2014第十九届华杯初赛小学高年级组B卷(含解析).docx

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级 B 组）（时间:2014 年 3 月 15 日 8:00～9:00）一、 选择题（每小题 10 分，满分 60 分．以下每题的四个选项中，仅有 一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在答题卡相应题处．）1．平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（ ）条直线互相平行．A．0 B．2 C． 3 D．42．在下列四个算式中： ， ， ， ， 代表 0~9 中的不同数字，2A0EF1GH4IJAJ:那么两位数 不可能是（ ） ．BA．54 B．58 C．92 D．963．淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲） ，笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙） ，在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（ ）A．淘气的剪法利用率高 B．笑笑的剪法利用率高C．两种剪法利用率一样 D．无法判断4．小华下午 2 点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了 4 分钟，他特意在上午 10 点时对好了表．当小华按照自己的表于下午 2 点到少年宫时，实际早到了（ ） ．A．14 B．15 C．16 D．175．甲乙丙丁四个人今年的年龄之和是 72 岁．几年前（至少一年）甲是 22 岁时，乙是 16 岁．又知道，当甲是 19 岁的时候，丙的年龄是丁的 3 倍（此时丁至少 1 岁） ．如果甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（ ）种情况．A．4 B．6 C． 8 D．106．有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七位数 2014315．将这七张卡片全部分给甲、乙、丙、丁四人，每人至多分 2 张．他们各说了一句话：甲：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 8 的倍数”乙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是 9 的倍数”丙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 10 的倍数”丁：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 11 的倍数”已知四人中恰有一个人说了谎，那么说谎的人是（ ） ．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、 填空题（每小题 10 分，满分 40 分．）7．算式 的计算结果是______．31124309(5)8．海滩上有一堆栗子，这是四只猴子的财产，它们想要平均分配．第一只猴子来了，它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只猴子来了，它也没有等别的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆．第三只猴子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一个扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将剩下的栗子等分成了四堆后，扔掉多余的一个，取走一堆．那么这堆栗子原来至少有______个．9．甲、乙二人同时从 A 地出发匀速走向 B 地，与此同时丙从 B 地出发匀速走向 A 地．出发后 20 分钟甲与丙相遇，相遇后甲立即调头；甲调头后 10 分钟与乙相遇，然后甲再次调头走向 B 地．结果当甲走到B 地时，乙恰走过 A、 B 两地中点 105 米，而丙离 A 地还有 315 米．甲的速度是乙的速度的________倍，A、 B 两地间的路程是________米．10．从 1，2，3，…，2014 中取出 315 个不同的数（不计顺序）组成等差数列，其中组成的等差数列中包含 1 的有________种取法；总共有________种取法．第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级 B 组）参考答案1 2 3 4 5C D A B B6 7 8 9 10C 4 253 3，1890 6，5490参考解析1．平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（　　）条直线互相平行．A．0 B．2 C． 3 D．4【考点】几何 【难度】☆☆【答案】C【解析】这是一道考前公开题．当四条直线相互平行的时候把平面分成五个部分，当三条直线平行，另一条直线与它们相交的时候四条直线恰好把平面分成八个部分．所以选择 C2．在下列四个算式中： ， ， ， ， 代表 0~9 中的不同数字，2ABCD0EF1GH4IJAJ:那么两位数 不可能是（ ） ．A．54 B．58 C．92 D．96【考点】数论，数字谜专题中的横式数字谜问题【难度】☆☆【答案】D【解析】首先可以确定的是 ， 中必有一个是 0．那么 ， ， 只能为0EF,4IJIJ1，3；此时剩下的数字还有 2，4，5，6，7，8，9． ， 相差 1；讨论如下1GH,若 ，那么 为 8，9547ABCD,GH若 ，那么 为 6，7829,若 ，那么 为 7，846,若 ，此时 无法取值．所以 ，选 D．98ABCD,GH96AB3．淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲） ，笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙） ，在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（　　）A．