可压缩性流体一元稳定流动基本理论-课件.ppt
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1.5 可压缩性流体 一元稳定流动基本理论,1.5.1 绝热流动的全能量方程及其应用,1.5.1.1 全能量方程,对于不可压缩性流体， 为定值，一元稳定流动全能量方程为：,上式说明：不可压缩流体沿流程各个断面上，单位质量流体的压力能与动能之和相等同时表明：不可压缩流体在不计位能时，只有压力能和动能两种能量常数,,,,,,,对于可压缩性流体，可根据气体状态变化过程来确定 与 之间的函数关系对于绝热过程， 与 之间服从函数关系：,根据相关定律进而可得到全能量方程为：,常数,此式即为可压缩流体绝热流动的全能量方程，亦称为绝热流动的柏努利方程它与不可压缩流体全能量方程相比较，由于绝热变化而使压力能增大 倍式中：k—绝热指数其大小决定于气体分子结构单原子气体：k=1.66；双原子气体（包括空气）：k=1.4；多原子气体（包括过热蒸汽）：k=1.33；饱和蒸汽：k=1.135,,所谓全能方程，是指能量中包括气体的内能e全能量方程可改写成如下形式：,所以，全能量方程的含义是：绝热流动中，任一断面上单位质量气体所具有的压力能、动能与内能之和为一常数或者说三种能量之间可以互相转化，但其和保持不变。
对于任意1，2两断面来说，绝热的全能量方程为：,或：,1.5.1.2 用焓表示的全能方程,,,在气体动力学中，常用焓为参数来表示全能方程从热力学中知道，压力能与内能之和为焓，即：,所以，用焓表示的全能方程为:,因为理想气体的焓与定压比热 及绝对温度T之间，具有如下关系:,如果将 用温度T表示时，则上式为:,或:,上式说明气体（可压缩）流动与不可压缩液体流动有显著区别：在不可压缩液流中，只有存在热交换才能引起液体温度的改变，而有效断面变化所造成的速度改变，并不引起液体温度的改变；但在可压缩气流中则不然，其温度随流速变化而改变，当流速v小时，则温度T较高，而当v增大时，则T便降低例如高压气体经管道流入背压较低的空间，由于压差很大，管中流速很高，因此气流温度便显著下降，所以管道表面常出现结霜现象，其实质原因就在这里1.5.2音速,1.5.2.1音速 声音的来源是由于物体振动当物体在可压缩介质中振动时，这种振动便引起介质的压力和密度的微弱变化，通常称之为介质的微弱扰动或弱压力波这种扰动在介质中依次传递下去，就是声音的传播过程因而， 音速: 是指微弱扰动在可压缩介质中的传播速度现在来推导音速公式，如图（a）所示，在充满静止气体的直管一端，有一面积为A的活塞。
当活塞静止时，管中静止气体的压力和密度分别为p和ρ；当使活塞以微小速度u向前运动时，而依次压缩其前部的气体，经过t时间后见图（b），这种压缩的传播在管中形成一个扰动面m-n(或称扰动波头)，其推进速度即为音速a，扰动后的压力增量为dp、密度增量为dρ；图（c）为经过时间t+dt后的情况按上图所示情况，根据质量守恒和动量原理，来推导音速公式：,（1）质量守恒：在dt时间内，波头m-n所扰动掠过的静止气体的质量为 在dt时间后这部分质量由于扰动而被压缩，其密度为 ，其体积为 ，故质量为 ，根据质量守恒则必须 ，由此可得,,,,,,,(1),（2）动量守恒：由于质量 在时间dt前是静止的，因而其运动速度u=0，但在时间dt后，由于活塞的移动而被压缩成 ，同时开始获得与活塞运动相同的速度u 这块气体其内侧压力为 ，而外侧为静止气体其压力为 。
