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离散数学期末考试试题及答案.doc

30页
  • 卖家[上传人]:大米
  • 文档编号:552813893
  • 上传时间:2023-01-21
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    • 离散数学试题(B卷答案1)一、证明题(10分)1)(ØP∧(ØQ∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)ÛR证明: 左端Û(ØP∧ØQ∧R)∨((Q∨P)∧R)Û((ØP∧ØQ)∧R))∨((Q∨P)∧R)Û(Ø(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)Û(Ø(P∨Q)∨(Q∨P))∧RÛ(Ø(P∨Q)∨(P∨Q))∧RÛT∧R(置换)ÛR2) $x (A(x)®B(x))Û "xA(x)®$xB(x)证明 :$x(A(x)®B(x))Û$x(ØA(x)∨B(x))Û$xØA(x)∨$xB(x)ÛØ"xA(x)∨$xB(x)Û"xA(x)®$xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))®(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)证明:(P∨(Q∧R))®(P∧Q∧R)ÛØ(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))Û(ØP∧(ØQ∨ØR))∨(P∧Q∧R)Û(ØP∧ØQ)∨(ØP∧ØR))∨(P∧Q∧R)Û(ØP∧ØQ∧R)∨(ØP∧ØQ∧ØR)∨(ØP∧Q∧ØR))∨(ØP∧ØQ∧ØR))∨(P∧Q∧R)Ûm0∨m1∨m2∨m7ÛM3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题(10分)1) C∨D, (C∨D)® ØE, ØE®(A∧ØB), (A∧ØB)®(R∨S)ÞR∨S证明:(1) (C∨D)®ØE P(2) ØE®(A∧ØB) P(3) (C∨D)®(A∧ØB) T(1)(2),I(4) (A∧ØB)®(R∨S) P(5) (C∨D)®(R∨S) T(3)(4), I(6) C∨D P(7) R∨S T(5),I 2) "x(P(x)®Q(y)∧R(x)),$xP(x)ÞQ(y)∧$x(P(x)∧R(x))证明(1)$xP(x) P(2)P(a) T(1),ES(3)"x(P(x)®Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)®Q(y)∧R(a) T(3),US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I(6)Q(y) T(5),I(7)R(a) T(5),I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I(9)$x(P(x)∧R(x)) T(8),EG(10)Q(y)∧$x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。

      而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)解:A,B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合则|A|=12,|B|=6,|C|=14,|A∩C|=6,|B∩C|=5,|A∩B∩C|=2先求|A∩B|∵6=|(A∪C)∩B|=|(A∩B)∪(B∩C)|=|(A∩B)|+|(B∩C)|-|A∩B∩C|=|(A∩B)|+5-2,∴|(A∩B)|=3于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20不会打这三种球的人数25-20=5五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) (10分)证明:∵xÎ A-(B∪C)Û xÎ A∧xÏ(B∪C)Û xÎ A∧(xÏB∧xÏC)Û(xÎ A∧xÏB)∧(xÎ A∧xÏC)Û xÎ(A-B)∧xÎ(A-C)Û xÎ(A-B)∩(A-C)∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:R={| x,yÎN∧y=x2},S={| x,yÎN∧y=x+1}求R-1、R*S、S*R、R{1,2}、S[{1,2}](10分)解:R-1={| x,yÎN∧y=x2}R*S={| x,yÎN∧y=x2+1}S*R={| x,yÎN∧y=(x+1)2},R{1,2}={<1,1>,<2,4>},S[{1,2}]={1,4}。

      七、设R={},求r(R)、s(R)和t(R) (15分)解:r(R)={}s(R)={}R2= R5={}R3={}R4={}t(R)={,,}八、证明整数集I上的模m同余关系R={|xºy(mod m)}是等价关系其中,xºy(mod m)的含义是x-y可以被m整除(15分)证明:1)"x∈I,因为(x-x)/m=0,所以xºx(mod m),即xRx2)"x,y∈I,若xRy,则xºy(mod m),即(x-y)/m=k∈I,所以(y - x)/m=-k∈I,所以yºx(mod m),即yRx3)"x,y,z∈I,若xRy,yRz,则(x-y)/m=u∈I,(y-z)/m=v∈I,于是(x-z)/m=(x-y+y-z)/m=u+v ∈I,因此xRz。

