倒易点阵及电子衍射基础.ppt

材料电子显微分析材料电子显微分析•福州大学•材料科学与工程学院•李 强第第1 1章章 倒易点阵及电子衍射基础倒易点阵及电子衍射基础1.1 1.1 晶体结构知识的简单回顾晶体结构知识的简单回顾1.1.1 1.1.1 点点 阵阵1.1.2 1.1.2 晶体学点群晶体学点群1.2 倒易点阵1.3. 正点阵与倒易点阵的指数互换1.4. 晶面间距与晶面夹角公式1.5 Bragg定理及其几何图解1.6 1.6 晶带定律与零层倒易截面晶带定律与零层倒易截面1.7 1.7 结构因子与倒易点阵的结构消光及倒易点阵类型结构因子与倒易点阵的结构消光及倒易点阵类型1.8 倒易点阵与电子衍射图的关系第第1 1章章 倒易点阵及电子衍射基础倒易点阵及电子衍射基础 晶体内原子、离子、分子或集团在三维空间内呈周期性规晶体内原子、离子、分子或集团在三维空间内呈周期性规则排列这些质点可以抽象为几何点，构成的则排列这些质点可以抽象为几何点，构成的点列点列称为称为空间点空间点阵阵，组成它的几何点称为，组成它的几何点称为阵点阵点————正点阵正点阵 用空间三维直线连接阵点得到用空间三维直线连接阵点得到空间格子空间格子————晶格晶格。

单位晶格组成的平行六面体称为单位晶格组成的平行六面体称为晶胞晶胞 晶胞的选取多种多样，晶体学中应用最广的是尽量照顾对晶胞的选取多种多样，晶体学中应用最广的是尽量照顾对称性选取的晶胞称性选取的晶胞称为称为BravaisBravais Cell Cell1.1 1.1 晶体结构知识的简单回顾晶体结构知识的简单回顾1.1.1 1.1.1 点点 阵阵1)代表空间点阵的对称性代表空间点阵的对称性2)相等的棱、角数目应最多相等的棱、角数目应最多3)棱间的直角最多棱间的直角最多4)选取最小体积的平行六面体选取最小体积的平行六面体BravaisBravais Cell Cell的选取原则：的选取原则：Ø数学证明，按上述规则选取的数学证明，按上述规则选取的BravaisBravais Cell Cell有有1414种种代表空代表空间的点阵类型，用间的点阵类型，用a a，，b b，，c c，， ，， ，， 间的关系来表达，归间的关系来表达，归为七大晶系，有为七大晶系，有5 5个类别：个类别：P P（（初基或简单）、初基或简单）、I I（（体心）、体心）、F F（（面心）、面心）、R R（（三角或菱形）、三角或菱形）、C C（（A A，，B B））（（底心）。

底心）晶体结构的对称性有宏观和微观之分晶体结构的对称性有宏观和微观之分§宏观对称宏观对称是指有限体积的规则晶体外形的对称性，不包括是指有限体积的规则晶体外形的对称性，不包括平移对称性，仅在转动、反演或反映下表现出的对称性，平移对称性，仅在转动、反演或反映下表现出的对称性，共共32种，构成种，构成32种点群或者说是，种点群或者说是，经过一点对称素组合经过一点对称素组合的类别称为点群的类别称为点群§微观对称微观对称是指从晶格的角度出发，在认为整个晶格近似为是指从晶格的角度出发，在认为整个晶格近似为三维无限广延的情况下的空间平移、转动、反演操作下的三维无限广延的情况下的空间平移、转动、反演操作下的对称性可能的空间对称有对称性可能的空间对称有230种，构成种，构成230个空间群个空间群或或者说是，者说是，考虑晶体内部结构考虑晶体内部结构- -原子、离子、分子类别和排原子、离子、分子类别和排列的对称性类别列的对称性类别1 1，，2 2，，3 3，，4 4，，6 6，，i i，，m m，， 晶体的独立宏观晶体的独立宏观对称要素对称要素共有共有8 8种，即种，即1.1.2 1.1.2 晶体学点群晶体学点群 晶体的宏观对称性是按晶体的宏观对称性是按宏观点对称操作宏观点对称操作所构成的点群来进所构成的点群来进行分类的。

行分类的 群，是代数理论中的抽象概念，满足一定条件的一些元素群，是代数理论中的抽象概念，满足一定条件的一些元素的集合对称要素对称要素对称中心的国际符号对称中心的国际符号形象法表示形象法表示等效位置，等效位置，+ +、、——号表示正反面，号表示正反面， ，，左右手的变化左右手的变化对称的极图表示对称的极图表示图图1-13-1 二次转轴的表示二次转轴的表示图图1-13-2 三次转轴的表示三次转轴的表示图图1-13-3 四次转轴的表示四次转轴的表示图图1-13-4 六次转轴的表示六次转轴的表示 二维空间的彭罗斯二维空间的彭罗斯(Penrose)拼图由内角为拼图由内角为3636度、度、144144度度和和7272度、度、108108度度的两种菱形组成，能够无缝隙无交叠地排满二维平面这种拼图没有平移对的两种菱形组成，能够无缝隙无交叠地排满二维平面这种拼图没有平移对称性，但是具有长程的有序结构，并且具有晶体所不允许的五次旋转对称性称性，但是具有长程的有序结构，并且具有晶体所不允许的五次旋转对称性一种典型的准晶体结构是三维空间的一种典型的准晶体结构是三维空间的彭罗斯拼图彭罗斯拼图。

19841984年，年，D.ShechtmenD.Shechtmen在快速冷却的在快速冷却的 Al4Mn Al4Mn 合金中发现了一种新的相，合金中发现了一种新的相，其电子衍射斑具有明显的五次对称性推测这种结构具有三维空间的彭罗斯其电子衍射斑具有明显的五次对称性推测这种结构具有三维空间的彭罗斯拼图结构这一发现在当时曾经震动了凝聚态物理学界后来在许多复杂的拼图结构这一发现在当时曾经震动了凝聚态物理学界后来在许多复杂的合金合金中也发现了这一现象中也发现了这一现象 一个具体的宏观对称要素是一个具体的宏观对称要素是8 8种对称要素的一种或几种的种对称要素的一种或几种的组合每种组合对应一种对称类型，即一个点群每种组合对应一种对称类型，即一个点群 点群的表示符号有点群的表示符号有2 2种种1)1)SchonfliesSchonflies符号符号2)2)国际符号（或国际符号（或H-MH-M符号）符号）点点 群群SchonfliesSchonflies符号：符号：•CnCn 表示表示n n次旋转对称，取自循环群（次旋转对称，取自循环群（Cyclic groupCyclic group））第第1 1字母字母•D D 表示二面体群（表示二面体群（dihedral groupdihedral group），即），即n n次旋转对称轴，次旋转对称轴，+ + 与与n n次轴垂直的二次旋转对称次轴垂直的二次旋转对称•T T 表示四面体群（表示四面体群（tetrahedral grouptetrahedral group））, ,高次旋转对称轴高次旋转对称轴的组合的组合•O O 表示八面体群（表示八面体群（octahedral groupoctahedral group），），高次旋转对称轴高次旋转对称轴的组合的组合点群的国际符号点群的国际符号用用特定方向的对称要素直接表示特定方向的对称要素直接表示。

1.1.三斜三斜晶系：晶系：[100][100]2.2.单斜晶系：单斜晶系：[010][010]3.3.正交晶系：正交晶系：[100] [010] [001][100] [010] [001]4.4.四方晶系：四方晶系：[001] [100] [110][001] [100] [110]5.5.三角晶系：三角晶系：[001] [100] [210][001] [100] [210]6.6.六角晶系：六角晶系：[001] [100] [210][001] [100] [210]7.7.立方晶系：立方晶系：[100] [111] [110][100] [111] [110]2/m2/m（（2 2在在m m上），表示具上），表示具有垂直于镜面的有垂直于镜面的2 2次旋转次旋转轴[010][010]方向方向三斜晶系：三斜晶系：[100]单斜晶系：单斜晶系：[010]正交晶系：正交晶系：[100] [010] [001]四方晶系：四方晶系：[001] [100] [110]三角晶系：三角晶系：[001] [100] [210]六角晶系：六角晶系：[001] [100] [210]立方晶系：立方晶系：[100] [111] [110]1.1.2 1.1.2 空间群空间群晶格的周期性，也称平移对称性，是最基本的微观对称性。

