2019年江苏省高考数学试卷.doc

《高中数学教研系列群》——因为你的加入，教研更精彩！ 2019年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合，0，1，，，，则　　．2．已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数的值是　　．3．如图是一个算法流程图，则输出的的值是　　．4．函数的定义域是　　．5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是　　．6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　　．7．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是　　．8．已知数列是等差数列，是其前项和．若，，则的值是　　．9．如图，长方体的体积是120，为的中点，则三棱锥的体积是　　．10．在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是　　．11．在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点，为自然对数的底数），则点的坐标是　　．12．如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点．若，则的值是　　．13．已知，则的值是　　．14．设，是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数．当，时，，其中．若在区间，上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是　　．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在中，角，，的对边分别为，，．（1）若，，，求的值；（2）若，求的值．16．（14分）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，．求证：（1）平面；（2）．17．（14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为，．过作轴的垂线，在轴的上方，1与圆交于点，与椭圆交于点．连结并延长交圆于点，连结交椭圆于点，连结．已知．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥是圆的直径），规划在公路上选两个点、，并修建两段直线型道路、，规划要求：线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点、到直线的距离分别为和、为垂足），测得，，（单位：百米）．（1）若道路与桥垂直，求道路的长；（2）在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路和的长度均为（单位：百米），求当最小时，、两点间的距离．19．（16分）设函数，，，，为的导函数．（1）若，（4），求的值；（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；（3）若，，，且的极大值为，求证：．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”．（1）已知等比数列满足：，，求证：数列为“数列”；（2）已知数列满足：，，其中为数列的前项和．①求数列的通项公式；②设为正整数，若存在“数列” ，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵．（1）求；（2）求矩阵的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点，，，直线1的方程为．（1）求，两点间的距离；（2）求点到直线的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）23．设，解不等式．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设，，．已知．（1）求的值；（2）设，其中，，求的值．25．（10分）在平面直角坐标系中，设点集，，，，，，，，，，，，．令．从集合中任取两个不同的点，用随机变量表示它们之间的距离．（1）当时，求的概率分布；（2）对给定的正整数，求概率（用表示）．2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合，0，1，，，，则　，　．【思路分析】直接利用交集运算得答案．【解析】：，0，1，，，，，0，1，，，．故答案为：，．【归纳与总结】本题考查交集及其运算，是基础题．2．已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数的值是　2　．【思路分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的值．【解析】：的实部为0，，即．故答案为：2．【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．如图是一个算法流程图，则输出的的值是　5　．【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解析】：模拟程序的运行，可得，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，此时，满足条件，退出循环，输出的值为5．故答案为：5．【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．函数的定义域是　，　．【思路分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解析】：由，得，解得：．函数的定义域是，．故答案为：，．【归纳与总结】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是　2　．【思路分析】先求出一组数据6，7，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解析】：一组数据6，7，8，9，10的平均数为：，该组数据的方差为：．故答案为：2．【归纳与总结】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　　．【思路分析】基本事件总数，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解析】：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：，选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．故答案为：．【归纳与总结】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是　　．【思路分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得，则双曲线的渐近线方程可求．【解析】：双曲线经过点，，解得，即．又，该双曲线的渐近线方程是．故答案为：．【归纳与总结】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8．已知数列是等差数列，是其前项和．若，，则的值是　16　．【思路分析】设等差数列的首项为，公差为，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前项和求得的值．【解析】：设等差数列的首项为，公差为，则，解得．．故答案为：16．【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前项和，是基础题．9．如图，长方体的体积是120，为的中点，则三棱锥的体积是　10　．【思路分析】推导出，三棱锥的体积：，由此能求出结果．【解析】：长方体的体积是120，为的中点，，三棱锥的体积：．故答案为：10．【归纳与总结】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是　4　．【思路分析】利用导数求平行于的直线与曲线的切点，再由点到直线的距离公式求点到直线的距离的最小值．【解析】：由，得，设斜率为的直线与曲线切于，，由，解得．曲线上，点到直线的距离最小，最小值为．故答案为：4．【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点，为自然对数的底数），则点的坐标是　　．【思路分析】设，，利用导数求得曲线在处的切线方程，代入已知点的坐标求解即可．【解析】：设，，由，得，，则该曲线在点处的切线方程为，切线经过点，，即，则．点坐标为．故答案为：．【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点．若，则的值是　　．【思路分析】首先算出，然后用、表示出、，结合得，进一步可得结果．【解析】：设，，，，，，，，，．故答案为：【归纳与总结】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13．已知，则的值是　　．【思路分析】由已知求得，分类利用万能公式求得，的值，展开两角和的正弦求的值．【解析】：由，得，，解得或．当时，，，；当时，，，．综上，的值是．故答案为：．【归纳与总结】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．14．设，是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数．当，时，，其中．若在区间，上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是　，　．【思路分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解析】：作出函数与的图象如图，由图可知，函数与，，，仅有2个实数根；要使关于的方程有8个不同的实数根，则，，与，，的图象有2个不同交点，由到直线的距离为1，得，解得，两点，连线的斜率，．即的取值范围为，．故答案为：，．【归纳与总结】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在中，角，，的对边分别为，，．（1）若，，，求的值；（2）若，求的值．【思路分析】（1）由余弦定理得：，由此能求出的值．（2）由，利用正弦定理得，再由，能求出，，由此利用诱导公式能求出的值．【解析】：（1）在中，角，，的对边分别为，，．，，，由余弦定理得：，解得．（2），由正弦定理得：，，，，，．【归纳与总结】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，．求证：（1）平面；（2）．【思路分析】（1）推导出，，从而，由此能证明平面．（2）推导出，，从而平面，由此能证明．【解答】证明：（1）在直三棱柱中，，分别为，的中点，，，，平面，平面，平面．解：（2）在直三棱柱中，是的中点，．，，又，平面，平面，．。