彩票中的数学论文【最新资料】.doc

彩票中的数学彩票中的数学摘要摘要本文针对目前流行的各种彩票发行方案建立了关于彩票购买方案的数学模型并对其 进行优化，最终对彩票管理部门和彩民买彩票提出了具有合理性的建议 问题一，首先，本文利用古典概率分别计算出了‘乐透型’和‘传统型’两种类 型中各种奖项的中奖概率并计算出高项奖奖金额的期望值；其次，为了分析各因素对 彩名的吸引力，并考虑到不同区域人群的收入差距等的影响，应用心理学的相关知识， 构造了彩名的心理曲线函数：()2)(1)(ux ex0进而做出如下的指标吸引力函数： 71i)(iixpF最后评价出给定 29 种彩票方案的合理性，计算出了序号 9 对应的 7/30 对彩名吸引最 大，也最合理问题二，要设计一个“更好”的方案，我们采用非线性规划模型以第一问中的吸 引力函数为目标即求出一个方案使其吸引力最大通过 Matlab 可求出在人均收入中等 地区的最优方案为：32 选（6/32） ，一、二、三等奖的比例为 80%、9%、11%，四、 五、六、七等奖的金额分别为 200、10、1、0 元同时我们也考虑了不同经济情况下 的方案会有不同，因此，我们给出了不同地区的最优彩票销售方案。

问题三，通过综合分析各个方案我们给彩票部门提出了合理的建议并给了一篇 “把握机会，理智博彩” 短文关键字：心理曲线函数 吸引力 非线性规划 合理性评价一、问题重述一、问题重述近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的 行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型 “传统型”采用“10 选 6+1”方案：先从 6 组 0~9 号球中摇出 6 个基本号码，每 组摇出一个，然后从 0~4 号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码投注者从 0~9 十 个号码中任选 6 个基本号码（可重复） ，从 0~4 中选一个特别号码，构成一注，根据单 注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级以中奖号码“abcdef+g”为例 说明中奖等级，如表一（X 表示未选中的号码） 表一10 选 6+1（6+1/10）中 奖 等 级 基 本 号 码 特 别号码说 明一等奖abcdef g选 7 中 （6+1） 二等奖abcdef 选 7 中（6） 三等奖abcdeX Xbcdef 选 7 中（5） 四等奖abcdXX XbcdeX XXcdef选 7 中（4） 五等奖abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选 7 中（3） 六等奖abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选 7 中（2）“乐透型”有多种不同的形式，比如“33 选 7”的方案：先从 01~33 个号码球中 一个一个地摇出 7 个基本号，再从剩余的 26 个号码球中摇出一个特别号码。

投注者从 01~33 个号码中任选 7 个组成一注（不可重复） ，根据单注号码与中奖号码相符的个数 多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序又如“36 选 6+1”的方案，先从 01~36 个号码球中一个一个地摇出 6 个基本号，再从剩下的 30 个号码球中摇出一个特别号码 从 01~36 个号码中任选 7 个组成一注（不可重复） ，根据单注号码与中奖号码相符的个 数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序这两种方案的中奖等级如表二表二注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的 50%，投注者单注金额为 2 元，单 注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖现在常见的销售规则及相应的奖金设 置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖低项奖数额固定， 高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额 60 万元，封顶金额 500 万元，各高项奖额 的计算方法为：33 选 7（7/33）36 选 6+1（6+1/36）中 奖 等 级基 本 号 码 特别号 码说 明基 本 号 码 特别号 码说 明一等奖●●●●●●● 选 7 中（7）●●●●●● ★选 7 中 （6+1） 二等奖●●●●●●○ ★选 7 中 （6+1）●●●●●● 选 7 中（6）三等奖●●●●●●○选 7 中（6）●●●●●○ ★选 7 中 （5+1） 四等奖●●●●●○○ ★选 7 中 （5+1）●●●●●○ 选 7 中（5）五等奖●●●●●○○选 7 中（5）●●●●○○ ★选 7 中 （4+1） 六等奖●●●●○○○ ★选 7 中 （4+1）●●●●○○ 选 7 中（4）七等奖●●●●○○○选 7 中（4）●●●○○○ ★选 7 中 （3+1）[(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例 （1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额 的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。

