1.1 集合与常用逻辑用语 -2- 集合及其运算【思考】ဌ解答集合间的关系与运算的基本思路是什么?常用技巧有哪些?例1(1)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-11}D.A∩B=⌀ 答案解析解析关闭(1)由A∩B={1},可知1∈B,所以m=3,即B={1,3},故选C.(2)∵3x<1=30,∴x<0,∴B={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A. 答案解析关闭(1)C (2)A -6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题及逻辑联结词【思考】ဌ如何判定一个简单命题或含有逻辑联结词命题的真假?例2(1)下列命题错误的是( )A.对于命题p:“∃x0∈R,使得 +x0+1<0”,则ဌ p:“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”B.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”C.若p∧q是假命题,则p,q均为假命题D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件(2)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中的真命题是( )A.p∨qB.p∧qC.(ဌ p)∧(ဌ q)D.p∨(ဌ q) 答案解析解析关闭(1)p∧q是假命题时,p与q至少有一个为假命题,故C错.(2)由题意,得命题p为假命题;显然命题q为真命题,故p∨q为真命题.选A. 答案解析关闭(1)C (2)A -7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思判定命题真假的方法:(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别真假;(2)四种命题真假的判断依据:一个命题和它的逆否命题同真假;(3)形如p∨q,p∧q,ဌ p命题的真假可根据真值表判定. -8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练2(1)已知命题p:在△ABC中,“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件;命题q:“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件,则下列选项中正确的是( )A.p真,q假B.p假,q真C.“p∧q”为假D.“p∧q”为真 答案解析解析关闭(1)在△ABC中,因为C>B⇔c>b⇔2Rsin C>2Rsin B(R为△ABC外接圆半径),所以C>B⇔sin C>sin B.故“C>B”是“sin C>sin B”的充要条件,命题p是假命题.若c=0,当a>b时,ac2=0=bc2,故a>b推不出ac2>bc2,若ac2>bc2,则必有c≠0,则c2>0,则有a>b,所以ac2>bc2⇒a>b,故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,故命题q也是假命题,选C. 答案解析关闭C -9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题:其中的真命题是( )A.p1,p4B.p1,p3C.p2,p3D.p2,p4 答案解析解析关闭 答案解析关闭 -10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四全称命题与特称命题【思考】ဌ如何判断全称命题与特称命题的真假?全(特)称命题的否定与命题的否定有什么区别?例3不等式组 的解集记为D,有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x0,y0)∈D,x0+2y0≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x0,y0)∈D,x0+2y0≤-1,其中的真命题是( )A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3 答案解析解析关闭 答案解析关闭 -11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.判定全称命题为真命题,必须考查所有情形,判断全称命题为假命题,只需举一反例;判断特称命题(存在性命题)的真假,只要在限定集合中找到一个特例,使命题成立,则为真,否则为假.2.全(特)称命题的否定与命题的否定的区别:全称命题的否定是将全称量词改为存在量词,并把结论否定;特称命题的否定是将存在量词改为全称量词,并把结论否定;而命题的否定是直接否定其结论. -12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3设命题p:∃n∈N,n2>2n,则ဌ p为ဌ( )A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n 答案解析解析关闭∵p:∃n∈N,n2>2n,∴ဌ p:∀n∈N,n2≤2n.故选C. 答案解析关闭C -13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四充分条件与必要条件【思考】ဌ判断命题p是命题q的充要条件的基本思想有哪些?例4(2017北京,理6)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案解析解析关闭m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos 180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以是充分而不必要条件.故选A. 答案解析关闭A -14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思判断命题p是命题q的充要条件的基本思想有:(1)要善于举出反例,判断一个命题不正确时,可以通过举出恰当的反例来说明.(2)要注意转化,如果p是q的充分不必要条件,那么ဌ p是ဌ q的必要不充分条件.同理,如果p是q的必要不充分条件,那么ဌ p是ဌ q的充分不必要条件;如果p是q的充要条件,那么ဌ p是ဌ q的充要条件. -15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练4已知p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若ဌ p是ဌ q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为 . 答案解析解析关闭 答案解析关闭 -16-规律总结拓展演练1.解答有关集合的问题,首先应理解集合的意义,准确地化简集合是关键;其次关注元素的互异性,空集是任何集合的子集等问题,关于不等式的解集、抽象集合问题,要借助数轴和Venn图加以解决.2.命题的否定和否命题是两个不同的概念,命题的否定只否定命题的结论,真假与原命题相对立,一真一假;含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的,这类试题应先把其中的基本命题的真假判断准确,再根据逻辑联结词的含义进行判断.3.设函数y=f(x)(x∈A)的最大值为M,最小值为m,若∀x∈A,a≤f(x)恒成立,则a≤m;若∀x∈A,a≥f(x)恒成立,则a≥M;若∃x0∈A,使a≤f(x0)成立,则a≤M;若∃x0∈A,使a≥f(x0)成立,则a≥m. -17-规律总结拓展演练4.判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根据充要条件与集合之间的对应关系,先把命题对应的元素用集合表示出来,再根据集合之间的包含关系进行判断,在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法. -18-规律总结拓展演练 答案解析解析关闭由(x-2)(x-3)≥0,解得x≥3或x≤2,所以S={x|x≤2或x≥3}.因为T={x|x>0},所以S∩T={x|00},则S∩T=( )A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞) -19-规律总结拓展演练 答案解析解析关闭对∀x>0,都有x+1>1,所以ln(x+1)>0,故p为真命题.又1>-2,但12<(-2)2,故q为假命题,所以ဌ q为真命题,故p∧(ဌ q)为真命题.故选B. 答案解析关闭B2.(2017山东,理3)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.p∧(ဌ q)C.(ဌ p)∧qD.(ဌ p)∧(ဌ q) -20-规律总结拓展演练 答案解析解析关闭 答案解析关闭 -21-规律总结拓展演练4. 设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的ဌ( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 答案解析解析关闭由题意,得a2n-1+a2n<0⇔a1(q2n-2+q2n-1)<0⇔q2(n-1)(q+1)<0⇔q∈(-∞,-1),因此,q<0是对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0的必要不充分条件.故选C. 答案解析关闭C -22-规律总结拓展演练5.若“∀x∈ဌဌဌဌဌ,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为 . 答案解析解析关闭 答案解析关闭 。
