2021年湖南省长沙市回龙铺中学高三数学理联考试卷含解析.docx

2021年湖南省长沙市回龙铺中学高三数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=x2﹣cosx，则的大小关系是（　　）A． B． C． D．参考答案：B考点： 利用导数研究函数的单调性．专题： 导数的综合应用．分析： 求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行比较即可．解答： 解：∵函数f（x）=x2﹣cosx为偶函数，∴f（﹣0.5）=f（0.5），f′（x）=2x+sinx，当0＜x＜时，f′（x）=2x+sinx＞0，∴函数在（0，）上递增，∴f（0）＜f（0.5）＜f（0.6），即f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6），故选：B点评： 本题主要考查函数值的大小比较，求函数的导数，利用函数的单调性是解决本题的关键．2. 命题：对任意，的否定是(  )A．：存在,            B．：存在, C．：不存在,          D．：对任意，参考答案：A3. 如图，网格之上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，若该几何体的体积为20，则该几何体的表面积为（   ）A．72 B．78 C．66 D．62参考答案：A试题分析：该几何体是棱长为的正方体沿前后、左右、上下三个方向各挖云一个长方体，因此该几何体的体积为．，则．故选A．考点：三视图，体积与表面积．4. 已知集合，，若，则实数的取值范围是(   )A.            B.             C.        D. 参考答案：B由题意得，因为，所以故选B.5. 下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象（    ）A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位参考答案：D【分析】根据函数图像得到函数的一个解析式为，再根据平移法则得到答案.【详解】设函数解析式为，根据图像：，，故，即，，，取，得到，函数向右平移个单位得到.故选：.【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.6. 在正方形ABCD中，AB=AD=2，M，N分别为边BC，CD上的两个动点且MN=，则?的取值范围为（　　）A．[4，8﹣2] B．[4﹣2，8] C．[4，8+2] D．[4﹣2，8﹣2]参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；方程思想；平面向量及应用．【分析】如图所示，设M（2，y），N（x，2），．由于MN=，可得（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．则?=2x+2y=t，数形结合即可得出．【解答】解：如图所示，设M（2，y），N（x，2），．∵MN=，∴=，化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．则?=2x+2y=t，由=，解得t=4或12（舍去）．把x=2，y=2代入可得t=8﹣2．综上可得：t∈．故选：A．【点评】本题考查了数量积运算性质、两点之间的距离公式、直线与圆相切相交性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 进入互联网时代，经常发送电子邮件，一般而言，发送电子邮件要分成以下几个步骤：A．打开电子邮件；(b)输入发送地址；(c)输入主题；(d)输入信件内容；(e)点击“写邮件”；（f）点击“发送邮件”；正确的步骤是A.         B. C.         D. 参考答案：C8. 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行, A、B两种车辆每辆车的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆. 则租金最少为( 　　)A.44800元 B.36000元 C. 38400元 D.36800元参考答案：D9. 若函数=在区间内恒有，则的单调递增区间为（   ）A.         B.          C.          D.参考答案：D10. 观察下列各式K^S*5U.C#O%，…则的末两位数字为     （    ）A．01          B．43            C．07            D．49参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知α为第二象限角，则             。

参考答案：-112. 若是定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为   ▲   ．参考答案：13. 集合，，若，则实数的取值范围是       ． 参考答案：略14. 已知函数f（x）=2ax2+3b（a，b∈R），若对于任意x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则ab的最大值是　　．参考答案：【考点】函数的值；二次函数的性质．【分析】由对于任意x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，可得（a，b）对应的可行域，进而根据基本不等式得到ab的最大值．【解答】解：函数f（x）=2ax2+3b图象的顶点为（0，3b），若若对于任意x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则，其对应的平面区域如下图所示：令Z=ab，则在第一，三象限a，b同号时ab取最大值，由2a+3b=1，a＞0，b＞0得：ab≤=，故答案为：15. 已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为         . 参考答案：16. （文）已知，则的最小值为              ．参考答案：2017. 在平面直角坐标系xoy中，圆O：x2+y2=1，圆M：（x+a+1）2+（y﹣2a）2=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a的取值范围为　　．参考答案：﹣1≤a≤【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP=1，利用圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，可得|OM|≤2，进而得出答案．【解答】解：由题意，圆M：（x+a+1）2+（y﹣2a）2=1（a为实数），圆心为M（﹣a﹣1，2a）从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP=1．∵圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，∴|OM|≤2，∴（a+1）2+4a2≤4，∴﹣1≤a≤，故答案为：﹣1≤a≤．【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、两点间的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不平行于x轴的动直线与椭圆C相交于A，B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）由题意知，，解得，则椭圆的方程为.（2）当直线的斜率存在时，设直线,联立，得，∴.假设轴上存在定点，使得为定值，∴.要使为定值，则的值与无关，∴，解得，此时为定值，定点为.当直线的斜率不存在时，也满足条件. 19. 如图所示，已知矩形ABCD中，AB=10,BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上1)求证：BC⊥A1D;(2)求证：平面A1BC⊥平面A1BD;(3)求三棱锥A1-BCD的体积参考答案：（1）BC⊥CD,BC⊥A1O,BC⊥平面A1CD, 又A1D平面A1CD, BC⊥A1D; (2) A1D⊥ A1B, A1D⊥BC, A1D⊥平面A1BC, 又A1D平面A1BD,平面A1BC⊥平面A1BD; (3)由（1）可知：BC⊥平面A1CD，BC⊥A1C, △A1CB为直角三角形。

BC=6, A1B=AB=10, A1C=8, =×6×8=24, 略20. 已知函数. （1）若，求证：；（2）若存在，当时，恒有，求实数的取值范围. 参考答案：（1）时，，定义域为，，∴时，，时，，∴在上是增函数，在上是减函数，∴. （2）由（1）知，当时，不存在满足题意.令，则，当时，对于，有，，从而不存在满足题意. 当时，有，由，得，，又，∴取，从而当时，，在上是增函数，∴时，，即，综上，的取值范围是. 21. （本小题满分12分）已知圆C：，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P，（1）       求点P的轨迹E的方程；（2）       设过点C的直线交曲线E于Q,S两点，过点D的直线交曲线E于R,T两点，且，垂足为Q,S，R,T为不同的四个点）①  设，证明：；②     求四边形QRST的面积的最小值参考答案：(1)解：设动圆半径为，则，由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，其方程为2分①     由已知条件可知，垂足在以CD为直径的圆周上，则有，又因Q,S，R,T为不同的四个点则可得       -----------   4分②     若或的斜率不存在，易知四边形QRST的面积为2。

6分若两条直线的斜率存在，设的斜率为，则的方程为  得  则---8分同理可得当且仅当，即时等号成立11分综上所述，当时，四边形QRST的面积取得最小值为------------12分略22. （本小题满分14分）    已知两点F1（-1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．       （1）求椭圆C的方程；       （2）如图7，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．参考答案：解：（1）依题意，设椭圆的方程为．构成等差数列，， ．又，．椭圆的方程为． ……………………………………………………4分   (2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得．                 …………………………5分由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．                            …………………………7分     设，，     …………………………9分（法一）当时，设直线的倾斜角为，则，，        ，………11分，当时，，，．当时，四边形是矩形，．    ……………………………13分所以四边形面积的最大值为．     ………………………………14分略。