（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考表三 序 号奖项 方案一等 奖 比 例二等 奖 比 例三等 奖 比 例四等 奖 金 额五等 奖 金 额六等 奖 金 额七等 奖 金 额备 注16+1/1050%20%30%50按序 26+1/1060%20%20%300205按序 36+1/1065%15%20%300205按序 46+1/1070%15%15%300205按序 57/2960%20%20%300305 66+1/2960%25%15%200205 77/3065%15%20%50050155 87/3070%10%20%20050105 97/3075%10%15%20030105 107/3160%15%25%500502010 117/3175%10%15%320305 127/3265%15%20%5005010 137/3270%10%20%5005010 147/3275%10%15%5005010 157/3370%10%20%600606 167/3375%10%15%50050105 177/3465%15%20%500306 187/3468%12%20%50050102 197/3570%15%15%300505 207/3570%10%20%500100305 217/3575%10%15%1000100505 227/3580%10%10%20050205 237/35100%20002042无特别 号 246+1/3675%10%15%500100105 256+1/3680%10%10%50010010 267/3670%10%20%50050105 277/3770%15%15%150010050 286/4082%10%8%200101 295/6060%20%20%30030二、问题分析二、问题分析该问题要求评价 29 种彩票发行方案的合理性并设计一种更好的方案，给彩票管 理部门提出建议，写一篇短文供彩民参考。

对于问题一，要想评价各方案的合理性，首先需利用组合数学和概率论的知识分 析出各方案中每种奖项出现的概率对评价方案的合理性，要取决于彩票公司和广大 彩民两方面的利益事实上，公司和彩民各得销售总额的 50%是确定的，双方的利益 主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比因此，问题就转化 成怎样才能有利于销售额的增加，即公司采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极 踊跃购买彩票 对于问题二，要设置一个“更好”的方案，问题涉及到一个方案的设置使财迷获 奖的可能性有多大、奖金额有多少、对彩民的吸引力有多大、广大彩民如何看待各奖 项的设置，即彩民的心理曲线怎样另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有 关，即与彩民所在地区的经济状况以及收入和消费水平有关 综上所述，我们要考查一个方案的合理性问题，需要考虑以上这些因素的影响， 这是我们建立模型的关键所在三、模型的建设三、模型的建设1：彩票摇奖是公平公正的，各号码的出现是随机的； 2：彩民购买彩票是随机的独立事件； 3：对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例 或奖金额； 4：根据我国的现行制度，假设我国居民的平均工作年限为T =35 年。

四、符号的说明四、符号的说明---第等（高项）奖占高项奖总额的比例，；jrj3 , 2 , 1j----第 等奖奖金额均值，；ixi71 i----彩民中第 等奖的概率，；ipiix71 i----彩民对某个方案第 等奖的满意度，即第 等奖对彩民的吸引力，)(ixii；71 i----某地区的平均收入和消费水平的相关因子，称为“实力因子” ，一般为常数；----彩票方案的合理性指标，即方案设置对彩民吸引力的综合指标；F五、模型的建立与求解五、模型的建立与求解（1 1）模型的准备）模型的准备彩民获各项奖的概率：从已给的 29 种方案可知，可将其分为四类,:10 选 6+1（6+1/10）型、: 1K2K选 型、:选型和:选无特别号型，分别给nm)/(nm3Kn1m)/1(nm4Knm)/(nm出各种类型方案的彩民获各奖项的概率公式：：10 选 6+1（6+1/10）型1K，，7 611021051p7 621081054p5 61 9 3101.8102Cp, 4 61 91 91 101 9 4102.61102CCCCp3 61 101 91 91 101 101 9 5103.421022CCCCCCp2 61 91 91 91 101 101 91 91 101 101 101 9 6104.199510)23(32CCCCCCCCCCCp：选型2Knm)/(nm，，，，m nCp11m nm m CCp12 m nmnm m CCCp1 )1(13 m nmnm m CCCp1 )1(24 ，，。

m nmnm m CCCp2 )1(25 m nmnm m CCCp2 )1(36 m nmnm m CCCp3 )1(37 ：选型3Kn1m)/1(nm，，，，111m nCp11 )1( 2m nmn CCp11 )1(13 m nmnm m CCCp12 )1(14 m nmnm m CCCp，，12 )1(25 m nmnm m CCCp13 )1(26 m nmnm m CCCp13 )1(37 m nmnm m CCCp：选无特别号型4Knm)/(nm，，，， m nCp11m nmnm m CCCp112 m nmnm m CCCp223 m nmnm m CCCp334 m nmnm m CCCp445 各种方案的各个奖项获奖概率及获奖总概率计算如表：iipP各方案中各奖项的概率一览图方案1p2p3p4p5p6p7piipP6+1/102×10-78×10-71.8× 10-52.61×1 0-43.42×1 0-34.199 5×10- 2-----0.045 6957/296.40705 ×10-74.48494× 10-69.418 4×10 -52.8255 ×10-42.8255 ×10-34.709 2×10- 30.029 8250.037 7426+1/296.40705 ×10-71.4096×1 0-58.457 3×10 -58。