晶格的周期性，也称平移对称性，是最基本的微观对称性晶体的点对称元素和平移相结合能产生新的对称元素，即：晶体的点对称元素和平移相结合能产生新的对称元素，即：•旋转轴旋转轴 + + 平移平移 → → 螺旋轴螺旋轴•镜面镜面 + + 平移平移 → → 滑移面滑移面，操作顺序并不重要，操作顺序并不重要1. 1. 晶体的微观对称性晶体的微观对称性（（1 1））螺旋轴螺旋轴国际符号用国际符号用n nm m来来表示定义定义 方向的方向的 n nm m次次螺旋轴对称操作由螺旋轴对称操作由2 2 /n/n旋转和旋转和m/n m/n  平平移组成（（2 2））滑移面滑移面 滑移面是对镜面反映后再沿某一方向平移，平移量为点阵周滑移面是对镜面反映后再沿某一方向平移，平移量为点阵周期的一个分数距离期的一个分数距离有三种有三种类型的滑移面：类型的滑移面：•轴向轴向滑移滑移————沿沿a a，，b b，，c c轴作轴作滑移，轴向滑移的平移平行滑移，轴向滑移的平移平行于镜面，平移量为该方向平移周期的一半；于镜面，平移量为该方向平移周期的一半；•n n滑移滑移————沿面对角线滑移到一半处；沿面对角线滑移到一半处；•d d滑移滑移————亦称亦称““金刚石金刚石””滑移，沿体对角线滑移到滑移，沿体对角线滑移到1/41/4处。

处2. 2. 空间群及其国际符号空间群及其国际符号 空间群是指一个晶体结构中所有对称要素的集合空间群是指一个晶体结构中所有对称要素的集合提供晶体的全部对称信息，涉及到一个给定的点群、体的全部对称信息，涉及到一个给定的点群、BravaisBravais点阵点阵以及这个点群作用在这个点阵上的结果以及这个点群作用在这个点阵上的结果 晶体结构中所能出现的空间群总共晶体结构中所能出现的空间群总共230230种空间群有两种常用的表示符号，空间群有两种常用的表示符号， SchonfliesSchonflies和国际符号和国际符号材料学界常用国际符号材料学界常用国际符号u国际符号的第一位符列出国际符号的第一位符列出BravaisBravais点阵类型点阵类型————P P，，A A、、B B或或C C，，I I，，F F，，R Rv根据对称元素对于晶体学轴的位置列出他们的符号，符根据对称元素对于晶体学轴的位置列出他们的符号，符号的位置所代表的轴向对不同晶系并不同，空间群国际号的位置所代表的轴向对不同晶系并不同，空间群国际符号的顺序见下表符号的顺序见下表国际符号的表示：国际符号的表示：P P（（初基或简单）、初基或简单）、I I（（体心）、体心）、F F（（面心）、面心）、R R（（三角或三角或菱形）、菱形）、C C（（A A，，B B））（（底心）底心）1.1.三斜三斜晶系：晶系：[100][100]2.2.单斜晶系：单斜晶系：[010][010]3.3.正交晶系：正交晶系：[100] [010] [001][100] [010] [001]4.4.四方晶系：四方晶系：[001] [100] [110][001] [100] [110]5.5.三角晶系：三角晶系：[001] [100] [210][001] [100] [210]6.6.六角晶系：六角晶系：[001] [100] [210][001] [100] [210]7.7.立方晶系：立方晶系：[100] [111] [110][100] [111] [110]国际符号标注对称素参照方向的顺序国际符号标注对称素参照方向的顺序举例：举例：uP2/mP2/m（（2 2在在m m上），表示单斜初基点阵，具有垂直于镜面上），表示单斜初基点阵，具有垂直于镜面的的2 2次旋转轴。

次旋转轴[010][010]方向方向参考文献参考文献1.刘文西，黄孝瑛．材料结构电子显微分析，天津大学出版社，刘文西，黄孝瑛．材料结构电子显微分析，天津大学出版社，19892.张福学张福学.现代压电学（上册），科学出版社，现代压电学（上册），科学出版社，20013.冯端，师昌绪，刘治国冯端，师昌绪，刘治国. 材料科学导论，化学工业出版社，材料科学导论，化学工业出版社，20021.2.1 1.2.1 倒易点阵概念的引入倒易点阵概念的引入 衍射是波动性的体现，是波的弹性相干散射如光的狭衍射是波动性的体现，是波的弹性相干散射如光的狭缝衍射、缝衍射、X X光对晶体的衍射光对晶体的衍射衍射条件：衍射条件： 衍射花样衍射花样1.2 1.2 倒易点阵倒易点阵Plane wavesSingle source interferenceSuppose that a plane wave is incident on a panel with a slot of width d (small distance)To predict the form of the wave on the right-hand side of the pane the Huygens principle is used.Huygens principleThe manner in which a wavefront of arbitrary shape will advance can be determined by considering every point on a given wavefront of any instant to be the source of a circular wave.（（媒质中波动传到的各点，都可以看成是发射媒质中波动传到的各点，都可以看成是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定新子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定新的波阵面）的波阵面）Any wave motion in which the amplitude of two or more waves combine will exhibit interference.One-dimensional wave motion.Two kinds of interference exist• Destructive interference: – Wave pulses are cancelled when they pass each other if they are of opposite sign.• Constructive interference – Wave pulses are added when they pass each other if they are of equal sign.As interference effects occur in wave motions of all sorts, interference or diffraction patterns can also be formed with light.X X光对晶体的衍射花样光对晶体的衍射花样电子衍射：电子衍射： 电子衍射是晶体物质对单色电子波产生的衍射现象。

电子衍射是晶体物质对单色电子波产生的衍射现象 下图下图分别是单晶体、多晶体和非晶体的电子衍射花样分别是单晶体、多晶体和非晶体的电子衍射花样单晶单晶C-ZrO2准晶（准晶（quasicrystals））非晶非晶多晶多晶AuFIGURE 2.13. Several kinds of DPs obtained from a range of materials in a conventional 100-kV TEM:(A) amorphous carbon, (B) an Al single crystal,(C) polycrystalline Au, (D) Si illuminated with a convergent beam of electrons. In all cases the direct beam of electrons is responsible for the bright intensity at the center of the pattern and the scattered beams account for the spots or rings that appear around the direct beam. 电子衍射原理与电子衍射原理与X X射线衍射相似，是以满足或基本满足布射线衍射相似，是以满足或基本满足布拉格方程为产生衍射的必要条件。

但因其电子波有其本身的拉格方程为产生衍射的必要条件但因其电子波有其本身的特殊性，与特殊性，与X X射线衍射相比具有下列特点：射线衍射相比具有下列特点：1)1)电子波的波长比电子波的波长比X X射线短得多，因此，在同样满足布拉格射线短得多，因此，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角度很小，条件时，它的衍射角度很小，1010-2-2 radrad，而，而X X射线最大衍射线最大衍射角可达射角可达 /2/2 如如 X X射线的波长范围：射线的波长范围： 1010-3-3-10nm-10nm0.05-0.25nm0.05-0.25nm范围适于范围适于 结构分析结构分析0.005-0.1nm0.005-0.1nm范围适于范围适于 探伤分析探伤分析200KV200KV加速下电子波加速下电子波 λ=0.00251nmλ=0.00251nm2)电子衍射产生斑点大致分布在一个二维倒易截面内，晶体产生的衍射花样能比较直观地反映晶体内各晶面的位向因为电子波长短，用Ewald图解时，反射球半径很大，在衍射角很小时的范围内，反射球的球面可近似为平面3)电子衍射用薄晶体样品，其倒易点沿样品厚度方向扩展为倒易杆，增加了倒易点和Ewald球相交截面机会，结果使略偏离布拉格条件的电子束也能发生衍射。