      九、若f:A→B和g:B→C是双射,则(gf)-1=f-1g-1(10分)证明:因为f、g是双射,所以gf:A→C是双射,所以gf有逆函数(gf)-1:C→A同理可推f-1g-1:C→A是双射因为∈f-1g-1Û存在z(∈g-1Ù∈f-1)Û存在z(∈fÙ∈g)Û∈gfÛ∈(gf)-1,所以(gf)-1=f-1g-1离散数学试题(B卷答案2)一、证明题(10分)1)((P∨Q)∧Ø(ØP∧(ØQ∨ØR)))∨(ØP∧ØQ)∨(ØP∧ØR)ÛT证明: 左端Û((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨Ø((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律) Û ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨Ø((P∨Q)∧(P∨R))(分配律) Û ((P∨Q)∧(P∨R))∨Ø((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) ÛT (代入)2) "x"y(P(x)®Q(y))Û Û($xP(x)®"yQ(y))证明:"x"y(P(x)®Q(y))Û"x"y(ØP(x)∨Q(y))Û"x(ØP(x)∨"yQ(y))Û"xØP(x)∨"yQ(y)ÛØ$xP(x)∨"yQ(y)Û($xP(x)®"yQ(y))二、求命题公式(ØP®Q)®(P∨ØQ) 的主析取范式和主合取范式(10分)解:(ØP®Q)®(P∨ØQ)ÛØ(ØP®Q)∨(P∨ØQ)ÛØ(P∨Q)∨(P∨ØQ)Û(ØP∧ØQ)∨(P∨ØQ) Û(ØP∨P∨ØQ)∧(ØQ∨P∨ØQ)Û(P∨ØQ)ÛM1Ûm0∨m2∨m3三、推理证明题(10分)1)(P®(Q®S))∧(ØR∨P)∧QÞR®S证明:(1)R(2)ØR∨P(3)P(4)P®(Q®S)(5)Q®S(6)Q(7)S(8)R®S2) $x(A(x)®"yB(y)),"x(B(x)®$yC(y))"xA(x)®$yC(y)。

      证明:(1)$x(A(x)®"yB(y)) P (2)A(a)®"yB(y) T(1),ES(3)"x(B(x)®$yC(y)) P(4)"x(B(x)®C()) T(3),ES(5)B()®C() T(4),US(6)A(a)®B() T(2),US(7)A(a)®C() T(5)(6),I(8)"xA(x)®C() T(7),UG(9)"xA(x)®$yC(y) T(8),EG四、只要今天天气不好,就一定有考生不能提前进入考场,当且仅当所有考生提前进入考场,考试才能准时进行。

      所以,如果考试准时进行,那么天气就好(15分)解 设P:今天天气好,Q:考试准时进行,A(e):e提前进入考场,个体域:考生的集合,则命题可符号化为:ØP®$xØA(x),"xA(x)«®P1)ØP®$xØA(x) P(2)ØP®Ø"xA(x) T(1),E(3)"xA(x)®P T(2),E (4)"xA(x)«Q P(5)("xA(x)®Q)∧(Q®"xA(x)) T(4),E(6)Q®"xA(x) T(5),I(7)Q®P T(6)(3),I五、已知A、B、C是三个集合,证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) (10分)证明:∵xÎ A∩(B∪C)Û xÎ A∧xÎ(B∪C)Û xÎ A∧(xÎB∨xÎC)Û( xÎ A∧xÎB)∨(xÎ A∧xÎC)Û xÎ(A∩B)∨xÎ A∩CÛ xÎ(A∩B)∪(A∩C)∴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)六、A={ x1,x2,x3 },B={ y1,y2},R={,,},求其关系矩阵及关系图(10分)。

      七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>},求r(R)、s(R)和t(R),并作出它们及R的关系图(15分)解:r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>}R2=R5={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}R3={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<5,4>}R4={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<。

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