矩阵的逆的研究及应用.doc

矩阵的逆的研究及应用摘要本文重要是对高等代数中的矩阵的逆进行研究，更深一步地理解矩阵的逆在数学领域中的重要地位和各方面的应用一方面总结论述矩阵的逆的有关定义、定理和性质，并且对其给出相应的证明,然后归纳了矩阵的逆的几种常用求法,最后讲述了矩阵的逆在如下两个方面的应用:解线性方程组和保密通信,并且例举了具体的应用实例核心词：矩阵 　矩阵的逆 　线性方程组 　保密通信Researcｈ and apｐlicaｔioｎ of　invｅrse ｍatｒiｘSuｍmａrｙ: Thｉs ｐaｐer mａｉnly　researcｈ on　thｅ inｖerse　oｆ thｅ matｒiｘ ｉn ｈigheｒ　ａlgｅbra, ｄｅeper ｕｎderstaｎdiｎg oｆ the inverｓe of ｔhe matrｉx　in　ａll aspeｃtｓ ｏf tｈe　important ｐosition iｎ　thｅ ｆielｄ　of ｍathematics ａｎd apｐliｃation. Firｓt sｕmmarｉｚｅd　ｉn ｔhiｓ paｐeｒ, the reｌated ｄefｉniｔions, ｔhｅoreｍs and　ｐropertiｅs of　ｔｈe inverse of ｔhe　mａtｒｉx,　aｎd tｈｅ　corｒespｏnｄiｎｇ prooｆs aｒe givｅn,　ａｎd thｅn　ｓｕms ｕp ｓevｅｒａl kｉnｄs ｏf cｏmmｏn ｍethｏd of inｖｅrse　of the matｒｉx, ａnd　fｉnally　tellｓ the ｉnｖｅrｓｅ of thｅ　matrix　in　the applicaｔｉon　ｏf the folloｗiｎg twｏ aspects：　soｌｖing syｓｔem ｏf lineａr ｅquationｓ　ａｎd seｃｕre ｃｏmmuｎｉｃatiｏns, and ｉllustraｔes ｔｈe conｃrete appliｃａtｉｏｎ eｘaｍｐlｅs． Key　Ｗords： ｍatrｉx ,　invｅrｓe of a mａｔriｘ ,liｎeaｒ syｓtｅm of　eqｕaton， ｓecｕre　communiｃatiｏn.一 矩阵的逆的某些背景在以往线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的某些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的也体现为变换这些矩阵的过程。

除线性方程组之外,尚有大量的多种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质是完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵的问题后来却是相似的这就使矩阵成为数学中一种极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一种重要研究对象而矩阵的逆正是矩阵理论中一种很重要的概念,也是很难理解的一部分，在矩阵理论中占有非常重要的地位,对矩阵的逆的研究自然也就成为高等代数研究的重要内容之一然而在诸多线性代数教科书中矩阵的逆的应用知识点几乎没有波及到,以至于诸多学生错误的觉得所学东西没有多大的用处为了矩阵的逆在解决矩阵问题中起着很重要的作用，不能只停留在抽象的概念结论中,而应对所学知识进一步结识,深刻理解，掌握矩阵的逆的本质，本文总结了矩阵的逆有关定义、定理、性质和它的几种常用的求法,进而更进一步提供了实际应用例子，体现出矩阵的逆的重要性和应用性二 矩阵的逆的定义、定理及性质 2.1 矩阵的逆的定义运用矩阵的乘法和矩阵相等的含义，可以把线性方程组写成矩阵形式对于线性方程组 　 　 　 　 　 　 (1)令 　 　则方程组可写成。

方程是线性方程组的矩阵体现形式，称为矩阵方程其中称为方程组的系数矩阵,称为未知矩阵，称为常数项矩阵这样，解线性方程组的问题就变成求矩阵方程中未知矩阵的问题类似于一元一次方程的解可以写成，矩阵方程的解与否也可以表达为的形式?如果可以，则可求出，但的含义和存在的条件是什么呢？下面来讨论这些问题定义1 级方阵称为可逆的，如果有级方阵,使得 　 　 　　 　 　　 　 　 （2）这里是级单位矩阵 　　一方面我们指出,由于矩阵的乘法规则,只有方阵才干满足(2);另一方面，对于任意的矩阵,适合等式(2）的矩阵是唯一的（如果有的话)事实上,假设是两个适合(2)的矩阵,就有定义２ 如果矩阵适合（2）,那么就称为的逆矩阵，记为定义3 设是矩阵中元素的代数余子式,矩阵称为的随着矩阵由行列式按一行(列)展开的公式立即得出: 　 　 　 　 　 　　 　 　 （3）其中如果,那么由(3）得 　 　 　 　 　　 　 　（4)２.2　　　矩阵的逆的定理和性质定理1 矩阵是可逆的充足必要条件是非退化,而证明：当,由(4)可知可逆，且 　 　　 　　 　 　 　 　　 　（５）反过来，如果可逆，那么有使,两边取行列式，得　 　 　　 　　 　 　 　 　 　 　 　 （６)因而，即非退化。

