全错位排列递推公式的简易推导(齐麟晋级).docx

全错位排列递推公式的简易推导(齐麟晋级) 1 全错位排列递推公式的简易证明 华图教育 齐麟 错位排列作为排列组合中的一类典型题目，自身难度较高，考生往往只是知其然而不知其所以然，即只了解全错位排列的递推公式，而不能理解其含义以及灵活的运用本文结合图示的方法，对全错位排列公式进行简易的证明 首先，我们先来认识错位排列： 1.部分错位排列： 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法 用排除法： 先考虑5个人的全排列，有5 5A 种不同的排法，然后除去甲排第一（有44A 种）与乙排第 二（也有44A 种） ，但两种情况又有重复部分，因此多减了一部分，必须加上多减部分，这样得到共有：5 5A －244A ＋33A ＝78种 2.全错位排列： 5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法 仿照以上解法，我们有 故5人的全错位排列方式共有44种 因此我们可以由容斥原理得到n 个元素的全错位排列公式： n D =n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!) 错位排列的递推公式 简单计算后我们有：1D 0=；2D 1=；3D 2=。

计算四元素全错位排列时我们可以这样考虑： 假定元素为A 、B 、C 、D ；对应的位置为a 、b 、c 、d 对于元素A ，我们可将其放在b 、c 、d 三个位置，容易看出，这三个位置对于元素A 来说是等价的；假定A 现在放在了b 位置 此时，元素B 有两种选择：①放在a 位置；②不放在a 位置；当元素B 放在a 位置时，我们会发现，之后的情形与2D 相同；而当B 不放在a 位置时，情况与3D 相同（因为B 不放 在a 位置，我们可以认为a 位置就是b 位置） A B C D b a c d A B C D b a c d 2 因此，我们得到一个递推公式：423D (41)(D D )=-+； 类似的，得到n 个元素全错位排列的递推公式： A B C D b a c d A B C D a b c d 。