4)电子衍射束的强度较大，拍摄衍射花样时间短因为原子对电子的散射能力远大于对X射线的散射能力问题：问题：1.这些规则排列的斑点是某晶面上的原子排列这些规则排列的斑点是某晶面上的原子排列的直观影象？的直观影象？2.这些斑点代表什么？这些斑点代表什么？3.这些斑点与晶体的点阵结构有什么样的对应这些斑点与晶体的点阵结构有什么样的对应关系呢？关系呢？4.这些斑点如何解释？这些斑点如何解释？正空间正空间倒空间倒空间 晶带正空间晶带正空间与倒空间对与倒空间对应关系图应关系图B衍射花样衍射花样衍射花样衍射花样分析思路分析思路实验发现，晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另实验发现，晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个外一个假想的点阵假想的点阵很好地联系起来，这就是倒易点阵很好地联系起来，这就是倒易点阵 物理学家物理学家BraggBragg最早解释了衍射现象，提出了著名的最早解释了衍射现象，提出了著名的BraggBragg公式：公式： 显然，上述的讨论和表述都采用正空间习用的语言和处理方显然，上述的讨论和表述都采用正空间习用的语言和处理方法，并没有直观地建立起衍射花样与晶体结构之间的联系。

于法，并没有直观地建立起衍射花样与晶体结构之间的联系于是，是否有可能在数学上另辟蹊径，从几何上对是，是否有可能在数学上另辟蹊径，从几何上对BraggBragg公式加公式加以诠释呢？以诠释呢？ 实际上，对于实际上，对于X X射线的衍射问题，射线的衍射问题，BraggBragg通过实验现象，理解通过实验现象，理解为是晶面的为是晶面的““选择性选择性””反射，也就是说，衍射花样中的一个斑反射，也就是说，衍射花样中的一个斑点与某个晶面相对应，这样，问题就变成了如何把正空间的晶点与某个晶面相对应，这样，问题就变成了如何把正空间的晶面表达为另一空间（倒空间）的一个点面表达为另一空间（倒空间）的一个点 1.2.2 BraggBragg方程及其几何图解方法方程及其几何图解方法- -厄瓦尔德球方法厄瓦尔德球方法 19211921年厄瓦尔德（年厄瓦尔德（EwaldEwald）数学上另辟蹊径，从几何上对）数学上另辟蹊径，从几何上对BraggBragg公式加以诠释，做了很好的尝试，并获得成功公式加以诠释，做了很好的尝试，并获得成功 第一，建立了第一，建立了BraggBragg公式的几何图解方法，后称为厄瓦尔德公式的几何图解方法，后称为厄瓦尔德球方法；球方法； 第二，提出了与正空间、正点阵相对应的倒易空间、倒易点第二，提出了与正空间、正点阵相对应的倒易空间、倒易点阵全新概念，而且指出了在一定条件下，倒空间、倒易点阵也阵全新概念，而且指出了在一定条件下，倒空间、倒易点阵也是可见的，如在衍射实验时，在物镜后焦面处记录到的衍射谱，是可见的，如在衍射实验时，在物镜后焦面处记录到的衍射谱，就是倒空间倒易点阵的一个截面。

下面将简要说明其基本思路就是倒空间倒易点阵的一个截面下面将简要说明其基本思路 瓦尔德（瓦尔德（EwaldEwald）建立）建立BraggBragg公式的几何解的思路公式的几何解的思路BraggBragg公式（公式（1-11-1）可以改写为：）可以改写为： 三角函数的表达式右边分子与分母参数的量纲均变成长度三角函数的表达式右边分子与分母参数的量纲均变成长度的（的（-1-1）次量纲对上式进行图解表达，如图）次量纲对上式进行图解表达，如图1-181-18所示 OCOC是入射束的方向，是入射束的方向，OBOB是设想的取向能使入射束入射角满足是设想的取向能使入射束入射角满足BraggBragg公式从而产生衍射的晶面公式从而产生衍射的晶面(hkl)(hkl)的的反射束方向，反射束方向，OAOA就是就是(hkl)(hkl)面延长后交于反射球面的面延长后交于反射球面的交点以晶体所在处以晶体所在处O O为圆心，以为半径作一为圆心，以为半径作一圆球，称为圆球，称为厄瓦尔德球或反射球厄瓦尔德球或反射球 显然．满足衍射条件时，显然．满足衍射条件时，CBCB必须与反射平面必须与反射平面(hkl)(hkl)垂直，垂直，而且长度应为，而且长度应为，即广义晶面间距的倒数。

即广义晶面间距的倒数图图 BraggBragg公式的厄瓦尔德图解公式的厄瓦尔德图解 定义定义矢量的方向矢量的方向就和正空间晶体点阵满就和正空间晶体点阵满足布拉菲条件的足布拉菲条件的{ {hkl}hkl}晶面的法线晶面的法线方向方向联系起来了，其大小（或长度）联系起来了，其大小（或长度） 与反射晶面面间距联系起来了与反射晶面面间距联系起来了 则则矢量的大小矢量的大小就能够代表反射平面族就能够代表反射平面族{hkl} {hkl} 矢量便称为倒易矢量矢量便称为倒易矢量 在图在图1-181-18的作图空间里，所有的的作图空间里，所有的量都是正空间相应量的（量都是正空间相应量的（-1-1）次）次量纲：量纲： 图图 BraggBragg公式的厄瓦尔德图解公式的厄瓦尔德图解  从前面的分析可知，倒易点阵是晶体点阵的倒易，它并不是从前面的分析可知，倒易点阵是晶体点阵的倒易，它并不是一个客观实在，也没有特定的物理概念与意义，纯粹是一种数一个客观实在，也没有特定的物理概念与意义，纯粹是一种数学模型然而倒易点阵对描述和阐述晶体对射线衍射的原理却学模型然而倒易点阵对描述和阐述晶体对射线衍射的原理却是一种非常有力的工具。

射线在晶体的衍射与干涉和衍射十分是一种非常有力的工具射线在晶体的衍射与干涉和衍射十分类似衍射过程中作为主体的光栅和作为客体的衍射像之间存类似衍射过程中作为主体的光栅和作为客体的衍射像之间存在着一个傅立叶变换的关系在着一个傅立叶变换的关系 1.5.2 1.5.2 倒易空间的建立及其基本性质倒易空间的建立及其基本性质 通常我们把晶体内部结构称为正空间，而晶体对射线的衍射通常我们把晶体内部结构称为正空间，而晶体对射线的衍射被称为倒易空间显而易见，倒易空间并不是一个客观实在的被称为倒易空间显而易见，倒易空间并不是一个客观实在的物理空间，而只是对一个物理空间的一种数学变换表达同样，物理空间，而只是对一个物理空间的一种数学变换表达同样，倒易点阵也仅是对晶体点阵的一种数学变换表达随着物理学倒易点阵也仅是对晶体点阵的一种数学变换表达随着物理学和固体物理的发展，倒易空间的概念，还被十分广泛地用来描和固体物理的发展，倒易空间的概念，还被十分广泛地用来描述涉及能量分布空间的问题述涉及能量分布空间的问题 倒易点阵是一种晶体学表示方法，是厄互尔德于倒易点阵是一种晶体学表示方法，是厄互尔德于19121912年创年创立的，它是在量纲为立的，它是在量纲为[L]-1[L]-1的倒空间内的另外一个点阵，与的倒空间内的另外一个点阵，与正空间内的某特定的点阵相对应。