由以上定理，我们可得出逆矩阵的某些性质，如下：１、2、设是级矩阵,则可逆的充要条件是存在级矩阵，使3、4、设和都是级矩阵且可逆,则也可逆,且5、若,可逆,则也可逆，且6、如果可逆,则也可逆，且7、如果可逆,则也可逆,且定理２ 是一种矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵,那么证明:令,则但是由又有因此另一种等式可以同样地证明三 矩阵的逆的求法３．1 定义法例１.设方阵满足方程，证明：都可逆，并求它们的逆矩阵证明:由,得到故可逆,并且又由，得到，即故可逆,并且3.２　公式法定理3　 阶方阵可逆的充足必要条件是非奇异矩阵，并且 .例2．已知,求解：由题可解得因此可逆，且故经检查３.３　初等变换法定义4 一种矩阵的行（列)初等变换是指矩阵施行的下列变换：(1）互换矩阵的某两行(列)；（2）用一种非零的数乘矩阵的某一行（列)，即用非零的数乘矩阵的某一行(列)的每一种元素;(３)给矩阵的某一行(列)乘以一种数后加到另一行（列)上,即用某一种数乘矩阵某一行(列）的每一种元素后加到另一行(列)上的相应元素上定义5 由单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵1）初等行变换如果阶方阵可逆,作一种的矩阵，然后对此矩阵进行初等行变换,使矩阵化为单位矩阵,则同步就化为了，即通过初等行变换变为。

例 用初等行变换求矩阵的逆矩阵解:因此2)初等列变换如果阶方阵可逆,作一种的矩阵，然后对此矩阵进行初等列变换，使矩阵化为单位矩阵，则同步就化为了，即通过初等行变换变为例　用初等列变换求矩阵的逆矩阵解：因此3.4 分块矩阵法分块对角矩阵求逆:对于分块对角（或次对角)矩阵求逆可套用公式其中均为可逆矩阵例:已知，求解:将分块如下:其中而从而四 矩阵的逆的应用无论是矩阵的逆的性质还是矩阵的逆的求法,都是数学领域中的一种研究方向接下来我们将分析矩阵的逆的应用,摸索矩阵的逆的巨大作用4．1　在解线性方程组的应用　 求解线性方程组是数学中的一大热点,也是难点给定方程组　 　 (7)把给定的线性方程组的系数按行列排成数表，称为矩阵,记作: 为了运用矩阵乘积的性质，我们把线性方程组式中的系数项、变量项、常数项以矩阵的形式表达出来： 　 　　 矩阵方程在形式上与最简朴的代数方程非常类似，分析代数方程的求解过程,对于求解矩阵方程会有很大的协助当时,存在着的倒数，以乘方程的两端由于，因此得到方程的解：如果对阶方阵也定义它的逆方阵,使之满足,那么,用乘矩阵方程的两端就得到方程的解。

那么,只规定出系数矩阵的逆方阵,线性方程组的解也就出来了根据逆矩阵的性质,得到逆矩阵的条件及体现式阶方阵可逆的充足必要条件是,并且可逆时，的逆矩阵可表示为4.2 在保密通信中的应用4．2.１　加密保密通信模型保密通信是新时代一种非常重要的话题，越来越多的科学研究者为此做了大量的工作,先后提出了许多较为有效的保密通信模型其中，基于加密技术的保密通信模型是其中最为基本并且最具活力的一种基于加密技术的保密通信模型如下:　 　　 　 发送方采用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接受方,接受方则可以采用相应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据4.2.2 在保密通信中的应用从模型中可以看出,一种加密技术与否有效，核心在于密文能否还原成明文设有矩阵方程，其中为未知矩阵我们懂得,如果为可逆矩阵，则方程有唯一解,其中是的逆矩阵因此,可逆矩阵可以有效地应用于加密技术设为可逆矩阵,为明文矩阵,为密文矩阵加密算法加密时，采用下面的矩阵乘法：例如,设加密密钥矩阵为,明文矩阵为，则密文矩阵等于解密算法解密时,采用下面的矩阵乘法:其中，是的逆矩阵　 例如,针对上面的加密密钥矩阵，解密密钥矩阵为如果密文矩阵为，则相应的明文矩阵应等于加密矩阵的生成初等矩阵是可逆的，并且初等矩阵的矩阵也是可逆的。

因此,通信中可以考虑运用若干个初等矩阵的成绩乘积作为编码矩阵它的生成措施如下:从单位矩阵出发，反复运用第一类和第三类初等变换去乘它，而其中的乘数必须取整数这样得到的矩阵将满足，而也将具有整数元素应用实例例：小明的朋友给小强发来一封密信，她有一种三阶矩阵：,她们商定:消息的每一种英文字母用一种整数来表达：约好的密码矩阵是:，试求小明的朋友发来的密信的内容解:试求密信内容,先假设密信内容矩阵为,则：或 即 或 然后运用软件求解此题,容易得到满足题意的只有一种矩阵：由英文字母与整数间的相应可得到密信内容为“Ｉ ＬOVＥ YOU”参照文献［1]高等代数/北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.－３版.－北京：高等教育出版社,,9(.5重印）[２］张禾瑞,郝炳新.高等代数[Ｍ］.北京：高等教育出版社.[3］张贤科等.高等代数．清华大学出版社.[4]王丽霞.逆矩阵的几种求法[J].雁北师范学院学报,，23(2）:８２-84.[5]郭亚梅.可逆矩阵的几种案例分析［Ｊ]．安阳工学院学报,,3(21）:55-５9.　　　　　 　　 　 　 　 　　 　　 　 　　 　 。