根据动量原理Ft=m(u2-u1)，有：,,,,,简化得：,,由式①及②消去u，可得,(2),由于微弱扰动， 为极小值，故 与1相比则为高阶微量，故可略去，于是音速公式可表示为上式表明，音速a决定于 ，其物理意义是：单位密度改变所需要的压强改变此压强改变愈小，即音速a愈小，则说明气体是容易压缩的，反之音速a愈大，则不容易压缩因此，音速可以作为一种表征流体压缩性的指标3）,,在实际应用中，必须根据气体状态变化过程所服从的状态参数关系来确定其音速例如绝热过程 ，则 ，所以绝热过程的音速：或 （5）由上两式可以看出，气体的音速决定于压力与密度的比值，即决定于开尔文温度因此绝热过程空气中的音速公式为：在海平面上（常指地球表面），15℃时空气中音速为：,,,,,（4）,,（6）,,1.5.2.2 滞止参数,滞止参数：介质处于静止（如贮气罐中的气体）或滞止（如气体撞于壁面或皮托管口上）时，其速度 v＝0 的参数，称为滞止参数，一般以 等来表示。
若可压缩气体从某容器中流出，断面1－1取在容器内，则各参数为滞止参数；断面2－2代表容器所连接管道上任一断面（去掉下脚标2）根据全能量方程有：,,式中： 称为滞止介质音速；称为流动介质音速或当地音速7),从上式可以看出，对于滞止参数为定值情况下，空气中音速 （即当地音速）的大小取决于气流速度v （即当地速度）当气流速度沿流动方向增大时，气流温度 T必下降，因而当地音速必减小由于当地速度 v 的存在，在同一系统中当地音速 总是小于滞止音速 的1.5.2.3 马赫数及参数比,基于上述，气流速度v若大，则当地音速便减小，从音速物理意义知，音速a 越小则流体越容易压缩这就是说：气流速度v越大时，则压缩现象便越显著马赫首先将影响压缩效果的v与a两个物理量联系了起来，取v与a之比的无量纲数，并以Ma表示，即 Ma = 马赫数Ma：是指扰动源（气流）的运动速度与当地音速的比值。
Ma1的流动称为超音速流动利用（7）式的第二式，可以求出温度比为借助于理想气体状态方程和绝热方程，经过演算后，可得,,,即有,（8）,（9）,于是可得各参数比与马赫数的关系为：上式表示了各参数比，都是马赫数Ma的函数 显然，随Ma数的增大（即气流速度v增大），则气流的温度T、压强p和密度 便减小因此可以说Ma数是判断压缩性影响程度的指标10）,,1.5.3气流参数与流通截面的关系、临界参数,1.5.3.1气流速度与断面关系从连续性方程知道，不可压缩流体沿管道流动时，其速度与断面积成反比但在可压缩气流中，速度与面积之间存在什么关系？这就是我们将要研究的内容将已求得的连续性方程 vA=C（常数）微分，则得,,,,,v/a = Ma,由：,得：,对上式进行分析，可得出下列重要结论：(1) 若Ma<1，即v
这表明，气体作超音速流动时，速度与断面成正比变化关系，即速度随断面的减小而减小，随断面的增大而增大（如图b所示）这种速度与断面成正比变化规律，是超音速流动同亚音速流动的原则性区别这两种截然相反的规律，是可压缩流体在两种流动中，其膨胀程度与速度变化之间，具有不同规律所造成的下面来阐明一下这个道理： 1.5.3.2密度与速度的关系由 、音速公式及Ma数关系，可导出：,对上式进行分析，可得如下重要物理概念：1）当Ma1 时，Ma2远远大于1，则上式表明密度的相对变化（d ）远远大于速度的相对变化（dv/v），即密度变化比速度变化来的快可见，在密度相对变化的特性上，超音速与亚音速有着显著的差别1.5.3.3速度与单位面积质量流量的关系 就单位面积的质量流量（ v）来说，其微分为：所以，单位面积的质量流量的相对变化，则为：,将密度变化与速度变化关系式代入，可得：对此式进行讨论，可得如下结论：当Ma0，则 与dv符号相同， 随v的增大而增大，随v的降低而减小因此当 时， ， 根据连续性程 ，则必有A1>A2。
所以亚音速流动中速度与断面成反比变化当Ma>1时，（1-Ma2）<0，则 与dv符号相反， 随v的增大而减小，随v的减小而增大因此，当 时， ；根据连续性方程 ，则必有A1 下面我们证明，速度等于音速不可能在最大断面上达到，即临界断面只能是最小断面如果气流以超音速v>a流入扩张管道见图a，由于断面扩大，气流膨胀流速增大因此速度仍为超音速，且越来越大这说明不会出现音速，也就不可能有最大临界断面；反之，如果气流以亚音速v 对于空气k=1.4，代入上式则有：Te=0.834T0 pe=0.528p0 =0.634 ae=0.915a0,。
