD到点H使DH=CD，补全△OGB、△OCH构造旋转模型。

转化AE与DE到CG与BH，难点在转化∠AED4） 任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长DE至M，使ME=DE，将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO，此为难点，将△AMD∽△ABC继续转化为证明△ABM∽△AOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明∠ABM=∠AOD模型七：最短路程模型（1） 最短路程模型一（将军饮马类）总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决；特点：①动点在直线上；②起点，终点固定（2） 最短路程模型二（点到直线类1）【条件】：①OC平分∠AOB；②M为OB上一定点；③P为OC上一动点；④Q为OB上一动点；【问题】：求MP+PQ最小时，P、Q的位置？辅助线：将作Q关于OC对称点Q’，转化PQ’=PQ，过点M作MH⊥OA，则MP+PQ=MP+PQ’MH(垂线段最短）（3） 最短路程模型二（点到直线类2）【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）【问题】：n为何值时，最小？求解方法：①x轴上取C(2,0),使sin∠OAC=；②过B作BD⊥AC，交y轴于点E，即为所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=，即E（0，1）（4） 最短路程模型三（旋转类最值模型）【条件】：①线段OA=4，OB=2；②OB绕点O在平面360°旋转；【问题】：AB的最大值，最小值分别为多少？【结论】：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。

最大值：OA+OB；最小值：OA-OB【条件】：①线段OA=4，OB=2；②以点O为圆心，OB，OC为半径作圆； ③点P是两圆所组成圆环部（含边界）一点；【结论】：若PA的最大值为10，则OC= 6 ；若PA的最小值为1，则OC= 3 ； 若PA的最小值为2，则PC的取值围是 0

4） 相似三角形模型---圆幂定理型【条件】：（2）图：PA为圆的切线；【结论】：（1）图：PA×PB=PC×PD； （2）图：PA2=PC×PB; （3）图：PA×PB=PC×PD；以上结论均可以通过相似三角形进行证明 。