正空间内的某特定的点阵相对应 1 1．倒易点阵的数学表达及其基本性质．倒易点阵的数学表达及其基本性质（（1）倒易点阵基矢的定义）倒易点阵基矢的定义 g g矢量如何用正空间的点阵基矢矢量如何用正空间的点阵基矢a a1 1、、a a2 2、、a a3 3以及反射晶面指数以及反射晶面指数{hkl}{hkl}去表达呢？去表达呢？ 就能够代表反射平面族就能够代表反射平面族{hkl} {hkl} 矢量便称为倒易矢量矢量便称为倒易矢量 NhklPQR、 图图1-19 1-19 倒易矢量的引入倒易矢量的引入设平面设平面ABCABC为反射晶面（为反射晶面（hklhkl），），其法向矢量为其法向矢量为N Nhklhkl，，根据晶体学的定义，（根据晶体学的定义，（hklhkl）晶面在三晶）晶面在三晶轴上的截距分别为轴上的截距分别为 因为Nhkl   P，，Nhkl   Q，，Nhkl   R，，即有P   Q   Nhkl，，同时，同时，法向矢量Nhkl的大小尚未限制，不妨定义一个g矢量来定义晶面法向，令 若取归一化因子为（V为晶胞体积）  （1-12）（j=1, 2, 3）为新的三个基矢，定义了一个新的空间。

于是，晶面的法向不仅能够用正点正的基矢和晶面指数表达， 该矢量指向的端点的坐标指数在该矢量指向的端点的坐标指数在 （（j=1, 2, 3）定义的空间内为（）定义的空间内为（hkl）） 2 2 倒易点阵倒易点阵（（reciprocal lattice））1)1)．倒易点阵的定义及其基本性质．倒易点阵的定义及其基本性质 （（1 1）倒易点阵基矢的定义）倒易点阵基矢的定义 （（2 2）倒易点阵的性质）倒易点阵的性质 2). 2). 正点阵与倒易点阵的指数互换正点阵与倒易点阵的指数互换 （（1 1）正点阵与倒易点阵基矢间的关系）正点阵与倒易点阵基矢间的关系 （（2 2）正点阵与倒易点阵指数间的互换）正点阵与倒易点阵指数间的互换 3). 3). 晶面间距与晶面夹角公式晶面间距与晶面夹角公式 （（1 1）晶面间距）晶面间距 （（2 2）晶面夹角公式）晶面夹角公式  倒易点阵是一种晶体学表示方法，是倒易点阵是一种晶体学表示方法，是厄互尔德厄互尔德于于19121912年年创立的，它是在量纲为创立的，它是在量纲为[L][L]-1-1的倒空间内的另外一个点阵，与的倒空间内的另外一个点阵，与正空间内的某特定的点阵相对应。

正空间内的某特定的点阵相对应 通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果体相应晶面的衍射结果1)1)．倒易点阵及其基本性质．倒易点阵及其基本性质 （（1）倒易点阵基矢的定义）倒易点阵基矢的定义 如果用点阵基矢如果用点阵基矢 （（i = 1, 2, 3i = 1, 2, 3））定义一正点阵，若由另定义一正点阵，若由另一个点阵基矢一个点阵基矢 （（j = 1j = 1，，2 2，，3 3））定义的点阵满足定义的点阵满足式（式（1 1）中，）中，V — V — 阵胞体积阵胞体积 （（1）） 则由则由 定义的点阵为定义的点阵为 定义的点阵的倒易点阵定义的点阵的倒易点阵由此可知，由此可知， 与与 分别定义的正点阵与倒易点分别定义的正点阵与倒易点阵互为倒易阵互为倒易2）） 决定大小决定大小决定方向决定方向（（2）倒易点阵的性质）倒易点阵的性质 u 据式（据式（1 1）有）有v 倒易矢量及其基本性质倒易矢量及其基本性质 在倒易点阵中，以任一倒易点为坐标原点在倒易点阵中，以任一倒易点为坐标原点O O* *(000)(000)，，由由倒易原点倒易原点O O* *(000)(000)指向任一坐标（指向任一坐标（HKLHKL））的矢量称为倒易矢量，的矢量称为倒易矢量，表达为表达为 （（5）） 其基本性质：其基本性质： 上式表明：上式表明：ü倒易矢量垂直于正点阵中相应的倒易矢量垂直于正点阵中相应的( (hklhkl) )晶面，或平行于它的法向；晶面，或平行于它的法向；ü倒易阵点的一个点代表的是正点阵中的一组晶面。

倒易阵点的一个点代表的是正点阵中的一组晶面证证 明：明： （（1））设平面设平面ABCABC为（为（HKLHKL），），根据晶体学的定义，（根据晶体学的定义，（HKLHKL））在在三晶轴上的截距为：三晶轴上的截距为： 显然，显然， 因为，因为， 所以所以 同理可证：同理可证： 则则 n0（（2 2）设）设 n n0 0 为（为（HKLHKL））法线方向的单位矢量法线方向的单位矢量 ，显然，，显然， 且且晶面间距晶面间距dHKL应为该平面的任一截距在法线方向上的投影长度应为该平面的任一截距在法线方向上的投影长度 所以所以 同理可以证明：同理可以证明： w 对正交点阵，有对正交点阵，有x 对立方系来讲，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即对立方系来讲，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量是与相应指数的晶向平行倒易矢量是与相应指数的晶向平行a1* // a1; ………..a1* = 1/a; ……….1.3. 1.3. 正点阵与倒易点阵的指数互换正点阵与倒易点阵的指数互换（（1 1）正点阵与倒易点阵基矢间的关系）正点阵与倒易点阵基矢间的关系 假设正点阵基矢与倒易点阵基矢间可以通过变换矩阵假设正点阵基矢与倒易点阵基矢间可以通过变换矩阵[ [G]G]作作如下变换如下变换 （（6）） 将（将（6 6）式两端右乘行矩阵）式两端右乘行矩阵 （（7）） 由由可得可得 式中式中 （（i, j = 1, 2, 3）） （（8）） 利用（利用（6 6）式可以将倒易基矢变换为正基矢。

式可以将倒易基矢变换为正基矢 将（将（6 6）式两端左乘）式两端左乘[ [G]G]-1-1得得（（9）） 再将式（再将式（9 9）两端同时右乘）两端同时右乘 (10) 其中其中 （（i, j =1, 2, 3）） 举例：举例： 对立方晶系对立方晶系 a1 = a2 = a3 = a α=β=γ=900（（2 2）正点阵与倒易点阵指数间的互换）正点阵与倒易点阵指数间的互换 对立方系，晶面（对立方系，晶面（HKLHKL））与其同名的晶向与其同名的晶向[ [HKL]HKL]垂直，垂直， 即即但对非立方晶系，这种关系在多数情况下不成立，因此，需但对非立方晶系，这种关系在多数情况下不成立，因此，需要解决以下两个问题：要解决以下两个问题： u 已知（已知（HKL））晶面，求其法线方向晶面，求其法线方向[uvw]v 已知某一晶向已知某一晶向[uvw]，，求与其垂直的晶面求与其垂直的晶面设设[ [uvwuvw] ]是（是（HKLHKL））晶面的法线，晶面的法线，[ [uvwuvw]⊥(HKL)]⊥(HKL)，，有有 显然，显然， 和和 是同一方向的矢量在正倒空间的不同是同一方向的矢量在正倒空间的不同表达方式，可用数学式表达为表达方式，可用数学式表达为 （（11）） 写成等式为：写成等式为： （（12）） （（13）） 式中式中  乘以一个乘以一个K K因子是为了将因子是为了将 和和 均变为无量纲的单位矢量，均变为无量纲的单位矢量，实际上与实际上与[ [uvwuvw] ]垂直的晶面是一系列平行的晶面组，如在立方系垂直的晶面是一系列平行的晶面组，如在立方系中，与中，与[110][110]垂直的晶面有（垂直的晶面有（110110），（），（220220），（），（330330）。

