第5讲.构造平行四边形巧解几何问题.doc

第五讲.构造平行四边形巧解几何问题【教学目的】1. 巩固平行四边形的有关知识；2. 学会添恰当的辅助线构造出平行四边形；3. 掌握构造平行四边形的解题技巧知识、措施梳理】1.平行四边形边的性质：（1）对边平行；（2）对边相等 ►作用：用在与线段有关的题目中2.平行四边形角的性质：（2）对角互补；邻角互补 ►作用：用在与角度有关的题目中3.平行四边形对角线的性质：互相平分 ►作用：用在与线段有关的题目中典例精讲】一、 构造平行四边形证两线段平行例1．已知如图，平行四边形的对角线和交于，、分别为、的中点，过任作始终线分别交、于、证明】：连结、四边形是平行四边形∴，，又∵∴∴又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴二、构造平行四边形证两线段相等例2．如图，中，在上，在的延长线上，连结，交于，外角的平分线交的延长线于，且 求证：分析】：过点作交于点，可以证明，然后再运用平行四边形的性质得到证明】：过点作交于点，连接、，则 ∵且 ∴， ∴ ∴ ∴四边形为平行四边形 故 三. 构造平行四边形证线段的不等关系例3．如图，是的边上的中线，求证：。

分析】：欲证，即要证，设法将、、归结到一种三角形中，运用三角形任意两边之和不小于第三边来证明注意到为的中线，故可考虑延长到，使，则四边形为平行四边形从而问题得证证明】：延长到，使，连结、 ∴四边形是平行四边形 ∴在中， 即 【点评】：此题是运用三角形三边关系定理、平行四边形的鉴定，通过延长中线将证明三角形中三条线段间的不等关系，转化为三角形三边之间的关系，从而使问题迎刃而解四、构造平行四边形证线段的倍分关系例4． 如图，分别以中的、为边向外作正方形和正方形，是的中点，求证：证明】：延长到，使，连结、，是的中点 ∴四边形为平行四边形∵而∴∴又，∴∴故 五、构造平行四边形证两线段互相平分例5． 平面上三个等边三角形、、两两共有一种顶点，如图所示，求证：与互相平分 【分析】：要证与互相平分，须证四边形是平行四边形【证明】：连结、、易知 ∵, ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 故与互相平分六、构造平行四边形证角的不等关系例6．如图，在梯形中，，对角线 求证：证明】：过点作交的延长线于点，则四边形是平行四边形 ∴， 又∵， ∴ ∴在中， ∴七、构造平行四边形证线段的和差关系例7. 如图，中，点、在边上，，。

求证：证明】：过作交于 ∵， ∴四边形为平行四边形 ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 【双基训练】1. 如图，在梯形中，延长、交于，在上截取过作交于，求证： 2. 如图，中，，是上一点，是延长线上一点，，交于 3. 如图，平行四边形中，、、、分别是四条边上的点，且，，求证：与互相平分纵向应用】4. 如图，已知，是的中点，是的中点，求证5. 已知：如图，在四边形中，，，点在上，点在上，，与对角线相交于点，求证：是的中点横向拓展】6.如图，中，，为的中点操作：过点做的垂线，过点作的平行线，两直线相交于点，在的延长线上截取，联结、．（1）试判断与之间有如何的关系，并证明你所得的结论；（2）如果，，求的长练习题答案】1. 过点作交于点，则有平行四边形2. 过点作交于，连结、3. 连结、、、4. 延长至，使，连结、5. 连结、∵，∴四边形是平行四边形∴又∵，∴∴四边形是平行四边形∴是的中点6.【解答】：（1）如图，与互相垂直平分 证明如下：连结、，∵ //，∴四边形是平行四边形． ⊥，∴⊥，∵∠=90º，为的中点，∴， ∴四边形是菱形． ∴与互相垂直平分． （2）设，则，． 在Rt△中，∵， ∴． ∴0． ABCEDF。