互不同构的18阶和20阶群.doc

抽象代数小论文互不同构的 18 阶和 20 阶群姓名：成超班级：F0907101学号：5090719019一．互不同构的 18 阶群1.互不同构的 18 阶 Abel 群设 A 为 18 阶的 Abel 群，则2182 3A 由 Sylow 定理可以确定 A 的 Sylow 子群阶数分别是：和22A 2 339A 从而得到 A 的初等因子有（2,3,3）和（2,9）所以 18 阶 Abel 群有两个：和233ZZZ29ZZ（2,3,3）化为不变因子是（3,6），所以23336ZZZZZ（2,9）化为不变因子是（18），所以2918ZZZ从而确定互不同构的 18 阶 Abel 群有两个：和36ZZ18Z2.互不同构的 18 阶非 Abel 群设 G 为 18 阶非 Abel 群 由 Sylow 定理可知，G 必有 9 阶的 Sylow-3 子群，不妨记为 S2.1 S 是循环群：则，再取 G 中 2 阶元 b ，则有9,1,1Saaa21,bbS,Ga b设，1,08ibabai 则，故  2221111iiiiiab abb babbba bbabaa21 mod9i 由可解得，即。

08i 8i 181babaa所以，9218 9,1,Ga b abbabaD2.2 S 不是循环群：则必有，再取 G 中 2 阶元 c，则有33,1Sabab21,ccS ,Ga b c设则有：112211 1212,,0, ,,2ijijcaca bcbca bi ijj  11111111222211111ijijijijijac acc caccca b ccaccbca ba b2 12 11 11 2ii ji jj jab   22222211222211111ijijijijijbc bcc cbccca b ccaccbca ba b2 1 22 222 1i ii jji jab 所以可以得到如下的同余方程组：其中 2 12 11 112 2 1 22222 11 mod30 mod3 0 mod31 mod3ii ji jj j iii jji j12120, ,,2i ijj而且，在解这个同余方程组的时候，应当注意到如下的事实：即若方程组有一解为，则还有对应的另一解11221122iijj 12211221iijj 但是这两组解从本质上讲是一样的，这是因为只要交换下第一组解的 a 和 b 的位置，就能的到第二组解，所以，这两组解只算作一组解。

从而我们可以 得到如下 7 组方程组的解：⑴ 即  1212, ,,0,1,1,0i ijj11,cacb cbca⑵ 即  1212, ,,1,0,0,1i ijj11,caca cbcb⑶ 即  1212, ,,1,2,0,2i ijj1212,cacab cbcb⑷ 即  1212, ,,1,0,0,2i ijj112,caca cbcb⑸ 即  1212, ,,1,0,1,2i ijj112,caca cbcab⑹ 即  1212, ,,0,2,2,0i ijj1212,cacb cbca⑺ 即  1212, ,,2,0,0,2i ijj1212,caca cbcb下面再来探究这几组解的性质： 首先，因为 G 非 Abel 群，所以(2)不合条件，舍去对于(3)：有； 212412,cab cabba cacab即在(1)中用代替 a，用 a 代替 b，可见(3)和(1)同构2ab对于(4)：有；12214,cabcab cab cabab即在(1)中用代替 a，用代替 b，可见(4)和(1)同构。

ab2ab对于(5)：有；221212,cab caabb cbcab即在(1)中用代替 a，b 保持不变，可见(5)和(1)同构2ab对于(6)：有； 212212,cacb cb caa即在(1)中 a 保持不变，用代替 b，可见(6)和(1)同构2b对于(7)：可证明(7)与(1)不同构： 反证法：若(7)与(1)同构，则存在(7)中的，可以代替（1）中 a 的位置a b但，2122ca b ca ba b即在(1)中，这与矛盾12bcacaSab所以(7)与(1)不同构故剩余的是：；33211 1, ,1,,,Ga b c abcabba cacb cbca3321212 2, ,1,,,Ga b c abcabba caca cbcb所以，互不同构的 18 阶非 Abel 群有：；9218 9,1,Ga b abbabaD；33211 1, ,1,,,Ga b c abcabba cacb cbca；3321212 2, ,1,,,Ga b c abcabba caca cbcb二．互不同构的 20 阶群1.互不同构的 20 阶 Abel 群设 B 为 20 阶的 Abel 群，则，22025B 由 Sylow 定理可以确定 B 的 Sylow 子群阶数分别是：和。

2 224B 55B 从而得到 B 的初等因子有（2,2,5）和（4,5），所以 20 阶 Abel 群有两个：和225ZZZ45ZZ（2,2,5）化为不变因子是（2,10），所以；225210ZZZZZ（4,5）化为不变因子是（20），所以；4520ZZZ从而确定互不同构的 20 阶 Abel 群有两个：和210ZZ20Z2.互不同构的 20 阶非 Abel 群设 G 为 20 阶非 Abel 群 由 Sylow 定理可知，G 必有 5 阶的 Sylow-5 子群和 4 阶的 Sylow-2 子群Sylow-5 子群的个数满足：，只有唯一解，记这唯一的151 20Nk1N Sylow-5 子群5,1,1SaaaSylow-2 子群个数满足：，则或221 20Nk21N 25N 当时，G 是 Abel 群，所以，21N 25N 这时，G 有 5 个相互共轭的 4 阶 Sylow-2 子群，不妨记其中一个为 K2.1 K 是循环群：则4,1,1Kbbb设，则，1,04ibabai 44431333iiab abbbabbb a ba所以，即，i 可取 1,2,3,4。

411ia41 mod5i ⑴，则 G 是 Abel 群，舍去1i ⑵，则，此时2i 12baba5412 1,1,Ga b abbaba⑶，则，此时，与⑵同构 3i 13baba 31333272b a baaa⑷，则，此时4i 14baba5414 2,1,Ga b abbaba2.2 K 不是循环群：则22,1,Kbcbcbccb设，11,,0,2ijbaba cacai j则有，2222112211,ijab abb babbaac acc cacca所以，即i 可取 1,4；j 可取 1,422111ijaa221 mod5ij⑴，则 G 是 Abel 群，舍去1,1ij⑵，则，1,4ij114,baba caca此时522114 325, ,1,,,Ga b c abcbccb baba cacaZD⑶，则显然与⑵同构 4,1ij⑷，则，4,4ij1414,baba caca此时，   41114111614,bc a bcb cacbba bbabaa caca所以与⑵同构。

所以，互不同构的 20 阶非 Abel 群有5412 1,1,Ga b abbaba5414 2,1,Ga b abbaba522114 325, ,1,,,Ga b c abcbccb baba cacaZD三．结论18 阶 Abel 群：，；36ZZ18Z18 阶非 Abel 群：；9218 9,1,Ga b abbabaD；33211 1, ,1,,,Ga b c abcabba cacb cbca3321212 2, ,1,,,Ga b c abcabba caca cbcb20 阶 Abel 群：，；210ZZ20Z20 阶非 Abel 群：；5412 1,1,Ga b abbaba；5414 2,1,Ga b abbaba522114 325, ,1,,,Ga b c abcbccb baba cacaZD。