同样，（同样，（111111）晶面的法线方向也可以是）晶面的法线方向也可以是[111][111]，，[222][222]等因此，因此， 可以将（可以将（1313）式中的）式中的K K取消，写成等式取消，写成等式（（14）） 将（将（1414）式两端分别乘以，）式两端分别乘以， 、、 、、 ，得，得 （（15）） 写成矩阵形式为写成矩阵形式为（（16）） 举例举例：：[ [uvwuvw] ]与其同名的晶面组（与其同名的晶面组（uvwuvw））垂直1 1）立方晶系）立方晶系(2) (2) 六方晶系六方晶系如六方晶系的如六方晶系的MoCMoC，， a = 2.90Å , c = 2.77 Å , a = 2.90Å , c = 2.77 Å , 求与晶求与晶向向[ [uvwuvw] = [111] ] = [111] 垂直的晶面垂直的晶面代入数据计算得代入数据计算得 （（HKLHKL））= =（（4.2054.205，，4.2054.205，，7.6737.673））=(1,1, =(1,1, 1.85)≈(559) 1.85)≈(559) 同理，将（同理，将（1414）式两端分别乘以）式两端分别乘以 , , 有有（（17）） 或将（或将（1616）式两端乘）式两端乘[ [G]G]-1-1得到同样结果。

得到同样结果1.4. 1.4. 晶面间距与晶面夹角公式晶面间距与晶面夹角公式（（1 1）晶面间距）晶面间距 由倒易矢量的性质由倒易矢量的性质进一步可写成进一步可写成 即即（（18）） 此式为适用于任何晶系的通用公式此式为适用于任何晶系的通用公式 对立方晶系对立方晶系 cosα* = cosβ* = cosγ* = 0则有则有 （（19）） （（2 2））晶面夹角公式晶面夹角公式 两晶面间的夹角可用两晶面法线夹角表达，也即可用两晶两晶面间的夹角可用两晶面法线夹角表达，也即可用两晶面对应的倒易矢量夹角表示，故有面对应的倒易矢量夹角表示，故有 (20) 上式上式 适用于任何晶系适用于任何晶系对立方晶系，夹角公式为对立方晶系，夹角公式为 （（21）） 1.布拉格实验实验装置如图所示实验装置如图所示 •C C为样品；为样品；•入射线以掠射角或布拉格角入射线以掠射角或布拉格角 照射样品；照射样品；•满足反射定律的方向设置反射线接收装置；满足反射定律的方向设置反射线接收装置；•X X射线照射样品过程中，记录装置与样品台以射线照射样品过程中，记录装置与样品台以2 2：：1 1的角速度同步的角速度同步转动，以保证记录装置始终处于反射线位置上。

转动，以保证记录装置始终处于反射线位置上 试验结果表明，即仅在特定的角度才有反射线，试验结果表明，即仅在特定的角度才有反射线，X X射线射线的反射具有选择性，即的反射具有选择性，即““选择反射选择反射””1.5.1 1.5.1 布拉格定律布拉格定律 1.5 1.5 BraggBragg定理及其几何图解定理及其几何图解2. 2. 布拉格方程的推导布拉格方程的推导考虑：考虑： u晶体结构的周期性晶体结构的周期性vX X射线具有穿透性射线具有穿透性w入射线与反射线均可视为平行光（光源与记录装置至样入射线与反射线均可视为平行光（光源与记录装置至样品的距离较品的距离较d d大得多）大得多） 认为，认为，““选择性反射选择性反射””是各原子面各自产生的相互平行的是各原子面各自产生的相互平行的反射线间的干涉作用的结果反射线间的干涉作用的结果 据此，可以构造如图所示的衍射几何，据此，可以构造如图所示的衍射几何，X X射线照射到射线照射到（（hklhkl））原子面上并产生反射，面间距为原子面上并产生反射，面间距为d d0 0，，相邻两晶面（如相邻两晶面（如A A1 1，，A A2 2））的反射线光程差的反射线光程差: :  = PM2 + M2Q = 2dsin 干涉相互加强的条件为干涉相互加强的条件为   = = n n ，， 即即 2dsin  = n  (2-1a)n — 任意整数，反射级数任意整数，反射级数d —（（hkl））晶面面间距晶面面间距  — Bragg角角  — X射线波长射线波长式（式（2-12-1）称为布拉格方程。

称为布拉格方程式中式中，，oPR X-ray Diffraction (Bragg condition) 2d·sinq = lddl/2dsinql0级1级2级布拉格方程中的反射级数的物理意义：布拉格方程中的反射级数的物理意义： 设衍射晶面为（设衍射晶面为（hklhkl））面间面间距为距为d d，，入射方向与衍射晶面入射方向与衍射晶面成成θθ角，由角，由X X射线的衍射原理，射线的衍射原理，则衍射必要条件的数学表达式则衍射必要条件的数学表达式 由实验证明，衍射可解释为晶面对入射波的反射，如由实验证明，衍射可解释为晶面对入射波的反射，如图所示下面求几何解图所示下面求几何解 （（2-1））3 3 布拉格方程布拉格方程 （（Bragg formulaBragg formula））的矢量表达的矢量表达 设入射束和反射束的单位矢量设入射束和反射束的单位矢量分别为分别为 S S0 0 和和 S S那么，那么， 又可写为又可写为 令令 有有 （（2-2））ghklK K/ /，，K K分别为衍射线与入射线的波数矢量分别为衍射线与入射线的波数矢量2-12-1）（）（2-22-2）分别为布拉格定律的标量与矢量表达式。

分别为布拉格定律的标量与矢量表达式由（由（2-12-1）变换可得）变换可得 一一般般情情况况下下，，金金属属和和合合金金的的面面间间距距大大都都在在0.2-0.40.2-0.4nmnm范范围围，，而而电电子子波波长长≤≤0.050.05nm(60KV)nm(60KV)因因此此，，金金属属和和合合金金极极易易满满足足条条件件产产生生衍衍射射且且sinθsinθ值值很很小小，，从从而而有有特特别别小小的的衍衍射射角角通通常常 θ<1θ<10 0 那么，布拉格方程如何在几何上表达呢？这就是下面要那么，布拉格方程如何在几何上表达呢？这就是下面要讲的厄瓦尔德球作图法讲的厄瓦尔德球作图法 1.5.2 1.5.2 厄瓦尔德球作图法厄瓦尔德球作图法 在电子衍射的分析过程中，常常要用到厄瓦尔德球作图在电子衍射的分析过程中，常常要用到厄瓦尔德球作图法，利用这种方法可以法，利用这种方法可以比较直观地观察衍射晶面、入射束和比较直观地观察衍射晶面、入射束和衍射束之间的几何关系衍射束之间的几何关系它实际上是布拉格方程的几何表示它实际上是布拉格方程的几何表示 厄瓦尔德球是位于倒易空间中的一个球面，球之半径等厄瓦尔德球是位于倒易空间中的一个球面，球之半径等于入射电子波波长的倒数于入射电子波波长的倒数1/1/λλ。

厄瓦尔德球作图法：厄瓦尔德球作图法：具体作法如下：具体作法如下：1)1)在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵；在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵；2)2)以倒易原点以倒易原点0 0* *为端点，作入射波的波矢量为端点，作入射波的波矢量K(OOK(OO* *) )，，该矢该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即 K=1/λK=1/λ；；3)3)以以O O为中心，为中心，1/1/λλ为半径作为半径作一个球，这就是厄互尔德一个球，这就是厄互尔德球4)4)若有倒易阵点若有倒易阵点G G（（hklhkl））正好落在厄瓦尔德球的球面上，则正好落在厄瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（相应的晶面组（hklhkl））与入射束的位向必满足布拉格条件，与入射束的位向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是而衍射束的方向就是OGOG或者衍射波矢量或者衍射波矢量K K/ /，，其长度等于反其长度等于反射球的半径射球的半径根据倒易矢量的定义根据倒易矢量的定义 进行矢量运算有：进行矢量运算有： （（2—32—3）） 现在来证明（现在来证明（2-32-3）与（）与（2-12-1）（）（2-22-2）是等价的。

