（整理版）高三数学代数解答题选讲（文）人教实验（A）.doc

高三数学代数解答题选讲〔文〕人教实验版〔A〕【本讲教育信息】一. 教学内容：代数解答题选讲二. 重点、难点 1. 三角、向量、综合2. 函数、导数、综合3. 数列、综合【典型例题】[例1] 在中， 所对边分别为〔I〕求大小〔II〕假设求的面积S的大小解：〔I〕∵，∴ ＝0∴ ∵ ∴ ∵ 　　　　　∴ ∴ ∵ 　　　　　∴ 〔II〕△ 中，∵ 　　∴ ∴ ∴ ∴ △的面积 [例 2] 函数的导数为实数，〔I〕假设在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；〔II〕在〔I〕的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；〔III〕设函数，试判断函数的极值点个数解：〔I〕由得，由，得，∵ ，，∴ 当时，，递增；当时，，递减∴ 在区间上的最大值为，∴又，，∴ 由题意得，即，得故，为所求 〔II〕解：由〔1〕得，，点在曲线上〔1〕当切点为时，切线的斜率，∴ 的方程为，即 〔2〕当切点不是切点时，设切点为，切线的斜率，∴ 的方程为 又点在上，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，即，∴ ∴ 切线的方程为。

故所求切线的方程为或 〔 或者：由〔1〕知点A〔0，1〕为极大值点，所以曲线的点A处的切线为，恰好经过点，符合题意〕〔Ⅲ〕解： 二次函数的判别式为，令，得：令，得 ∵，，∴ 当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点 [例 3] 数列中，，其前项的和为〔Ⅰ〕设，求证：数列是等差数列；〔Ⅱ〕求的表达式；〔Ⅲ〕求证：〔I〕证明：∵ ∴ ∵，∴＝是首项为2，公差为1的等差数列 〔II〕解：=， = 〔III〕证明： ， [例 4 ] 中，角A、B、C所对的边分别为、、，〔1〕求的值；〔2〕求的面积解：〔1〕由，得为锐角，， 〔2〕 又，，得， 〔假设通过得出，求出，未舍去，得两解，扣2分〕[例 5] 数列满足，〔〕，且从第二项起是公差为的等差数列， 是的前项和〔1〕当时，用与表示与； 〔2〕假设在与两项中至少有一项为哪项的最小值，试求的取值范围；〔3〕假设为正整数，在〔2〕的条件下，设取为最小值的概率是，取为最小值的概率是，比拟与的大小。

解：〔1〕由，当时，，即 〔2〕解法一：由，当时，是等差数列，公差为，数列递增假设是的最小值，那么，即，得 假设是的最小值，那么，即，得 ∴ 当与两项中至少有一项为哪项的最小值时，的取值范围是 〔2〕解法二：由〔1〕，　当时，，且也满足此式，∵ 在与两项中至少有一项为哪项的最小值，∴ ， 解得，从而的取值范围是 〔3〕由〔2〕知，，26，…，}假设是的最小值，那么，即 假设是的最小值，，即 ∴ [例 6] 二次函数〔〕〔1〕当０＜＜时，〔〕的最大值为，求的最小值；〔2〕对于任意的，总有||试求的取值范围；〔3〕假设当时，记，令，求证：成立解：⑴由知故当时取得最大值为，即，所以的最小值为； ⑵ 对于任意的，总有||，令，不等式恒成立，当时，使成立； ①②当时，有 对于任意的恒成立；，那么，故要使①式成立，那么有，又，故要使②式成立，那么有，由题综上，为所求 〔3〕由题意，令那么在时单调递增， 又，，综上，原结论成立 [例 7] 在△ABC中，sinA〔sinB＋cosB〕－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小解：解法一 由得所以即 因为所以，从而 由知 从而。

由 即 由此得所以解法二：由 由、，所以即 由得 所以 即 因为，所以 由从而，知B+2C=不合要求 再由，得 所以[例 8] 在公差为d〔d≠0〕的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，a1=b1=1，a2=b2，a8=b3 〔1〕求数列{an}与{bn}的通项公式； 〔2〕令，求数列{cn}的前n项和Tn 解：〔1〕由条件得： 〔2〕 ①∴ 6Tn=6+662+1163+…+〔5n－4〕6n ②①－②：∴ [例 9] 定义域为R的偶函数，方程在R上恰有5个不同的实数解 〔1〕求x<0时，函数的解析式； 〔2〕求实数a的取值范围 解：〔1〕设x<0，那么－x>0∵为偶函数， ∴〔2〕∵为偶函数，∴=0的根关于0对称 由=0恰有5个不同的实数解，知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根 且两个正根和二个负根互为相反数∴图像与x轴恰有两个不同的交点下面研究x>0时的情况∵ 即 为单调增函数，故不可能有两实根∴ a>0 令当递减，∴ 处取到极大值 又当要使轴有两个交点当且仅当>0解得，故实数a的取值范围〔0，〕方法二：〔2〕∵为偶函数， ∴=0的根关于0对称。

