中考数学动点问题专题讲解.doc

中考动点专题所谓"动点型问题〞是指题设图形中存在一个或多个动点,它们段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想注重对几何图形运动变化能力的考察从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过"对称、动点的运动〞等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理选择根本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考察学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程在变化中找到不变的性质是解决数学"动点〞探究题的根本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向开展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：〔1〕运动观点；〔2〕方程思想；〔3〕数形结合思想；〔4〕分类思想；〔5〕转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地表达课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数提醒了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于*一个点或*图形的有条件地运动变化,引起未知量与量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.则,我们怎样建立这种函数解析式呢"下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段"如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH,GP,求关于的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量的取值范围).HMNGPOAB图1(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=NH=OP=2.(2)在Rt△POH中, , ∴.在Rt△MPH中,.∴=GP=MP= (0<<6).(3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH时,,解得. 经检验,是原方程的根,且符合题意.②GP=GH时,,解得. 经检验,是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH时,.综上所述,如果△PGH是等腰三角形,则线段PH的长为或2.二、应用比例式建立函数解析式 例2〔2006年·〕如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=CE=. (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定与之间的函数解析式； AEDCB图2 (2)如果∠BAC的度数为,∠DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中与之间的函数解析式还成立"试说明理由.解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB, ∴△ADB∽△EAC, ∴,∴, ∴.O●FPDEACB3(1)(2)由于∠DAB+∠CAE=,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=,且函数关系式成立,∴=, 整理得.当时,函数解析式成立.例3(2005年·)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.●PDEACB3(2)OF(1)求证: △ADE∽△AEP.(2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP的长.解:(1)连结OD.根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD∥BC, ∴,,∴OD=,AD=. ∴AE==. ∵△ADE∽△AEP, ∴, ∴. ∴ ().(3)当BF=1时，①假设EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.∴5-=4,得.可求得,即AP=2.②假设EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2.类似①,可得CF=CE.∴5-=2,得.可求得,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式ABCO图8H例4〔2004年·〕如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,⊙A的半径为1.假设点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=,△AOC的面积为.(1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积.解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=, ∴BC=4,AH=BC=2. ∴OC=4-.∵, ∴ ().(2)①当⊙O与⊙A外切时,在Rt△AOH中,OA=,OH=, ∴. 解得.此时,△AOC的面积=.②当⊙O与⊙A内切时,在Rt△AOH中,OA=,OH=, ∴. 解得.此时,△AOC的面积=.综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为或.专题二：动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

〕动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨一、以动态几何为主线的压轴题 〔一〕点动问题．1．〔09年徐汇区〕如图，中，，，点在边上，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点．〔1〕当时，求的长； 〔2〕当以点为圆心长为半径的⊙和以点为圆心长为半径的⊙相切时，求的长； 〔3〕当以边为直径的⊙与线段相切时，求的长． [题型背景和区分度测量点]此题改编自新教材九上"相似形"24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的根底上改编出第一小题,当E点在AB边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,参加直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解．[区分度性小题处理手法]1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程．2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R±r()建立方程．3．解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段. [ 略解]解：〔1〕 证明∽∴ ，代入数据得，∴AF=2〔2〕　设BE=,则利用〔1〕的方法， 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，，；内切，，．∴当⊙和⊙相切时，的长为或．〔3〕当以边为直径的⊙与线段相切时，．类题⑴一个动点：09杨浦25题〔四月、五月〕、09静安25题、⑵两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题．〔二〕线动问题在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)假设直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长；ABCDEOlA′(2)假设直线l与AB相交于点F，且AO＝AC，设AD的长为，五边形BCDEF的面积为S.①求S关于的函数关系式，并指出的取值范围；②探索：是否存在这样的，以A为圆心，以长为半径的圆与直线l相切，假设存在，请求出的值；假设不存在，请说明理由．[题型背景和区分度测量点]ABCDEOlF此题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线沿AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、参加直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二．[区分度性小题处理手法]1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法．2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程．3．解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段. [ 略解](1)∵A’是矩形ABCD的对称中心∴A’B＝AA’＝AC∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6 (2)①，，，∴， ()②假设圆A与直线l相切，则，(舍去)，∵∴不存在这样的，使圆A与直线l相切．[类题]09虹口25题．〔三〕面动问题 如图，在中，，、分别是边、上的两个动点〔不与、重合〕，且保持，以为边，在点的异侧作正方形.〔1〕试求的面积；〔2〕当边与重合时，求正方形的边长；〔3〕设，与正方形重叠局部的面积为，试求关于的函数关系式，并写出定义域；〔4〕当是等腰三角形时，请直接写出的长．[题型背景和区分度测量点]此题改编自新教材九上"相似形"24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的根底上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D点在AB边上运动时，正方形整体动起来，GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠局部的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二． [区分度性小题处理手法]1．找到三角形与正方形的重叠局部是解决此题的关键，如上图3-1、3-2重叠局部分别为正方形和矩形包括两种情况．2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决．3．解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段.[。