是等价的证证 明：明： 显然，由图可知，显然，由图可知，K K与与K’K’之之间的夹角等于间的夹角等于2 2θθ这与布这与布拉格定律的结果一致拉格定律的结果一致 由由O O向向0 0* *G G作垂线作垂线0 0D D，，垂足为垂足为D D∵∵（（hklhkl面的法线）面的法线）∴∴ 0 0D D就是正空间（就是正空间（hklhkl））面的方位面的方位设它与入射束的夹角为设它与入射束的夹角为θθ，，则有则有∴∴ 综上所述，爱瓦尔德球内的三个矢量综上所述，爱瓦尔德球内的三个矢量K K、、K’K’和和g ghklhkl清楚地清楚地描述了入射束、衍射束和衍射晶面之间的相对关系这个方描述了入射束、衍射束和衍射晶面之间的相对关系这个方法成为分析衍射的有效工具法成为分析衍射的有效工具 前面的做图分析过程中，取爱瓦尔德球半径为前面的做图分析过程中，取爱瓦尔德球半径为1/1/ ，且，且g ghklhkl=1/=1/d dhklhkl, ,因此，爱瓦尔德球本身就置于倒空间因此，爱瓦尔德球本身就置于倒空间 而且倒空间的任一而且倒空间的任一g ghklhkl矢量就是正空间矢量就是正空间( (hklhkl) )晶面的代表，晶面的代表，如果知道了如果知道了g ghklhkl矢量的排列方式，就可推得正空间对应的衍射矢量的排列方式，就可推得正空间对应的衍射晶面的方位了，这就是电子衍射分析要解决的主要问题。

晶面的方位了，这就是电子衍射分析要解决的主要问题The following figures show the annotation of crystal surfaces1.6 1.6 晶带定律与零层倒易截面晶带定律与零层倒易截面 晶晶体体中中，，与与某某一一晶晶向向[ [uvwuvw] ]平平行行的的所所有有晶晶面面（（HKLHKL））属属于于同同一一晶晶带带，，称称为为[ [uvwuvw] ]晶晶带带，，该该晶晶向向[ [uvwuvw] ]称称为为此此晶晶带带的的晶晶带带轴，表示为轴，表示为此晶带内的各晶面用相应的倒易矢量来表示为此晶带内的各晶面用相应的倒易矢量来表示为 ∵∵∴∴（（2222）） 即即(23)(23) 式（式（2222）为晶带定律的矢量表达式）为晶带定律的矢量表达式式（式（2323）为晶带定律的标量表达式）为晶带定律的标量表达式 如图所示，取某点如图所示，取某点O O* *为倒易原点，为倒易原点，则该晶带所有晶面对应的倒易矢（倒易则该晶带所有晶面对应的倒易矢（倒易点）将处于同一倒易平面中，这个倒易点）将处于同一倒易平面中，这个倒易平面与平面与Z Z垂直。

垂直 由正、倒空间的对应关系，与由正、倒空间的对应关系，与Z Z垂垂直的倒易面为（直的倒易面为（uvwuvw））* *, ,即即 [ [uvwuvw]⊥(]⊥(uvwuvw) )* * 因因此此，，由由同同晶晶带带的的晶晶面面构构成成的的倒倒易易面面就就可可以以用用（（uvwuvw））* *表表示示，，且且因因为为过过原原点点O O* *，，则称为则称为0 0层倒易截面（层倒易截面（uvwuvw））* *正空间倒空间图图2-3 2-3 晶带正空晶带正空间与倒空间的对间与倒空间的对应关系图应关系图反反过过来来，，若若已已知知[ [uvwuvw] ]晶晶带带中中任任意意两两晶晶面面（（H H1 1K K1 1L L1 1））和和（（H H2 2K K2 2L L2 2），），则可按晶带定理求晶带轴指数，有则可按晶带定理求晶带轴指数，有解此方程组得解此方程组得（（2424）） 手算时写成更容易记忆的形式手算时写成更容易记忆的形式u v wu v w 举列：举列：u一一立方晶胞以立方晶胞以[001][001]作晶带轴时，（作晶带轴时，（100100）、（）、（010010）、）、（（110110）和（）和（210210）等晶面均和）等晶面均和[001][001]平行，相应的零层倒平行，相应的零层倒易截面如图所示。

易截面如图所示v体心立方晶体体心立方晶体[001][001]和和[011][011]晶带的标准零层倒易截面图晶带的标准零层倒易截面图1.7 1.7 结构因子与倒易点阵的结构消光及倒易点阵类型结构因子与倒易点阵的结构消光及倒易点阵类型1.7.1 1.7.1 结构消光结构消光或或 上述条件给出的是某晶面组（上述条件给出的是某晶面组（hklhkl））产生衍射的必要条件，产生衍射的必要条件，满足了上述的要求，也未必一定产生衍射这样，把满足布满足了上述的要求，也未必一定产生衍射这样，把满足布拉格条件而不产生衍射的现象称为拉格条件而不产生衍射的现象称为结构消光结构消光 满足满足Bragg方程方程或者倒易阵点正好落在爱瓦尔德球球面上的或者倒易阵点正好落在爱瓦尔德球球面上的( (hklhkl) )晶面组是否晶面组是否会产生衍射束？会产生衍射束？答案是：答案是：下面将从衍射强度的角度进行分析下面将从衍射强度的角度进行分析X X射线的衍射强度射线的衍射强度结构因子的定义：结构因子的定义：一个晶胞内所有原子散射的相干散射波振幅一个晶胞内所有原子散射的相干散射波振幅 一个电子散射的相干散射波振幅一个电子散射的相干散射波振幅 F=F=F F称为称为结构因子结构因子它是以一个电子散射它是以一个电子散射波振幅为单位所表征波振幅为单位所表征的晶胞散射波振幅。

的晶胞散射波振幅因此也称为因此也称为结构振幅结构振幅某个晶面的结构因子：某个晶面的结构因子： 在在( (h h k k l)l)晶晶面面的的衍衍射射方方向向上上，，晶晶胞胞中中某某个个原原子子A(A(坐坐标为标为x xj jy yj jz zj j) )与其阵胞与其阵胞原点原点O O上原子的散射波的位相差为上原子的散射波的位相差为 于是于是( (hklhkl) )晶面的结构因子为：晶面的结构因子为：或或 由由X X射线的衍射知道，衍射束的强度射线的衍射知道，衍射束的强度 （（2—6）） F Fhklhkl——（（hklhkl））晶晶面面组组的的结结构构因因子子（（结结构构振振幅幅）），，表表征征晶晶体体的正点阵晶胞内所有原子的散射波在衍射方向的合成振幅的正点阵晶胞内所有原子的散射波在衍射方向的合成振幅fj——晶胞中位于晶胞中位于（（xj, yj, zj））的第的第j个原子的散射因子个原子的散射因子n—晶胞原子数晶胞原子数（第（第j j个原子的座标矢量）个原子的座标矢量） l（（hklhkl））晶晶面面组组的的结结构构因因子子（（结结构构振振幅幅））F Fhklhkl它它表表征征单单胞胞的的衍衍射射强强度度，，反反映映了了晶晶体体的的正正点点阵阵晶晶胞胞内内原原子子种种类类（（ fj ））、、原原子子个个数数（（n n））以以及及原原子子位位置置（（xj, yj, zj））对对衍衍射射强强度度的的影影响。

响lF Fhklhkl2 2具有强度的意义，即具有强度的意义，即F F2 2越大，越大，I Ihklhkl越大l当当FhklFhkl=0=0时时，，IhklIhkl=0=0，，即即使使满满足足BraggBragg定定律律，，也也没没有有衍衍射射束束产产生生，，因因为为每每个个晶晶胞胞内内原原子子散散射射波波的的合合成成振振幅幅为为零零，，这叫结构消光这叫结构消光 在在X X射线衍射中已经计算过典型晶体结构的结构因子射线衍射中已经计算过典型晶体结构的结构因子 可以看出可以看出: :1.7.2 1.7.2 产生衍射的充分必要条件产生衍射的充分必要条件u产生衍射的必要条件产生衍射的必要条件v充分条件充分条件 F Fhklhkl≠0≠0综上所述：综上所述：简单立方简单立方对指数没有限制（不会产生结构消光）对指数没有限制（不会产生结构消光）f. c. cf. c. c h. k. L. h. k. L. 奇偶混合奇偶混合b. c. cb. c. c H + k + L = H + k + L = 奇数奇数h. c. ph. c. p H + 2k = 3n, H + 2k = 3n, 同时同时L=L=奇数奇数体心四方体心四方 H + k + L = H + k + L = 奇数奇数常见晶体的结构消光规律常见晶体的结构消光规律 1.7.3 1.7.3 倒易点阵的类型倒易点阵的类型 由上所述，满足由上所述，满足BraggBragg定律只是产生衍射的必要而非充分条定律只是产生衍射的必要而非充分条件，只有同时又满足件，只有同时又满足F F 0 0的（的（HKLHKL））晶面组才能得到衍射束。