由=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根 且两个正根和二个负根互为相反数∴图像与x轴恰有两个不同的交点下面研究x>0时的情况与直线交点的个数 ∴ 当时，递增与直线y=ax下降或是x国，故交点的个数为1，不合题意 ∴a>0由几何意义知与直线y=ax交点的个数为2时，直线y=ax的变化应是从x轴到与相切之间的情形 设切点∴ 切线方为 由切线与y=ax重合知故实数a的取值范围为〔0，〕[例 10] 函数，〔1〕求函数在内的单调递增区间；〔2〕假设函数在处取到最大值，求的值；〔3〕假设〔〕，求证：方程在内没有实数解〔参考数据：，〕解：〔1〕， 令〔〕那么，由于，那么在内的单调递增区间为和；〔注：将单调递增区间写成的形式扣1分〕〔2〕依题意，〔〕，由周期性，；〔3〕函数〔〕为单调增函数，且当时，，，此时有；当时，由于，而， 那么有，即，即，而函数的最大值为，且〔〕为单调增函数，那么当时，恒有，综上，在恒有，即方程在内没有实数解 [例 11] 函数〔〕的图象为曲线〔1〕求过曲线上任意一点的切线斜率的取值范围；〔2〕假设在曲线上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；〔3〕试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；假设不存在，说明理由。

解：〔1〕，那么，即过曲线上任意一点的切线斜率的取值范围是；〔2〕由〔1〕可知，解得或，由或得：；〔3〕设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，，那么切线方程是：， 化简得：， 而过B的切线方程是， 由于两切线是同一直线， 那么有：，得， 又由， 即 ，即 即， 得，但当时，由得，这与矛盾 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点[例12] 数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合，，将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为〔1〕假设，，求数列的通项公式；〔2〕假设，且数列的前5项成等比数列，，，求满足的正整数的个数解：〔1〕假设，因为5，6，7 ，那么5，6，7，由此可见，等差数列的公差为1，而3是数列中的项，所以3只可能是数列中的第1，2，3项， 假设，那么， 假设，那么，假设，那么；〔注：写出一个或两个通项公式得2分，全部写出得4分〕〔2〕首先对元素2进行分类讨论：① 假设2是数列的第2项，由的前5项成等比数列，得，这显然不可能； ② 假设2是数列的第3项，由的前5项成等比数列，得，因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的，所以，那么，因此数列的前5项分别为1，，2，，4，这样，那么数列的前9项分别为1，，2，，4，，，，8， 上述数列符合要求；③ 假设2是数列的第项〔〕，那么，即数列的公差，所以，1，2，4<，所以1，2，4在数列的前8项中，由于，这样，，，…，以及1，2，4共9项，它们均小于8，即数列的前9项均小于8，这与矛盾。

综上所述，，其次，当时， ， ，，当时， ，因为是公差为的等差数列，所以，所以，此时的不符合要求所以符合要求的一共有5个模拟试题】1. 锐角三角形的三边为连续整数，且角、满足〔1〕 求角的取值范围及△三边的长；〔2〕 求△的面积〔1〕 设△的三边为，，〔，〕，由题设，2. 函数，且〔1〕求实数的值；〔2〕判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明；〔3〕求实数的取值范围，使得关于的方程分别为：① 有且仅有一个实数解；② 有两个不同的实数解；③ 有三个不同的实数解3. 向量，假设，且〔Ⅰ〕试求出和的值； 〔Ⅱ〕求的值4. 数列的前n项和满足，又〔Ⅰ〕求k的值； 〔Ⅱ〕求；〔Ⅲ〕是否存在正整数m，n，使成立？假设存在求出这样的正整数；假设不存在，请说明理由5. ，求函数的单调区间6. 数列满足递推式，其中，〔1〕求； 〔2〕假设存在一个实数，使得为等差数列，求值； 〔3〕求数列的前项之和7. 函数〔1〕上存在单调递增区间，求的取值范围〔2〕假设存在实数，是否存在实数处的切线斜率为0，假设存在，求出一组实数a， b， c，假设不存在，说明理由8. ，且，数列的前项和为，它满足条件。

数列中，〔1〕求数列的前项和；〔2〕假设对一切都有，求的取值范围9. 设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且〔1〕求数列和的通项公式；〔2〕设，求数列的前n项和【试题答案】1. 解：由题意，，，即，，，得① 当时，，，得，故角所对的边为，角所对的边为，于是有，得，又，得，解得，舍去； ② 当时，，，得，故角所对的边为，角所对的边为，于是有，得，又，得，解得，故△的三边长为，，2. 解：〔1〕由，得，，∵ ，∴ 〔2〕由〔1〕，，从而，只需研究在上的单调性设，且，那么， ∵ ，∴ ，，， ∴ ，即 ∴ 函数在区间上是单调递增函数 〔3〕原方程即为 ……① 恒为方程①的一个解 假设时方程①有解，那么，解得，由，得 ； 假设且时方程①有解，那么，解得， 由且，得或。