探究绝对值函数最值的求法(共6页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上探究绝对值函数最值的求法及应用陕西省西乡县第二中学：王仕林 邮编：2011年陕西省理科高考试题第14题题目是：植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 米该题考查了求绝对值函数的最小值问题，转化为求函数的最小值问题另外2009年上海高考有一道数学试题；其题目是：某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1两街道相交的点称为格点若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道发行站之同路程的和最短该题也需要转化为求绝对值函数的最小值问题那么如何求这种多个绝对值和的函数的最小值问题呢？对此，笔者运用以下方法进行了探索研究，得出了解决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷一、 利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：由于含绝对值函数可以等价化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。

例1求函数的最小值解：由于函数，作出其图象如右图：由图象可知其当时，原绝对值函数的最小值为0例2求函数的最小值解：由于该函数，作出其图象如右图所示则当时，其函数的最小值为3：例3、求函数的最小值解：由于该函数可化成分段函数，则=作出其图象如右图：结论1：对于函数，当且仅当时，函数有最小值证明如下：由于函数该函数等价于：，作出其图象如右图：从图象可知，当时，该函数的最小值为结论2：对于函数，当且仅当时，函数有最小值为证明如下：由于函数 该函数等价于 该函数的图象如右图所示：由图象中知：当且仅当时该函数的最小值为 以上两个结论可推广到任意个绝对值的和的最值问题结论如下： 推论1：对于函数当且仅当时，函数有最小值为（）推论2：对于函数（）当且仅当 时，函数有最小值（）二． 运用以上推论，达到求函数最值的目的：下面我们来解以下高考试题：例1：（2011年陕西省理科高考试题第14题）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 分析：该题是一个实际应用题，考查的知识点是绝对值求和的最值问题。

先将该题放在数轴上来研究即将实际问题抽象成数学问题，通过建立数学模型来解决此问题解：以一段直线公路为轴，建立如图所示的数轴坐标系设领取树苗的坐标为 时，每位同学前来领取树苗往返所走的路程和为米，则，根据推论1可知：当且仅当米时，函数有最小值：=2000（米）或+=2000（米）例2：（2009年上海高考数学试题）某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1两街道相交的点称为格点若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道发行站之间路程的和最短分析：该题是一个实际应用题；考查的知识点也是求绝对值和的最值问题该题已经将格点放在平面直角坐标系中，由于发行站与各报刊之间只能沿轴与轴两个方向穿越，因此可将该问题转化为求轴与轴两个方向上含绝对值和的最值问题解：设发行站格点为P时，使6个零售点沿街道发行站之间路程的和为，则要求以上含绝对值和的最值问题，可分别求函数与函数两个函数的最小值根据以上推论1可知当且仅当即时，有最小值=14；当且仅当时，由于即或时，有最小值为：，所以的最小值为14+9=23此时，发行站应设在点（3，3）或（3，4 ）处，但是由于题意，发行站不能作为零售点，因此，发行站只能为（3，3）处。

根据以上两种求函数最值的方法：图象法和推论法，它们的本质都来源于去掉绝对值符号；当然对于简单的绝对值函数值域问题（两个或三个绝对值符号），可直接运用图象法比较直观；对于多个含绝对值最值问题，可运用推论来解决，相对简单；当然，对于绝对值求最值问题方法很多，以上方法仅与各位同仁探讨陕西省西乡县第二中学：王仕林2011-12-17 专心---专注---专业。