中值定理构造辅助函数的.doc

word微分中值定理证明中辅助函数的构造1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的换成；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数〔等式中不含导数符号〕，并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数．例1：证明柯西中值定理．分析：在柯西中值定理的结论中令，得，先变形为再两边同时积分得，令，有故为所求辅助函数．例2：假如,,,…,是使得的实数．证明方程在〔0，1〕内至少有一实根．证：由于并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设〔取〕，如此1〕在[0，1]上连续2〕在〔0，1〕内可导3〕=0， 故满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在使，即亦即． 这说明方程在〔0，1〕内至少有实根． 2 积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数． 例3：设在[1，2]上连续，在〔1，2〕内可导，，．证明存在使．分析：结论变形为，不易凑成．我们将换为，结论变形为，积分得：，即，从而可设辅助函数为，有．此题获证．例4：设函数，在上连续，在内可微，．证明存在，使得：．证：将变形为，将换为，如此，两边关于积分，得： ，所以，其中，由可得．由上面积分的推导可知，为一常数，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的．因而令，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证．3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数．例5：证明拉格朗日中值定理．分析：通过弦两个端点的直线方程为，如此函数与直线AB的方程之差即函数在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数．例6：假如在上连续且．试证在内至少有一点，使．分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数的图形曲线必跨越这一条直线，而两者的交点的横坐标，恰满足．进而还可由图知道，对上的同一自变量值，这两条曲线纵坐标之差构成一个新的函数，它满足<0,>0,因而符合介值定理的条件．当为的一个零点时，恰等价于．因此即知证明的关键是构造辅助函数．4 常数k值法 此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：1） 将结论变形，使常数局部别离出来并令为．2） 恒等变形使等式一端为与构成的代数式，另一端为与构成的代数式．3〕观察分析关于端点的表达式是否为对称式．假如是，如此把其中一个端点设为，相应的函数值改为．4〕端点换变量的表达式即为辅助函数．例7：设在上连续，在内可导，，试证存在一点，使等式成立．分析：将结论变形为，令，如此有，令，可得辅助函数．例8：设在上存在，在，试证明存在，使得．分析：令，于是有，上式为关于，，三点的轮换对称式，令〔or：，or：〕，如此得辅助函数．5 分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出的条件和结论．例9：设函数在[0，1]上连续，在〔0，1〕内可导，证明在〔0，1〕内存在一点，使得．分析：所要证的结论可变形为：，即，因此可构造函数，如此对与在[0，1]上应用柯西中值定理即可得到证明．例10：设函数在[0,1]上连续，在〔0，1〕内可导，且=0，对任意有．证明存在一点使〔为自然数〕成立．分析：欲证其成立，只需证由于对任意有，故只需证：即，于是引入辅助函数〔为自然数〕．例11：设函数在区间［0，+］上可导，且有个不同零点：．试证在[0，+]内至少有个不同零点．〔其中，为任意实数〕证明：欲证在[0，+〕内至少有个不同零点，只需证方程=0在[0，+]内至少有个不同实根．因为，，，故只需证方程在内至少有个不同实根．引入辅助函数，易验证在区间[]，[]，…，[]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这个区间上应用罗尔定理，得，其中且以上说明方程在[][]…[][0，+]内至少有个不同实根，从而证明了方程=0在[0，+]内至少有个不同实根．6 待定系数法在用待定系数法时，一般选取所证等式中含的局部为，再将等式中一个端点的值换成变量，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数，这样首先可以保证=0，而由等式关系=0自然满足，从而保证满足罗尔定理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数与之间的关系．例12：设是上的正值可微函数，试证存在，使．证明：设，令容易验证在 上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在使，解得，故．例13：设函数在上连续，在内可导，如此在内至少存在一点使．证明：将所证等式看作，设，令，如此满足罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在一点，使，即，假如=0，如此，结论成立；假如，如此，从而有．例14：设，如此存在使．分析：对于此题设作函数．应用罗尔定理可得存在，使，即，从而，这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说明所作的辅助函数不适宜，如此需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数．证明：将所证等式变形为，设，令，如此满足罗尔定理条件，用罗尔定理可得存在，使，即，于是，故．总之，证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察，适当变换待证式子；二是要认真分析，巧妙构造辅助函数．抓住这两点，即可顺利完成证明． / 。