晶面组才能得到衍射束 考考虑虑到到这这一一点点，，可可以以把把F Fhklhkl2 2作作为为““权权重重””加加到到相相应应的的倒倒易易阵阵点点上上去去，，此此时时，，倒倒易易点点阵阵中中各各个个阵阵点点将将不不再再是是彼彼此此等等同同的的，，““权权重重””的的大大小小表表明明各各阵阵点点所所对对应应的的晶晶面面组组发发生生衍衍射射时时的的衍衍射束强度射束强度 凡凡““权重权重””为为0 0，即，即 F=0F=0的那些阵点，都应当从倒易点阵中的那些阵点，都应当从倒易点阵中抹去，仅留下可能会产生衍射的那些阵点只要这些抹去，仅留下可能会产生衍射的那些阵点只要这些F≠0F≠0的的阵点落在反射球面上，必有衍射束产生阵点落在反射球面上，必有衍射束产生 u这样，在这样，在f.c.cf.c.c晶体点阵中，要把晶体点阵中，要把h h、、k k、、l l奇、偶数混合的奇、偶数混合的那些阵点抹去，就成了体心立方结构的点阵，如图所示那些阵点抹去，就成了体心立方结构的点阵，如图所示v同理，同理，b.c.cb.c.c点阵对应的倒易点阵为面心结构点阵对应的倒易点阵为面心结构基本规律概括为：基本规律概括为：1.1.倒易点阵与所对应的晶体点阵同属于相同的晶系倒易点阵与所对应的晶体点阵同属于相同的晶系 2.2.倒易点阵与相应的晶体点阵布拉菲结构特征除面心和体心倒易点阵与相应的晶体点阵布拉菲结构特征除面心和体心倒易互换外，其余都是相同的。

倒易互换外，其余都是相同的1.7.4 1.7.4 倒易阵点的扩展（形状）与偏移参量倒易阵点的扩展（形状）与偏移参量 从几何意义上来看，电子束方向与某晶带轴重合时，零层倒从几何意义上来看，电子束方向与某晶带轴重合时，零层倒易面除原点易面除原点O*O*外，都不可能与爱瓦尔德球相交，因而，不可能外，都不可能与爱瓦尔德球相交，因而，不可能产生衍射，如图（产生衍射，如图（a a））所示 若要使晶带中的某若要使晶带中的某一个或几个晶面产生一个或几个晶面产生衍射，必须将晶体倾衍射，必须将晶体倾斜，如图（斜，如图（b b））所示 在在实实际际电电子子衍衍射射操操作作中中，，即即使使B//[B//[uvwuvw] ]，，使使零零层层倒倒易易截截面面的的倒倒易易点点不不与与爱爱瓦瓦尔尔德德球球面面严严格格相相交交仍仍能能发发生生衍衍射射，，即即入入射射束束和和晶晶面面间间的的夹夹角角和和精精确确BraggBragg角角θθB B存存在在某某一一偏偏差差 θθ时时仍仍能能发发生生衍射 这是因为实际的样品晶体都有确定的形状和有限的尺寸，这是因为实际的样品晶体都有确定的形状和有限的尺寸，因而，它的倒易点不是一个几何意义上的点，而是沿着晶体因而，它的倒易点不是一个几何意义上的点，而是沿着晶体尺寸较小的方向发生扩展，扩展量为该方向实际尺寸的倒数尺寸较小的方向发生扩展，扩展量为该方向实际尺寸的倒数的的2 2倍。

倍 衍射晶面位向与精确衍射晶面位向与精确BraggBragg条件的允许偏差和样品晶体的条件的允许偏差和样品晶体的形状和尺寸有关，这可以用倒易阵点的扩展来表示形状和尺寸有关，这可以用倒易阵点的扩展来表示电子显微分析中常见的样品及其对应的扩展倒易点的形状电子显微分析中常见的样品及其对应的扩展倒易点的形状（（1 1）薄片）薄片（（2 2）棒状或针状）棒状或针状（（3 3）颗粒状或球状）颗粒状或球状倒易阵点的形状效应倒易阵点的形状效应 假定倒易点扩展为杆，杆子总长假定倒易点扩展为杆，杆子总长2/2/t t如图可见，在偏离如图可见，在偏离BraggBragg角角   θmaxθmax范围内，倒易杆都能和球面相接触而产生衍射范围内，倒易杆都能和球面相接触而产生衍射l如图所示，偏离如图所示，偏离 θθ时，时，倒易杆中心至爱瓦尔德倒易杆中心至爱瓦尔德球面交截点的距离可用球面交截点的距离可用矢量矢量S S表示，表示，S S就是偏离就是偏离矢量矢量，，l θθ为正，为正，S S为正，反之为正，反之为负即即S S以入射束以入射束K K作作为它的正方向，为它的正方向，S S越大，越大，衍射强度越小。

衍射强度越小偏离矢量的定义偏离矢量的定义 下下图图给给出出了了不不同同偏偏离离矢矢量量（（s s = = 0 0，， s s < < 0, 0, s s > > 0 0））三三种种典型情况下的爱瓦尔德球作图典型情况下的爱瓦尔德球作图倒易阵点扩展后的爱瓦尔德球图解倒易阵点扩展后的爱瓦尔德球图解在偏离在偏离BraggBragg条件下，产生衍射的条件可表示为条件下，产生衍射的条件可表示为显然，当显然，当 θ=  θmax时，时，S = Smax = 1/t 当当 θ >  θmax时时,不发生衍射不发生衍射倒易阵点的形状可以反映衍射斑点的强度分布和精细结构倒易阵点的形状可以反映衍射斑点的强度分布和精细结构1.8 1.8 倒易点阵与电子衍射图的关系倒易点阵与电子衍射图的关系1.8.1 1.8.1 电子衍射装置与电子衍射基本公式推导电子衍射装置与电子衍射基本公式推导 右图是导出电子衍射基本公式右图是导出电子衍射基本公式的普通电子衍射装置示意图的普通电子衍射装置示意图•电子束波长为电子束波长为 •样品晶体置于样品晶体置于O O处处•离样品距离为离样品距离为L L处放置底版处放置底版•假定面间距为假定面间距为d d的（的（hklhkl））面满足面满足BraggBragg条件，则发生衍射，透射束条件，则发生衍射，透射束和衍射束将和底片分别交于和衍射束将和底片分别交于O’O’和和P’P’。

O’O’为衍射花样的中心斑，为衍射花样的中心斑，P’P’为（为（hklhkl））面的衍射斑面的衍射斑此此时时，，作作EwaldEwald球球与与晶晶体体对对应应的的倒倒易易点点阵阵，，如如图图示示那那么么，，必必有（有（hklhkl））对应的倒易点对应的倒易点G(G(hklhkl) )落在落在EwaldEwald球面上球面上∵∵ 2 2θθ很小，一般为很小，一般为1-21-20 0 ∴∴ 由由代入上式代入上式 即即 （（2—4）） （（2-4）为电子衍射的基本公式）为电子衍射的基本公式 L为相机长度为相机长度令定义为电子衍射定义为电子衍射相机常数相机常数 把电子衍射基本公式写成矢量表达式把电子衍射基本公式写成矢量表达式（2—5） 这说明是相应的按比例放大，这说明是相应的按比例放大，K K称为电子衍射放大率称为电子衍射放大率 单晶花样中的斑点可以直接被看成是相应衍射晶面的倒易单晶花样中的斑点可以直接被看成是相应衍射晶面的倒易阵点，各个斑点的阵点，各个斑点的R R矢量也就是相应的倒易矢量矢量也就是相应的倒易矢量g g衍射花样衍射花样的几何性质与满足衍射条件的倒易阵点图形完全是一致的。