淘气的剪法利用率高 B．笑笑的剪法利用率高C．两种剪法利用率一样 D．无法判断【考点】几何【难度】☆☆【答案】A【解析】根据提议，根据题意，如右甲图中正方形的面积为 ，圆的面积为 ，所以淘气的剪法利用率为24r2r；如左乙图中 ，大圆面积为 ，七个小圆面积和为 ，278.5%4r3R23927r所以笑笑的剪法利用率为 = ；所以选 A．279r.8%4．小华下午 2 点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了 4 分钟，他特意在上午 10 点时对好了表．当小华按照自己的表于下午 2 点到少年宫时，实际早到了（ ） ．A．14 B．15 C．16 D．17【考点】行程，时钟问题 【难度】☆☆【答案】B【解析】小华所带的“快表”每小时快了 4 分钟，说明准确时间走 60 分钟的时候， “快表”已经走了 64分钟了，这样我们就可以得到 ；现在快表走了 ，那么标准表走了61=05快 表标 准 表 460=2分 钟；所以实际上早到了 ，选 B．240156=2分 钟 2分 钟5．甲乙丙丁四个人今年的年龄之和是 72 岁．几年前（至少一年）甲是 22 岁时，乙是 16 岁．又知道，当甲是 19 岁的时候，丙的年龄是丁的 3 倍（此时丁至少 1 岁） ．如果甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（　　）种情况．A．4 B．6 C． 8 D．10【考点】典型应用题中年龄问题 【难度】☆☆【答案】B【解析】甲乙的年龄差是 岁；当甲 19 岁时， 13 岁；至少一年前甲 22 岁，所以当甲 19 岁216的时候，此时至少是 4 年前的年龄，那么甲今年至少是 23 岁；甲 19 岁时，丙的年龄是丁的3 倍，假设丁为 1 岁，丙为 3 岁，此时四人的年龄和至少是 岁；且甲今年的年19+3=6龄至多为 ；所以甲今年的年龄可能是 23，24，25，26，27，28；共 69+7268岁种，所以选 B．6．有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七位数 2014315．将这七张卡片全部分给甲、乙、丙、丁四人，每人至多分 2 张．他们各说了一句话：甲：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 8 的倍数”乙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是 9 的倍数”丙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 10 的倍数”丁：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 11 的倍数”已知四人中恰有一个人说了谎，那么说谎的人是（　　） ．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【考点】组合中的逻辑推理，数论中的整除问题【难度】☆☆☆【答案】C【解析】可以直接判断乙必定说的是真话，可以直接判断乙必定是说真话的，乙中的数字不管怎么变换都不可能是 9 的倍数因为七位数的数字之和为 ，不是 9 的倍数；如果丙说2+01435=6真话，那么他手中的数字是 0 和 5，可以实现对调位置后被 10 整除；如果甲说真话，那么他手中的数字只能是 5 和 2，可以实现对调位置后被 8 整除；如果丁说真话，那么他手中的数字只能是 0 和 3，这样才能使得奇数位数字之和减去偶数位数字之和的差是 11 的倍数(2314015， )．综上，如果丙说真话，那甲和丁都是说谎话的人，两(1)(430个人说谎话，不符合题意，所以说谎话的人是丙，选 C．7．算式 的计算结果是______．31124309(5)【考点】计算，繁分数计算【难度】☆☆☆【答案】4【解析】311243079(5)139127409531248．海滩上有一堆栗子，这是四只猴子的财产，它们想要平均分配．第一只猴子来了，它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只猴子来了，它也没有等别的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆．第三只猴子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一个扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将剩下的栗子等分成了四堆后，扔掉多余的一个，取走一堆．那么这堆栗子原来至少有______个．【考点】应用题，还原问题【难度】☆☆☆【答案】253【解析】最开始 第一只猴子留下的 第二只猴子留下的 第三只猴子留下的x314x3[1]4x3{[1]}4x有： ， 均为自然数；化简得： ，变形可得{[]}k, 2567k；经计算 ，此时 最小；所以 ．231637kx26x1253x9．甲、乙二人同时从 A 地出发匀速走向 B 地，与此同时丙从 B 地出发匀速走向 A 地．出发后 20 分钟甲与丙相遇，相遇后甲立即调头；甲调头后 10 分钟与乙相遇，然后甲再次调头走向 B 地．结果当甲走到B 地时，乙恰走过 A、 B 两地中点 105 米，而丙离 A 地还有 315 米．甲的速度是乙的速度的________倍，A、 B 两地间的路程是________米．【考点】行程，多人相遇【难度】☆☆☆【答案】3，1890【解析】假设全程为 ，甲乙的速度关系已经得知，现在我们从甲丙的路程关系中入手；从乙开始到s最后共走了 米，那么甲就共走了 米；丙共走了 ；又知10521330512ss 315s道甲丙相遇之时甲所走的路程正好是 米；此时丙走3153522ss；13512ss说明从甲丙相遇后到甲走到 B 地，丙恰好走了一半的路程，即 ；这135352sss段时间乙共走的路程为： ；所以乙丙的速度比是 ，11053522sss :2:所以甲乙丙速度比是 ；全程 米．6:3890丙丙 1312315丙 BA10．从 1，2，3，…。