高中数学《合情推理与演绎推理-剖析演绎推理证明的几种常见错误》文字素材3 新人教A版选修2-2（通用）.doc

剖析演绎推理证明的几种常见错误1. 偷换论题例1求证四边形的内角和等于证明：设四边形是矩形，则它的四个角都是直角，有，所以，四边形的内角和等于剖析：上述推理过程是错误的犯了偷换论题的错误在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形2. 虚假论据例2已知和是无理数，试证也是无理数证明：依题设和是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，所以也是无理数剖析：上述推理过程是错误的犯了虚假论据的错误使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数因此，原题的真假性仍无法断定3. 循环论证例3在中，求证：证明：因为，=剖析：上述推理过程是错误的犯了循环论证的错误本题的论证就是人们熟知的勾股定理上述证明中用了“”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误4. 不能推出例4设证明：因为=，剖析：上述推理过程是错误的犯了不能推出的错误因为只能推出至于关系式是否唯一地成立，却无法断定因此，只有进一步推出，即，原题才能得证演绎推理的三种类型 “特殊性存在于一般性之中”这个哲学原理道出了演绎推理的实质；其实，我们学习的演绎推理实际上就是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。

显然，只要一般性原理正确，推理形式不出错误，那么由此产生的结论一定正确；这也正是我们证明数学结论、建立数学体系的重要的思维过程；具体到一个数学问题，我们使用演绎推理时，常常表现为下述三种情况，这里向你介绍，也许对你深入理解演绎推理会有所帮助1、显性三段论在证明过程中，可以较清楚的看出“大前提”、“小前提”、“结论”；结合演绎推理我们可以知道结果是正确的也是演绎推理最为简单的应用例1、当为正数时，求证：证明：因为一个实数的平方是非负数而是一个实数的平方，所以是非负数，即所以，评析：在这个问题的证明中，三段论是很显然的；大前提：“一个实数的平方是非负数”，小前提：“是一个实数的平方”，结论：“是非负数”，从而产生最后结果；由于大前提是人所共知的真理，推理形式正确，因而，结论正确2、隐性三段论三段论在证明或推理过程中，不一定都是清晰的；特别是大前提，有一些是我们早已熟悉的定理、性质、定义，对这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用，不需要再重新指出；因此，就会出现隐性三段论例2、判断函数的奇偶性解：由于且故函数为奇函数评析：在这个推理过程中，好似未用到演绎推理的三段论，其实不然，用了；只是大前提“若函数是奇函数，则；若函数是偶函数，则”是大家熟悉的定义，在推理过程中省略了。

这是演绎推理三段论的又一表现形式3、复式三段论一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓的复式三段论可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程，基本上都是复式三段论例3、若数列的前项和为，求证：数列为等差数列证明：由因此故数列为等差数列评析：本题的论证共有三层，即三次使用演绎推理，请看第一层，大前提“若是数列的前项和，则”；小前提“数列的前项和为， 则”；结论“”；第二层，大前提“对于非零数列，则有”；小前提“满足的数列有”；结论“”；第三层，大前提“对于数列，若常数，则是等差数列”；小前提“由，得为常数”；结论“数列为等差数列”；在这三层中，层层深入，步步逼近，慢慢的向我们要论证的结论靠拢，这是一种很重要且很实用的分析思维过程。