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行列式的例题 一．直接用行列式的性质计算行列式 1．试证明证明：先用行列式的加法性质拆第一列，2221112222221111112cbacbacbabaaccbbaaccbbaaccb再用初等变换化简得22222111112222211111 baaccbaaccbaaccbaacbbaacbbaacb左2222111122221111 baacbaacbaacaacbaacbaacb222111222111 bacbacbacacbacbacb=右222111222111 acbacbacbacbacbacb2221112acbacbacb2．计算 n 阶行列式nnnnnnnbababababababababaDLLLLL212221212111解：当 n=1 时，D1=a1+b1 ，当 n=2 时，D2=（a1+b1） （a2+b2）-（a1+b2） （a2+b1）=（a1-a2） （b1-b2） 当 n≥3 时,将第一行乘（-1）加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即011113131312121212111aaaaaaaaaaaaaaaaaabababaDnnnnnLMMMLLL综上所述。

3, 02),)((1,212111nnbbaanbaDn3． n阶行列式 D 中每一个元素 aij分别用数 bi-j(b≠0)去乘得到另一个行列式 D1 ，试证明 D1=D 证明： 首先将行列式 D 的每行分别提出 b1,b2…,bn，再由每列分别提出 b-1,b- 2…,b-n可得 nn nnn nn nn nn nbababababababababaDLMMMLL2 21 12 222 2212 211 121 1211 111nn nnn nn nn nn nbbabbabbabbabbabbabbabbabbaLMMMLL2 21 12 222 2212 211 121 1211 11n nnnnn nn nnbabababababababababbbLMMMLLL2 21 122 221 2112 121 1121)(nnnnnnnnaaaaaaaaabbbbbbLMMMLLLL2122221112112121))((DaaaaaaaaannnnnnLMMMLL2122221112114．已知求,3256411222245233355554321A（1）A51+2A52+3A53+4A54+5A55；（2）A31+A32+A33及 A34+A35 。

解：由行列式的性质可知(1) A51+2A52+3A53+4A54+5A55=05432111222245233355554321(2)5A31+5A32+5A33+3A34+3A35 =032564112223355533555543212A31+2A32+A33+A34+A35 =03256411222112223355554321解出 A31+A32+A33=0，A34+A35 =0 二．利用行列式的性质化为上（下）三角形行列式计算 1． 计算 n 阶行列式xaaaaxxxDnnn121111LOO解：(解法 1) 依次按第 i 列的 x 倍加到第 i-1 列去（i=n,n-1,…,2） ，再将最后 1 行依次换到第一行得xaaxaxDnnnn 11 1111LLOO11 ) 1(11 11MOLLxaaxaxnnnn= xn+a1xn-1+…+an . （解法 2） 直接按第 n 行展开 Dn=an(-1)n+1(-1)n-1+an-1(-1)n+2x(-1)n-2+… +(-1)n+n(a1+x)xn-1 =an+an-1x+…+a1xn-1+xn （解法 3）递推法，按第一列展开得 Dn=xDn-1+an(-1)n+1(-1)n-1=xDn-1+an= x(Dn-2+an-1)+an=…= xn-1D1+a2xn-2+…+an= xn-1(a1+x)+a2xn-2+…+an= xn+a1xn-1+a2 xn-2+…+an 。

2．计算 n 阶行列式1212111432321nnnnnnDnLLMMMMLL解：依次将第 i 行乘（-1）加到第 i+1 行（i=n-1,n-2,…,1） ，再将第 2，3，…，n 列全加到第 1 列 111111111111321LLMMMMLLnnnnDn 111011101110322) 1(LLMMMMLLnnnnnn1111111112) 1(LLMMMLnnnnn再将 n-1 阶行列式的第 1 行乘（-1）加到其余各行后，将第 1，2，…，n-2 列全 加到第 n-1 列，得nnnnnnnDnMNL1112) 1(nnnnNL1112) 1(=n(n+1)/2 (-1) (n-1)(n-2)/2(-n)n-2(-1) = n(n+1)/2 (-1)(n-1)n/2 nn- 2三．利用递推法计算行列式1． 计算 n 阶行列式xyxyxyaaaaxaDnLMMMMMLLL000000000解： 将行列式按第 n 列展开，可得yxxyxyaxDDn nn OO1 1) 1(=xDn-1+ayn-1∴Dn= xDn-1+ayn -1=x(xDn-2+ayn-2)+ ayn-1=…=xn-1D1+ayn -1+ayn-2x+ …+ayxn-2=xn+a(xn-1+xn-2y+…+xyn-2+yn-1)注：此题可按第一行展开即得结果。

2．计算 n 阶行列式10000010001000LMMMMMLLLnD解： 将行列式按第一行展开，可得 Dn=(a+β)Dn-1 - aβDn-2∴Dn-aDn-1 = β(Dn-1 - aDn-2)=β2(Dn-2 - aDn-3)= …=β n-2(D2 -aD1)∵D1=a+β , D2 = (a+β)2 – aβ ,∴Dn-aDn-1 = β n , Dn-1 - aDn-2 = β n-1 , … , D2 - aD1 = β 2,将上述 n-1 个子式分别乘 1 , a , a2, … ,an-2后再相加得 Dn = an-1D1 + β n +a β n-1 + … + an-2 β 2= an+an-1 β+an-2 β 2 + … + a β n-1+ β n .四．利用范德蒙行列式计算和证明 1． 计算 n 阶行列式1111)() 1()() 1(1111LLMMMLLnaaanaaanaaaDnnnnnnn 解： 把 Dn+1的第 n+1 行换到第 1 行，第 n 行换到第 2 行，…，同时将 Dn+1的 第 n+1 列换到第 1 列，第 n 列依次换到第 2 列，…，再有范德蒙行列式，得 nnnnananaananaDLMMMLL) 1()(11111。

)(! 2)!1( !11jinnnij L2．已知方程，求 x 0112520842111111154115212111111541132111111323232xxxxxxxxx解：由行列式的加法性质，原方程可化为32321125208421111111541184211111xxxxxx32322781941321111112793184211111xxxxxx=(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得 x=1 或 x=2 或 x=3五．行列式的应用 1． 证明三条不同的直线 ax+by+c=0 , bx+cy+a=0 , cx+ay+b=0 相交于一点的 充分必要条件是 a+b+c=0 证明 先证“必要性”：设三直线交于一点，即方程组有一解（x0 ,y0 ,1） ，即方程组有非零解， 000bzaycxazcybxczbyax由克莱姆法则知0 bacacbcba即 bacacbcbacbacbabacacbcbacbcababccbabacacbcba00111)(111)(=(a+b+c)[(c-b)(b-c)-(a-c)(a-b)] =(a+b+c)(ab+ac+bc-a2-b2-c2) = - (a+b+c)/ 2[(a-b)2 +(b-c)2 +(a-c)2)]=0 当 a=b=c 时等号成立，这时与三直线互异矛盾。

故只能 a+b+c=0 . 再证“充分性”：当 a+b+c=0 时，0 bacacbcba即有非零解，不妨取（x0 ,y0 ,1） ，所以三直线有交点，而三直线 000bzaycxazcybxczbyax互异，故必有唯一交点2．求一个一元二次多项式 f(x)，使满足 f(1)=0,f(2)=3,f(-3)=28 解： 设所求多项式为 f(x)=ax2+bx+c ， 由条件 f(1)=0,f(2)=3,f(-3)=28 知，成立线性方程组28393240cbacbacba这时，,40 1328123110,201391241111DA202839324011,60128913410132DD由克莱姆法则，得 a=2,b= -3,c=1，知 f(x)=2x2 - 3x+1。