的几何性质与满足衍射条件的倒易阵点图形完全是一致的1.8.2 1.8.2 倒易点阵与电子衍射图的关系倒易点阵与电子衍射图的关系 从从上上面面的的分分析析看看到到，，产产生生电电子子衍衍射射的的晶晶面面，，其其对对应应的的倒倒易易点点必必落落在在厄厄互互尔尔德德球球面面上上可可以以认认为为产产生生衍衍射射的的斑斑点点是是厄厄瓦瓦尔德球面上的倒易点的投影尔德球面上的倒易点的投影下面分析一下倒易点落在Ewald球上的可能性 已知，电子衍射采用波长极短的电子束作为光源已知，电子衍射采用波长极短的电子束作为光源例如例如 100100KV λ=0.0037nm 1/λ=270nmKV λ=0.0037nm 1/λ=270nm-1 -1 200KV λ=0.0025nm 1/λ=400nm 200KV λ=0.0025nm 1/λ=400nm-1-1对于一般的金属材料，低指数的面间距为对于一般的金属材料，低指数的面间距为0.20.2nmnm∴ g = 5 nm∴ g = 5 nm-1-1显然，在显然，在100100KVKV下，下， 1/1/ 与与g g相比相差相比相差5454倍倍 在在200200KVKV下，下， 1/1/ 与与g g相比相差相比相差8080倍倍 在在0 0* *附附近近的的低低指指数数倒倒易易阵阵点点附附近近范范围围，，反反射射球球面面十十分分接接近近一一个个平平面面，，且且衍衍射射角角度度非非常常小小（（<1<10 0）），，这这样样反反射射球球与与倒倒易易阵阵点点相相截截是是一一个个二二维维倒倒易易平平面面。

这这些些低低指指数数倒倒易易阵阵点点落落在在反反射球面上，产生相应的衍射束射球面上，产生相应的衍射束因此，电子衍射图是二维倒易截面在平面上的投影 在通过电子衍射确定晶体结构的工作中，只凭一个晶带的在通过电子衍射确定晶体结构的工作中，只凭一个晶带的一张衍射斑点不能充分确定其晶体结构，而往往需要拍摄同一张衍射斑点不能充分确定其晶体结构，而往往需要拍摄同一晶体不同晶带的多张衍射斑点或系列倾转衍射方能准确地一晶体不同晶带的多张衍射斑点或系列倾转衍射方能准确地确定其晶体结构确定其晶体结构1)1)电子束方向电子束方向B B近似平行于近似平行于晶带轴晶带轴[ [uvwuvw] ]，，因为因为θθ很很小，即入射束近似平行于小，即入射束近似平行于衍射晶面衍射晶面2)2)反射球很大，反射球很大，θθ很小，在很小，在0 0* *附近反射球近似为平面附近反射球近似为平面 3)3)倒易点阵的扩展因为倒易点阵的扩展因为使用薄晶体样品）使用薄晶体样品）单晶衍射的特点：c-ZrO2同一晶粒倾转到不同方位时摄取的同一晶粒倾转到不同方位时摄取的4张电子衍射斑点图张电子衍射斑点图1.8.3 1.8.3 选区电子衍射选区电子衍射 选选区区电电子子衍衍射射是是指指在在物物镜镜像像平平面面上上插插入入选选区区光光栏栏套套取取感感兴兴趣趣的的区区域域进进行行衍射分析的方法。

衍射分析的方法 其工作原理如图所示其工作原理如图所示 为了保证减少选区误差，必须使为了保证减少选区误差，必须使物镜像物镜像平面、选区光栏、中间镜物平面严格共面平面、选区光栏、中间镜物平面严格共面（图象和光阑孔边缘都清晰聚焦）（图象和光阑孔边缘都清晰聚焦）否则所选区域发生偏差，而使衍射斑点不能和所选区域发生偏差，而使衍射斑点不能和图像一一对应图像一一对应  选区光阑装在物镜像平面上，其直径约在选区光阑装在物镜像平面上，其直径约在20-30020-300umum之间由于选区衍射所选的区域很小，因此，能在晶粒十分细小的由于选区衍射所选的区域很小，因此，能在晶粒十分细小的多晶体样品中选取单个晶粒进行分析多晶体样品中选取单个晶粒进行分析具体操作步骤如下：具体操作步骤如下：1.1.使选区光栏以下的透镜系统聚焦；使选区光栏以下的透镜系统聚焦；2.2.使物镜精确聚焦，此时三面共面；使物镜精确聚焦，此时三面共面；3.3.获得衍射谱获得衍射谱选区衍射举例见下图选区衍射举例见下图选区衍射举例见下图选区衍射举例见下图1.8.4 1.8.4 磁转角磁转角1. 1. 磁转角的概念磁转角的概念 电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进，衍射斑点（后焦面）电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进，衍射斑点（后焦面）到物镜像平面之间有一段距离，则电子通过这段距离时会转到物镜像平面之间有一段距离，则电子通过这段距离时会转过一定的角度，这就是过一定的角度，这就是磁转角磁转角。

如何度量如何度量？？ 若若以以样品为基准，设图像相对于样品的磁转角为样品为基准，设图像相对于样品的磁转角为ФФi i，，衍射衍射斑相对于样品的磁转角为斑相对于样品的磁转角为ффd d，则，则斑点相对于图像的磁转角为斑点相对于图像的磁转角为Φ = Φi i - Φd d2. 2. 磁转角标定磁转角标定 可以用可以用MoOMoO3 3晶体来对磁转角进行标定通过用一张底片进行晶体来对磁转角进行标定通过用一张底片进行双双重曝光法拍摄重曝光法拍摄MoOMoO3 3晶体（薄片单晶）和其衍射花样图来测定晶体（薄片单晶）和其衍射花样图来测定MoOMoO3 3晶体结构与点阵参数晶体结构与点阵参数 正交晶体，外形为六角形薄片梭子状，正交晶体，外形为六角形薄片梭子状，[010][010]方向很薄，梭方向很薄，梭子晶体的长边总是子晶体的长边总是[001][001]方向 a=0.3966nm,b=1.3848nm,c=0.3696nma=0.3966nm,b=1.3848nm,c=0.3696nm 当用蒸发法沉积在支撑膜上的当用蒸发法沉积在支撑膜上的MoOMoO3 3晶体，晶体，[010][010]方向总是接近方向总是接近和入射电子束重合，当样品台保持水平时，得到电子衍射花样和入射电子束重合，当样品台保持水平时，得到电子衍射花样的特征平行四边形为矩形，如图所示。

的特征平行四边形为矩形，如图所示 可以看出，六角形晶体的长边总是可以看出，六角形晶体的长边总是[001][001]方向，方向，g g是衍射花样是衍射花样上的上的[001][001]方向，两者之间的夹角就是磁转角，表示图像相对方向，两者之间的夹角就是磁转角，表示图像相对于衍射花样转过的角度于衍射花样转过的角度目前的电镜装有磁转角自动补正装置，从而使操作和结果分析简化目前的电镜装有磁转角自动补正装置，从而使操作和结果分析简化[001]c // c*[010]b // b*[100]a // a*100000101001110111010011100O*c*=1/c101001000a*=1/ac < ac* > a*a.a.MoOMoO3 3晶体外形晶体外形b.b.晶体正点阵取向与对应倒易晶体正点阵取向与对应倒易点阵之间的相对关系点阵之间的相对关系c.c.[010][010]晶带的衍射花样特征晶带的衍射花样特征[010]或或(010)*(a)(c)(b)[010][001]a = 0.3966nma = 0.3966nmb = 1.3848nmb = 1.3848nmc = 0.3696nmc = 0.3696nm。